Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Они отталкиваются. Силу на- 294 ходим с помощью (1.9) и (1.11). Она оказывается вполовину мень- ше (8.27). Обозначая отклонение от равновесного положения х, получаем 16( 4 )4 16444~ а! Уравнение движения магнита с учетом силы тяжести х" + 4е2х = О, тх" = г'- т8 или где частота и положение равновесия (8.28) 3 р ОЭ 4 та~ ' Поэтому е22 — р-'/2, период (8.29) 7 р~/4 1/4 Поэтому е22 — т'/4, период Т вЂ” т/4 и 7'/ т 2/2' Рассмотрим сверхпроводящий шарик радиусом г и массой т, который со скоростью и подлетает к области постоянного магнитного поля В. Оценим максимальную скорость, при которой он отразится от поля (М 8.63). При вхождении шарика на расстояние х в область поля на него действует тормозящая сила давления (7.12), равная я2 Г = — я1г — (г — х) 1.
8я Уравнение движения шарика т — = ов — = — — (2гх — х ). ~1 а ~Ь В 2 4// 4/х 8 Если в 16 раз отличаются массы, а магнитные моменты одинаковые и перпендикулярные сверхпроводящей поверхности (М 8.59), то из (8.27) и (8.28) следует вместо (8.29) для частоты и положения равновесия Если шарик не полностью погрузится в поле (х < 2г), то сила давления магнитного поля вытолкнет его. Интегрируя уравнение движения (скорость от г до нуля, х от нуля до 2г), получаем д 82 (Зт)л Монополь Дирака (элементарная частица, пока не обнаруженная, массой т, обладающая магнитным зарядом Ь) находится строго — +х и 2 г" =, — =-Зб —,.
(Ь + 2х) (Ь вЂ” х) Ь Уравнение колебаний заряда тх" +8ьз х = О. ,,з Откуда для частоты получаем щ2 — 8 ел В однородное магнитное поле с индукцией В помещена тонкая металлическая лента шириной ! (рис, 8.27) и толщиной а так, что плоскость ленты перпендикулярна к индукции В. По ленте пропускают ток I. Найдем разность потенциалов (Г, возникающую между 296 посередине зазора между пластинами незаряРис. 8.26 женного разомкнутого плоского конденсатора, изготовленного из идеального сверхпроводника. Оценим частоту малых колебаний монополя в направлении нормали к плоскостям. Все размеры конденсатора много больше расстояния Ь между пластинами (М 8.бО).
Чтобы обеспечить отсутствие нормальной к сверхпроводящей поверхности компоненты магнитного поля, необходимо, чтобы «изображение» магнитного заряда имело тот же знак и находилось в симметричном положении. Так как сверхпроводящих поверхностей две, то потребуется целая система зарядов. Для оценки сил, возникающих при небольшом отклонении заряда от начального положения, достаточно учесть лишь ближайшие изображения. На рис.
8.2б показаны заряд и изображения. При отклонении от средней линии, равном х, для силы, действующей на заряд (подобно закону Кулона), получаем краями ленты (т. е. на расстоянии 1), если концентрация свободных электронов в металле л (частный случай явления Холла) (№ 8.64). Обозначая заряд электрона е, для тока полу- ' чаем 1 = ела1и Отсюда определяем скорость электронов и подставляем ее в выражение для силы Лоренца (8.1), которая, отклоняя электроны, создает электрическое поле Рис. 8.27 Е = — (тВ). с Для разности потенциалов имеем (1 = Е1 = —.
села 1 ( г г) где е — заряд электрона; и — его скорость. Из (8.1) для равновесия получаем В иВ 1В е с селя(В2 В!) Из (5.6) имеем 4я г 12ЛЫС 4я г -В2 С Я Я(В Р) с В В, Откуда В=Н =21 !I Яг В1 2 2' 297 Вдоль трубы с внутренним и наружным радиусами 11, и )гг течет ток 1 Найдем, какая разность потенциалов У установится между внутренней и наружной поверхностями трубы, считая, что число свободных электронов в единице объема металла равно и (№ 8.68). Электрический ток создает в трубе магнитное поле. На электроны, движущиеся в этом поле, действует сила Лоренца (8.1).
Электроны скапливаются на поверхности и создают электрическое поле, уравновешивающее силу Лоренца и приводящее к разности потенциалов У (явление Холла). Для плотности тока в трубе имеем Разность потенциалов Я2 2Г2 Я2 Я2 с ела(Я2 — Я~ ) я, = 21 — —, ' ~с еля(Я2 — Я2)~ 2 1 1~(Я2/Я~) 2 2 2 (2 я',/я', — 1~ В простейшей схеме магнитного гидродииамического генератора плоский конденсатор с плошадью пластин Х и расстоянием между ними ! помещен в поток проводящей жидкости с проводимостью Л (рис. 8.28), двигающейся с постоянной скоростью т параллельно пластинам.
Система находится в магнитном поле с индукцией В, направленной перпендикулярно плоскости рисунка. Найдем, какая мощность л! выделится во внешней цепи, имеющей сопротивление Я (М9 8.69). Сила Лоренца (8.1) вызывает движение заряженных частиц, работает как электродвижущая сила 1! = аВ! Для тока в цепи имеем 1= 8 г+я Здесь внутреннее сопротивление 1 ! г= — —.
Л5 Мощность, выделяемая во внешней цепи (4.18), 2 2 2 Ф 12я а В!Я 1(1/Л) !/5 + Я) Длинная незаряженная пластинка из немагнитного металла движется равномерно в однородном магнитном поле В со скоростью и Векторы В и т взаимно перпендикулярны и параллельны плоскости пластинки (рис. 8.29). Найдем поверхностную плотность электри- Ра . 8.29 Рас. 8.28 298 ческих зарядов на плоскостях пластинки, возникающих вследствие ее движения, и их знаки, если векторное произведение [тВ1 направлено вверх.
Магнитным полем зарядов будем пренебрегать (Мо 8.70). Используя (8.1), получаем, что электроны будут отклоняться к нижней стороне пластинки, а верхняя получит положительный заряд. Плотность заряда о определяется из соотношения Е = — = 4ло. 0В с Откуда сВ о= 4лс Длинный сплошной алюминиевый цилиндр радиусом Я заряжен электричеством и врашается с постоянной угловой скоростью 00 вокруг своей продольной оси.
Заряд на единицу длины цилиндра равен Х. Найдем разность потенциалов Умежду осью и поверхностью цилиндра, возникающую из-за его вращения, пренебрегая центробежной силой (М 8.67). За счет вращения заряда, который находится на поверхности цилиндра, с периодом Т имеем круговой ток на единицу длины цилиндра х хы Т 2я' Из теоремы о циркуляции (5.6) следует, что снаружи цилиндра магнитного поля нет, а внутри оно постоянно и направлено по оси в ту же сторону, что и угловая скорость, и равно Н = 4я- = 2х-. 7 в с с В соответствии с (8.1) на заряды внутри цилиндра действует сила Лоренца, которая создает меняюшуюся с расстоянием напряженность электрического поля Е = — = 2Х00 —.
г с с'' Для нахождения разности потенциалов надо вычислить интеграл У = 2х —,~ 1« = ~ — ) х. с 0 с Длинный незаряженный цилиндр из немагнитного металла ра- диусом Я = 12,56 см равномерно врашается в однородном магнит- 299 ном поле В = 300 Гс, параллельном оси цилиндра с угловой скоростью ы = 60 рад/с. Найдем поверхностную плотность зарядов, возникающих вследствие вращения на боковой поверхности цилиндра, и их знак, если векторы ге и В направлены в одну сторону, пренебрегая магнитным полем возникающих зарядов и инерционными эффектами электронов (М 8.65). Сила Лоренца (8.1) действует на вращающиеся заряды подобно электрическому полю Е= —. с С помощью (1.12) получаем Выл О= —. 4яс Полый диэлектрический цилиндр с внутренним г, н наружным г радиусами равномерно вращается в однородном магнитном поле с угловой скоростью г» вокруг своей оси.
Вектор индукции магнитного поля В параллелен оси цилиндра, диэлектрическая проницаемость материала цилиндра равна е. Найдем: 1) объемную плотность р„„, связанных зарядов, появившихся в диэлектрике вследствие вращения в магнитном поле; 2) полный объемный заряд д на единицу длины цилиндра; 3) плотность поверхностных зарлдов на обеих поверхностях цилиндра (М 8.66). В соответствии с (8.1) на заряд е, вращающийся вместе с цилиндром, действует сила Лоренца Е = -'(тВ] = вЂ”Ч (езг) В1 = -'(езВ) г. Используя (3.2) и (3.9), находим поляризацию, которую вызывает эта сила: Р— — (езВ) г — (е — 1) Используя (1.21), откуда йчг=- — = 2, 1 дг г дг и (3.4), находим р = -(е-1) —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
