Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 37
Текст из файла (страница 37)
~й Интегрируя это уравнение, находим 264 Еше раз интегрируя, получаем '7 ~к 1=ХŠ— ", т 2' Для поперечного движения, учитывая (8.2), имеем ~1е> д Е! в — '= — ю„В=д —. ~л с " ее Интегрируя, находим Еще раз интегрируя, для максимального отклонения имеем Учитывая линейное возрастание продольной скорости, можем написать Здесь максимальная скорость После алгебраических преобразований находим (0,5и'/т) ~ На рис. 8.11 показано движение частипы массой т с зарядом е по равновесной круговой орбите радиусом г~ в горизонтальной плоскости зазора магнита, в котором магнитное поле спадает по радиусу по закону В,(г) = А/г" (О < л < !).
В отсутствие магнетиков в зазоре В = Н. Так как токов нет, из (5.15) получаем гог Н = О. Круговое движение обладает осевой симметри- Рвс. 8.11 265 ей относительно и. Удобно воспользоваться цилиндрическими координатами (р, у, ~ на рис. 2.1). В использованных ранее обозначениях г = р.
Из симметрии и (5.6) следует, что производные по у и В„= Н„равны нулю. Поэтому из (5.12) Отсюда в использованных ранее обозначениях получаем ав, ав, аг ае Из условия дв, и Ви е А дг .("") г Для изменения компоненты В, по малому изменению ~ можем написать и В =- — Вс. г га Таким образом, увеличение ~ (от нулевого значения на равновесной орбите) приводит к появлению компоненты В„которая в соответствии с (8.1) дает силу, возвращаюшую (как показано на рис.
8.11) к плоскости ~ = О: е е 2 и" =-иВ =- — юаиВ ~ =-аааитт, с г с 1 где и ев <~а = га тс (последнее из (8.5)). Уравнение колебаний по ~ (штрихами далее обозначены производные по времени) тг + таатс = О. 2 266 Отсюда для частоты колебаний по л (МО 8.21) О4 = ООИ Г = Л ~ Š—. ! 2 ! 2 В4 (/0) 4 2ис Рассмотрим возможные радиальные колебания частицы в случае малых отклонений от равновесной орбиты (ХО 8.22).
Устойчивыми колебания будут, если сила Лоренца изменяется с изменением радиуса медленнее, чем центробежная. Сила Лоренца направлена к оси вращения, а центробежная — от оси вращения. На равновесной орбите они равны. При отклонении к оси центробежная сила оказывается больше и возвращает частицу на равновесную орбиту. При отклонении от оси больше оказывается сила Лоренца. Она направлена в сторону равновесной орбиты. Обозначая малое отклонение х = г — г, представляем В,(г) в виде ряда Тейлора дВ, и В,(г) = В,(г ) + †' (à — г ) = В, (г ) — — В,(г,)х. ГО В таком случае радиальная составляющая силы Лоренца имеет вид г Г = — ОВ (г) = — 4ОГВ (г) = — 020 О В (ГО)(! — л — 1= с ' с ' с г 0.) = — ОООГ В, (ГО) 1 — — 1 — и — = Р(га) — ике И + и) х.
Здесь использован закон сохранения момента импульса 2 2 02ОГО = 02Г где 02 — круговая (циклотронная) частота вращения частицы на равновесной орбите (8.5): В4 (ГО ) 020 =Е— И40 Для центробежной силы имеем 4 2 2ГО 2 Х РИО ике Г икОО 2 и020ГО 1 3 г ГО В результате уравнение радиальных колебаний частицы имеет вид и2х" + Ги02' (2 — и) х = О. 267 Колебательный режим возможен при и < 2.
Частота колебаний а = шо(2 — л)ц2. Длинный соленоид намотан так, что магнитное поле вдоль его оси меняется по линейному закону В= В,(1+~"~), г де х — расстоян от центра соленоида вдоль его оси; А — параметр поля, Диаме оленоида о1«Е, поле Вне зависит от времени. Отметим, что ука ную зависимость В(х) нельзя реализовать в окрестности х = О, ч не существенно для решения задачи.
Заряженная частица движ я так, что ее траектория полностью находится внутри соленоид для простоты можно считать, что траектория симметрична отн тельно оси соленоида). Опишем картину движения частицы и йдем период и амплитуду ее колебаний вдоль оси соленоида, если известно, что в центральном поперечном сечении соленоида она движется под углом 60' к его оси со скоростью о (№ 8.24). На рис. 8.12, а показано изменение мага нитного поля с изменением х.
С увеличением х, как следует из (8.5) и (8.6), увеличивается частота вращения и уменьшается радиус. На рис. 8.12, б показаны компо- та ненты скоростей частицы и магнитного в,. поля. Предполагаем, что скорость смещео ния к оси и, очень мала. Очень важным является наличие у магнитного поля составляющей, направленной к оси вращения -МЗ~ частицы В„.
Благодаря ей магнитное поле образует «ловушку», в которой частица застревает, т. е. останавливается и идет назад (рис. 8.12, в). Используя (8.1), получао ем, что компоненты векторных произвео дений дают: и,В„= 0; и,В, = 0; и„„— силу в направлении и,„которая увеличивает зту "о* скорость, и,„— силу в направлении о„ которая в основном обеспечивает вращение относительно оси, о,В, — силу против оо Рис. 8.12 2оо скорости и„, которая замедляет движение, а затем обеспечивает движение к центру соленоида, и„В„ — силу в направлении и,, которая при движении в положительном направлении х увеличивает скорость вращения, а при возвратном движении — уменьшает. Так как сила Лоренца (8.1), представляющая сумму указанных сил, всегда направлена перпендикулярно скорости, то она работы не совершает. Поэтому кинетическая энергия частицы сохраняется.
Пренебрегая скоростью ю„по сравнению с и, и вводя начальные скорости и, и и„о (рис. 8.12, г), получаем из закона сохранения энергии "т + "» "то +а. а. 2 2 2 2 Медленность изменения орбиты вращения частицы позволяет воспользоваться адиабатическим инвариантом (см.: 1, с. 127). Кинетическая энергия вращения оо г о 2' угловая скорость вращения определяется (8.5). Инвариантность от- ношения а/оа дает 2 2 ооо Подставляя это в соотношение для магнитного поля и используя закон сохранения энергии, имеем при и„= О максимальное отклонение 2 бб ооо Период колебаний в 4 раза больше времени прохождения этого расстояния "и г п1х ох Т=4 1 о ~ о (го — юох/Е) Один из предложенных,путей получения высоких температур, необходимых для осуществления термоядерных реакций, использует так называемую «магнитную термоизоляцию».
Уход быстрых частиц из зоны высокой температуры предотвращается магнитным полем. Найдем силу тока /в столбе газового разряда радиусом Я = 3 см, 269 необходимую для того, чтобы электроны, обладающие средней скоростью хаотического движения, отвечающей температуре Т = 10' К, не могли удаляться от поверхности столба на расстояние больше, чем г= 2 1О з см (М 8.25). Наибольший шанс уйти от столба имеет электрон, у которого скорость направлена перпендикулярно границе столба.
Магнитное поле вблизи поверхности столба (5.2) В=2 —. сд На расстоянии г поле можно считать постоянным и воспользоваться (8.2) и е 2 в — = — иВ. г с В результате !/2 гВ(3 27~) =1 4 105 А 2ег При пропускании мощных импульсов тока по коаксиальному токопроводу, находящемуся в вакууме, когда между проводниками коаксиала имеются мегавольтные напряжения, поверхность проводников покрыта плазменной «подушкой» и приобретает неограниченную способность к эмиссии электронов. Найдем, каким должен быть ток в коаксиале с радиусом внутреннего провода Я, = 0,6 см и внешнего провода Я, = 1 см (рис. 8.13) при напряжении между ними У = 600 кВ, чтобы не было «вакуумиого пробоя» (М 8.81).
Из теоремы о циркуляции (5.6) находим величину магнитного поля между проводниками В= —. сг Меньшее значение поля при г = Аг Разность потенциалов между проводами разгоняет электроны, а магнитное поле заставляет их вращаться по окружности. При больших энергиях электронов (см. 1, с. 179) получаем в данном случае 1 Е ес +еУ т/ т)дт тст гте Рас. 8.13 Ряс. 8.14 откуда с/с = 1. А циклотронный радиус из (8.6) ес г =2 —. еВ Чтобы не было «вакуумного пробоя», расстояние между проводниками должно быть больше циклотронного радиуса Я, — Я, > г„.
Поэтому для тока находим 1т2 В2 1>- — суи 2е К,-я, Вместо коаксиала можно использовать две плоские параллельные пластины шириной 1 = 5 см с зазором между ними Ь = 0,5 см (рис. 8.14), на которых падение напряжения (1 = 1 МВ. Найдем, при каком токе в такой линии проводники окажутся эффективно изолированными друг от друга (Лй 8.82). Оценивая, как и раньше, энергии электронов, получаем у = 3; с/с = 1. Магнитное поле в соответствии с (5.6) В=4я —. 1 с1 В результате получаем, что для отсутствия пробоя должно быть 1 > те~ уи14ябе.
По классическим представлениям электрон, вращающийся в атоме, обладает механическим моментом количества движения 1, = ага Считая, что ток, соответствующий движению электрона, 1 = — е(Т, где Т вЂ” период обращения электрона, Т = 2яг/ц В соответствии с (5.5) магнитный момент этого движения (тока) Я с р=1 — =-ег —. с 2с' 271 В векторном виде (Хз 8.26) Ь р= -е —. (8.7) 2тс Отношение Г = р/Е называется гиромагиитиым отношением. Для обладающего магнитным моментом р и механическим моментом количества движения Ь из (7.10) (в отсутствие поля тяготения) и (8.7) получаем (йЦ=(Бр~; [[й+В ~~С~=~. Откуда ()чз 8.27) е И = - —.
2вс (8.8) Н 4яУФ 4ю сЬ с С помощью (5.5) вычисляем магнитный момент р= В —. гЬ 4 При исчезновении сверхпроводимости прекращается поверхностный ток и магнитный момент, с которым, как следует из (8.7), связан механический момент импульса. Так как механический момент импульса должен сохраняться, то возникает вращение цилиндра с угловой скоростью а (ю = йр/й = ~р'). Для абсолютного значения момента импульса имеем А = lи' = а„сВВ~ —, 272 Эта частота называется ларморовской.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
