Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Магнитное поле над ней вычисляем с помощью (5.6) на ширине Ы 2ЫН = 4яЫи-. с Рис. 7.14 229 В целом система сбалансирована (Х9 7.53). На рис. 7.14 показано поперечное сечение коаксиальиого кабеля, во внешнем тонкостенном цилиндрическом проводнике которого вдоль образующей сделана щель шириной Ь «й (Я вЂ” радиус внешнего проводника).
Найдем силу, действующую на центральный проводник при пропускании по этому кабелю тока 7 Радиус центрального проводника г к Я. Ток Утечет по центральному проводнику в одну сторону, а по внешнему — в другую (М 7.35). Отсутствие тока в разрезе можно представить как суперпозицию тока по всему сплошному цилиндру и противоположно направленного по разрезу, равного Отсюда Н = 2яи —. с На единицу длины провода, в соответствии с (7.4), действует сила Г = — = 2я10 —,. с Рис. 7.15 12 При направлении токов, указанном на рисунке, действует сила притяжения. Из формулы (7.2) для силы, действующей на электрический заряд, движущийся в магнитном поле, можно получить силу, действующую на ток, создаваемый движением одинаковых частиц с зарядами д и концентрацией л.
Для плотности тока имеем ) = л4т, а для числа частиц в объеме 0Г получаем НУ = МИ Таким образом, для силы, действующей в магнитном поле (индукция В) на элемент объема ЫР, находим И = -'Ь*ЗУЫ = л'-(твида = -'ЦВ] 1и. Для объемной плотности силы получаем 1= -~~ = -'~)В]; ~1 = — "Р = ЦВ]~. (7.15) Рассмотрим прямоугольную кювету (рис. 7.)6), передняя и задняя стенки которой металлические, а остальные диэлектрические, наполненную электролитом с проводимостью Х.
К металлическим стенкам приложено напряжение Р и вся кювета помещена в однородное магнитное поле с индукцией В, направленное вертикально. 230 Такая же сила действует на единицу длины пленки. Если на расстоянии 1, от прямого провода, по которому течет ток силой 1„расположена квадратная рамка со стороной 1, таким образом, что две ее стороны параллельны проводу, и вся рамка, по которой течет ток силой 1,, лежит в плоскости, проходящей через провод (рис. 7.15), то, используя (5.2) и (7.4), можно найти силу взаимодействия между проводом и рамкой (М 7.46) (силы действуют только на стороны рамки, параллельные проводу) Рвс.
7.16 Ряс. 7.17 Размеры кюветы: металлическая стенка длиной Е, диэлектрическая а. Плотность диэлектрика р. При прохождении тока через электролит в соответствии с (7.15) действует сила, перпендикулярная току. Используя (4.7), изменение силы на единицу объема на ширине А получаем дг' = 7ВЕ = — Л —. а с Для компенсации этого давления уровень электролита поднимается на высоту (№ 7.41) Г = ~а Ь = — /Ва Ь = I —. с с Откуда для избыточного давления имеем (7.16) др= — =7 —.
с" В аз ас Для трубы диаметром 2) из (7.16) можно написать Г=1 —. с Оценим ток, необходимый для перекачки ртути (вязкость ц) по трубе диаметром Ю и длиной Ь с объемным расходом Д (л/с) в маг- гЗ1 оЬ = —. РЮ На рис. 7.17 изображена схема электромагнитною насоса для перекачки расплавленного металла. Участок трубы с расплавленным металлом помещается в магнитное поле, перпендикулярное оси трубы; через этот же участок в перпендикулярном (к магнитному полю и оси трубы) направлении пропускается ток. Найдем избыточное давление Ьр, создаваемое насосом (№ 7.39). Считая, что ток 1 идет через плошадку аЬ, нз (7.12) получаем силу, действующую в объеме а2Ь, г = 32ПŠ—.
0 Р~ Приравнивая это силе в насосе (7.16), где а = Р, получаем 1 = 32дсŠ—. 0 ВРЭ Применим формулу (7.15) для цилиндрического проводника, по которому течет ток плотностью1, и, следовательно, магнитное поле в нем определяется (5.7) 2л .
В= — р. с Это поле, как следует из (7.15), давит на ток в направлении к оси цилиндра. Токи, текущие по проводнику, имеют одинаковое направление и поэтому притягиваются друг к другу, создавая давление внутри проводника. Обозначая цилиндрическую боковую поверхность элемента объема 5, имеем соответственно а)г = Ыг и р = — = ~Яг. ИУ' Я Используя (7.15) и (5.7), с учетом знака имеем Ыр = — — 1 гаг. 2я а с (7.17) Найдем давление внутри жидкого (отсутствует сдвиговая прочность) цилиндрического проводника радиусом а, в котором равномерно по сечению (плотность тока постоянна) течет ток 1(Хо 7.38).
Интегрируя (7.17), имеем з з ( г) 2яос 2яна — г ~ г зг р = — — / )' Ь. = — /" = 1 ~1- —,~яа с . 2 2 На оси проводника при г =0 1г РО 2 2 с яа 232 нитном поле В (Хо 7.40). Предполагая, что в трубе реализуется тече- ние Пуазейля, воспользуемся соответствующей формулой для силы трения в трубе (см.: 1, с.
364): Рассмотрим высокий цилиндрический сосуд радиусом Я, наполненный электролитом. Внутри него параллельно оси расположен цилиндрический металлический стержень, поверхность которого покрыта изолирующей краской. Радиус стержня равен г . Расстояние между осями стержня и сосуда равно Ь. В электролите параллельно оси течет ток 7, возвращающийся обратно по стержню. Считая плотность тока в электролите постоянной, Рис.
7.18 найдем силу, с которой магнитное поле, созданное рассматриваемыми токами, действует на единицу длины стержня (№ 7.42). Поле в полости, которую занимает стержень, найдем, рассматривая суперпозицию полей токов одинаковой плотности, идупзих в противоположных направлениях по всему сосуду и объему полости. Используя (5.7) и обозначения на рис. 7.18, имеем Н [[)г1 1 [1Г2 ц М (7.18) Зная поле в полости, где находится стержень, с помощью (7.4) находим силу, действующую на элемент длины (л7) стержня: в'Р = — [а)В]. а'г", Ь /11~ Ь ,7' = — = 2я~~' —, = 2 [ — ) с с Я вЂ” г При изменении магнитного потока, как следует из (7.!), возникает ЭДС индукции. Элементарная работа, которую должен совершить внешний источник против ЭДС индукции (Ж), равна ЬА,„, = -Ивг = — ИФ. Эта работа идет на увеличение магнитной энергии электрическо- го тока ЫИ" = 1 —.
(7.19) с Вводя самоиндукцию контура А, предполагая, что ферромагнетики отсутствуют, и, используя (5.28), после интегрирования для 233 В данном случае В = Н и для силы, действующей на единицу длины стержня, получаем магнитной энергии неподвижного контура, когда самоиндукция ос- тается постоянной, получаем 1 !11 1 Ф 1Ф И" =-А~-) =-У вЂ” =- —.
2 (с) 2 с 2 Е, (7.20) Используя (7.12), для магнитной энергии внутри соленоида площадью 5 и длиной )можем написать 2 1с) 8л (7.21) где 1 2' са Поле вне провода определяется (5.2) 2! Нз сг В результате получаем и =-,'с(-'( =~(1н,'ии,1нии', и откуда 2,= — +21п( — ). Круговую петлю из сверхнроводника индуктивностью Е, по которой течет ток, помещают внутрь длинного сверхпроводящего корот- 234 В~Я Г=— 8л — сила, действующая между витками соленоида вдали от концов. Из (7.21) можем найти выражение для индуктивности соленоида, которое, конечно, совпадает с (5.29).
Это так называемый энергетический метод нахождения иидуктивности. Воспользуемся им, чтобы найти индуктивность единицы длины коаксиального кабеля, состоящего из толстого внутреннего провода радиусом а и тонкой внешней оболочки радиусом Ь (Хи 7. 55). Исходим из (7.12) и (7.20). Объем на единицу длины равен а г = 2лгаг, где г — расстояние от оси внутреннего провода. Поле внутри провода определяется (5.7) козамкнутого соленоида индуктивностью Е,, с числом витков )т', в котором тока вначале нет.
Найдем, во сколько раз изменится при этом ток в петле, если диаметры петли и соленоида одинаковы ()ч2 7.29). Обозначая начальный ток в петле 1„и учитывая, что в сверхпроводнике из-за отсутствия сопротивления нет ЗДС и, как следует из (7.1), сохраняется поток (5.28), для петли получаем 1.1„= Е1„+ М1,, где М вЂ” взаимная индукция петли и соленоида; 1, — ток в соленоиде. В сверхпроводящем соленоиде поток также сохраняется А,1,+ М1,=0. Учитывая, что поток через петлю от соленоида ВЮ = М1,, а зацепленный поток (5.31) в соленоиде 2тВЯ = АО1,, находим М = 1.,/Х Используя предыдущие уравнения, получаем 1к Е 1 г М2/1 1, 1,/ч2 Найдем, какую работу надо совершить для того, чтобы круговую петлю из сверхпроводника поместить внутрь длинного сверхпроводящего соленоида, замкнутого накоротко. Диаметры петли и соленоида считаем равными, а их оси — параллельными.
В отсутствие круговой петли ток в соленоиде равен нулю, начальный ток в петле 1„. Индуктивность петли А, соленоида — (.„число витков соленоида 2т'(М 7.75). Используя (7.20), для начальной энергии системы получаем И',=Š— ", 1„ 2 ' для конечной соответственно 12 12 И'2 = А —" + А, — '+ М1„1,. Работа, которую надо совершить, чтобы поместить петлю в соленоид, равна А = Ь И" = И' — И"г Используя полученные в предыдушей задаче соотношения, находим 1 112 с/ 2 "1, г/2у2' Формулами (7.19) и (7.20) можно воспользоваться для вычисления работы, необходимой, чтобы кольцо из сверхпроводника надеть 235 на длинный однородно намагниченный стержень, индукция на конце которого (в центре торца) равна В .
Внешнее поле постоянного магнита совпадает с полем соленоида с током. Пользуясь (5.22) или (5.23) и (5.24), получаем, что поле вдали от концов вдвое больше, чем на торце. Считая, что поле вдали от стержня отсутствует, находим, что при надевании кольца поток через него изменяется на Ф = 2ВсХ Если задана работа (А) (М 7.84), то нз (7.20) выражаем самоиндукцию кольца (с,=2В,'Ф/А), и с помощью (5.28) находим ток, который пойдет по кольцу, Ф сА 1=с — = —. 2, ВсЯ Если два одинаковых длинных соленоида (длиной 1) приставлены торцами друг к другу, как показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
