Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 28
Текст из файла (страница 28)
7.1, можно написать, учитывая, что заряды, которые появляются на конденсаторах, одинаковы, т. е. д = г; С, = )г~С„ ыВг(а, — а~~) !' ! ! 1 Г С,1 !ч к,= ' =Р!+р;=д~ — + — ~=и~(+ — '). 2с С, С, С, Отсюда (М 7.7) нВа, (г! — а~!/а, ) С! ! + С!7С, ' ' ' С, ' Изменение магнитного потока может быть связано с непосредственным движением части контура, изменением площади, через которую идет поток. Рассмотрим систему из двух вертикальных реек (проводящих щин), сопротивлением которых будем пренебрегать, замкнутых сверху и снизу проводниками с сопротивлениями Я (рис. 7.2).
Еше один проводник с сопротивлением В, имеющий длину ! и массу т, скользит без трения по рейкам в поле тяжести (я). Найдем максимальную скорость этого проводника, если система находится в однородном магнитном поле, индукция которого В перпендикулярна плоскости, в которой лежат рейки и сопротивления (М 7.9). Рве. 7.1 202 При падении проводника скорость его и направлена вниз, и в соответствии с (7.2) ток идет от )7 к А (см, рис. 7.2).
Сила в соответствии с (7А) направлена вверх и увеличивается с ростом скорости. Установившаяся скорость (она же и максимальная) определяется из ус- ловия те= П вЂ”. В с Величину тока 7 находим, используя ЭДС, т. е. разность потенциалов на концах скользящего проводника как интеграл по электрическому полю, определяемому (7.2): Полученное отсюда 7 подставляем в предыдущее уравнение и находим 3 Яс' 2' 2 (В!)' Можно было бы воспользоваться и (7.1), учитывая, что в верхней части поток растет, а в нижней уменьшается.
Так что ток в движущемся проводнике идет в одну сторону (складывается). На рис. 7.3 вместо верхнего проводника включена батарея. При падении проводника в соответствии с (7.2) создается ЭДС индукции Ф, и в направлении от точки 2) к точке А идет ток, равный 1. Обозначая токи и их направления, как показано на рис. 7.3, и ЭДС батареи 8', имеем К= — ВЬ; Г= — ХВ(=тя. 1 1 с с 7 А ~ ~21 7!В ('б + ('~ ~2В Откуда тХЯс — ДВ(с 2В( Движение будет направлено вверх, если тли < ЖВ1(М 7.8).
Рассмотрим сверхпроводяшее плоское кольцо плошадью Ю, которое перенесено из в удаленной области, где поля нет, в область однородного магнитного поля В„так что в результате нормаль к плоскости кольца составляет с направлением поля угол О. Изме- Ряс. 7.3 203 пение потока магнитного поля через кольцо приводит к изменению тока в соответствии с (5.28) д Ф = В Х соа 8 = — /,д/. 1 с Если известно, что в результате переноса кольца текший по нему ток / обращается в нуль, то можно найти коэффициент его самоиндукции (№ 7.27) / = сВЮ вЂ”.
/ Поток магнитного поля может меняться за счет изменения со временем магнитного поля. Вычислим ЭДС 8: в квадратном проволочном контуре со стороной а, в который включена лампочка, находящемся на расстоянии Ь от длинного прямого провода (рис. 7.4), по которому течет синусоидальный ток / = 1 сов е2/. В соответствии с (5.2) н (5.27) поток через контур Ф = — 1а ! — = — 1а!п(1+ — ).
с с с Ь Из.(7.!) находим 8 = — 1,е2з(пе2/а1п1!+ — ~. 2 / а1 с Ь! Если сопротивлением контура можно пренебречь и задано напряжение К требующееся для нормального накала лампочки, то можно найти эффективное (смотри разд. 1О) значение силы тока (№ 7.3) с Р 2 2ас2 1и(1+ а/Ь) Рассмотрим длинную катушку с плотностью витков л, по обмотке которой течет ток 1 = 1 сов е2/ и в которую вставлен стержень радиусом Я с магнитной проницаемостью 12, обладающий слабой удельной проводимостью Л. Найдем среднюю мош/ ность тепловых потерь в стержне на единицу длины в центральной части катушки (№ 7.87).
В соответствии с (5.23) и (6.8) поле в сердечнике, вставленном по оси катушки, будет равно в=4 )2 — е2/. /о с Ряс. 7.4 204 Используя (7.5), находим вихревое электрическое поле Е = 2пцп 2 оого(паг, 7о с где г — расстояние от оси стержня (и соленоида). В соответствии с (4.12) и (4.7) мощность тепловых потерь определяется интегралом по объему )г )„Ег,()г Объем на единицу длины стержня равен а)г = 2пЫг, и интегрировать надо от О до В. Поэтому 72 )У = 2п')~поп~ о оозВ4 з)п~ сок С Усреднение за период изменения тока дает ~2 (м), з; олг о гВ4 с Аналогичным образом можно найти среднюю мощность тепловых потерь в металлическом диске радиусом а, толщиной Ь и удельной проводимостью Х, находящемся в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости диска и изменяющемся по закону В = В, з(п гог (Хо 7.8б).
Обозначая расстояние от оси диска г, из (7.5) получаем 2пгЕ = — — пг Воосозоог; Е = — — — В игсооип г 11 С 2с о В соответствии с (4.12) и (4.7) мощность тепловых потерь определяется интегралом по объему Л~ = ~ЛЕоЛ. г Объем Ы)г= Ь2пЫг, и интегрировать надо от О до а. Поэтому 2 Ф =-п).Ь вЂ” оо сов оога . Во г 8 с Усреднение за период изменения тока дает На рис. 7.5 показан соленоид, имеющий форму тонкого тора, в котором ток линейно возрастает со временем: 1 = 1о т Вокруг тора имеется один незамкнутый виток. Один из входов миллнвольтметра жестко присоединен к концу 3, а другой перемещается, проходя последовательно положения 1 — 2 — 3 — 1.
Найдем, что покажет при этом милливольтметр, если площадь витков соленоида 5 и плотность намотки витков и ()ч2 7.4). Милливольтметр показывает ЭДС, которая создается в его контуре благодаря изменению магнитного потока внутри соленоида. Используя (5.23) и (7.1), для положений 1 — 2 — 3 получаем 4аЮи10 ст В результате присоединения снова к 1 получаем, что контур милливольтметра дважды охватывает магнитный поток в соленоиде, поэтому показание будет в два раза больше. Если в длинном воздушном соленоиде (радиус намотки г, плотность намотки л) ток линейно нарастает со временем (Н/~й = 1' = сопзг), то силовые линии возникающего вихревого электрического поля представляют окружности в плоскости, перпендикулярной оси соленоида с центрами на этой оси.
Используя (5.23) и (7.5), вдали от концов соленоида на расстоянии г от оси для напряженности электрического поля получаем 2ягл1' Е= сг При погружении соленоида в однородный немагнитный диэлектрик (диэлектрическая проницаемость е) электрическое поле в соот- Рис. 7.5 Рис. 7.6 206 ветствии с (7.5) не изменится, а индукция в соответствии с (3.8) увеличится в е раз (М 7.5). На рис.
7.6 показан железный цилиндрический сердечник, через который проходит однородный магнитный поток Ф = Ф сох о7г. На сердечник надет тор из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е. В торе имеется бесконечно узкий воздушный зазор, образованный двумя бесконечно близкими разрезами вдоль меридиональных плоскостей. Найдем напряженность электрического поля Е в зазоре в зависимости от расстояния г от оси цилиндра (М 7.6).
Обозначая штрихом производную потока по времени и ширину воздушного зазора Ь, из (7.5), непрерывности нормальной составляющей электрической индукции на границе диэлектрика и (3.8) получаем ЕЬ+ — (2яг — Ь) = -Ф'. Откуда Ф' с (с — 1)Ь + 2хг ' При Ь, стремящемся к нулю, имеем сФ' ~ОФс йа аа 2агс 2хгс Рассмотрим простейшую дииамо-машину (рис. 7.7), состоящую из прямоугольной рамки площадью 5 (сторона, параллельная оси вращения а, перпендикулярная Ь) с числом витков л и внутренним сопротивлением г, вращающейся со скоростью 07 в однородном магнитном поле (индукция В), работающую на внешнее сопротивление К Найдем средний момент М, приложенный к рамке, и среднюю мощность ЬГ, идущую на вращение динамо-машины (ЬЬ 7.10). Из (7.2) находим силу, действующую на заряды в рамке, которая создает ЭДС в частях рамки„параллельных оси вращения, Л = 2асВасоза = пмВаЬсоза.
Для тока получаем Ж 7=— Я+с В Из (7.4) находим силу, действующую на ток, и вычисляем момент, приложенный к рамке, М = 2/аВа — соса = (В5и) 2 Я+г Рис. 7.7 207 Отсюда находим среднее значение (М), имея в виду, что зависимая от времени величина (соз' а) = (соз' !ог) = 1/2. Так как работа равна МЫа, то мощность Л~ = Мо> и, следовательно, (У) = (М)оз.
Если внутри длинного соленоида (плотность витков л) вдали от его концов вращается небольшая плоская катушка (площадь сечения 5, число витков У), по которой идет постоянный ток 1, то из-за изменения магнитного потока через соленоид на его концах появляется переменное напряжение. Найдем его амплитуду и частоту, если угол а между осями соленоида и катушки, которая находится на оси соленоида, менЯетсЯ по законУ а(г) = ао соз ои, где а,— малая величина ()Ча 7.11).
Для нахождения магнитного потока от катушки через соленоид воспользуемся теоремой взаимности (5.28), т. е. равенства коэффициентов взаимной индукции катушки и соленоида М„= Мее Если через соленоид идет ток 1,, то в соответствии с (5.23) и (5.28), учитывая поворот катушки, Ф„(Г) = -М,„У, = 4плБЖ вЂ” 'соза(Г). 1 1, (7.7) Таким образом, М„, = М„= 4ппБИ~( — — аз (Г)~ = 4ппБ!т'~ ! — — а, 'соз' озГ~ = 2 2 ао ао = 4ялХ!!( 1 — — — — соз- озГ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
