Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 31
Текст из файла (страница 31)
сЯ Если дипольный момент направлен так же, как поле в соленоиде, то диполь будет втягиваться в соленоид. Небольшой сверхпроводяший шарик может свободно перемещаться вдоль оси тонкого кольца радиусом Я, по которому течет ток. Найдем, при каком расстоянии между шариком и плоскостью кольца сила, действующая на шарик, принимает максимальное значение и как она направлена ()чз 7.81). Обозначая расстояние от плоскости кольца вдоль его оси х, из (5.3) имеем Н =2я— л' с( з з)д Дипольный момент сверхпроводящего шарика радиусом г в соответствии с (6.28) 3 и р = -г —. 2' Сила подобно (1.11) дН ~ Я13 з х г г =р — =12яl — 1 — г дх ( с) 2 ( з г)4 Приравнивая первую производную по х нулю, находим экстремумы. При х = А/ /7 сила максимальна и направлена в сторону возрастания х (сила отталкивания). При х = -Я/ Г7 сила по абсолютной величине такая же, но направлена в сторону отрицателъных значений х (также сила отталкивания).
В экваториальной плоскости шара радиусом а находится тонкое металлическое кольцо радиусом р > а с электрическим сопротивлением Я. Внешнее однородное магнитное поле В, перпендикулярно плоскости кольца. Пренебрегая индуктивностью кольца, найдем заряд, протекший по кольцу, если охлаждением шар переводится в сверхпроводяшее состояние (М 7.28). Предполагая, что вещество шара является немагнитным, получаем для потока магнитного поля через кольцо Ф„= В,яр'. В результате превращения шара в сверх- проводник магнитное поле из него вытесняется (эффект Мейснера). 221 По поверхности шара текут поверхностные токи.
Для удовлетворения граничного условия на поверхности шара, как это следует из (6.17), можно считать, что в центре шара имеется диполь с дипольным моментом 1 з р=- — а Во. 2 Поле в экваториальной плоскости шара будет равно В(г) = В, Для потока в этом случае получаем 3 2 Вка -Вок— Р Используя (7.!), находим 1 а'Ф К=И=Я вЂ” ~ й с ~й Откуда 1дФ а Ч= — =Во" с Я сЯр На рис.
7. ! ! показан стальной мапштопровод длиной Е с магнитной проницаемостью и, в замкнутой сверхпроводяшей обмотке которого возбужден ток 1о. Найдем, как изменится ток в обмотке, если имеюшийся в магнитопроводе небольшой зазор 1, в котором рассеянием магнитного поля можно пренебречь, уменьшить в два раза (Хо 7.30). Из теоремы о циркуляции (5.б), обозначая число витков в обмотке л, находим 4кл — о = Н Е + Но ! ~о с Из условия на границе с помошью (б.1) имеем )оН, = Н,.
Откуда 4пл — =Н~ — +! . 7о с ' Н Ряс. 7.11 222 Так как сопротивление обмотки и, следовательно, ЭДС 18 равны нулю, из (7.1) имеем постоянство магнитного потока и поэтому постоянство напряженности магнитного поля. Отсюда 4ал — =Н ~ — + — ), г Г/. 1Р с ~а 2!' где! — новый ток в обмотке, для которого получаем Ца+ //2 ~/Н+ / Если не уменьшать зазор, а заполнить его тем же веществом, из которого состоит магнитопровод (М 7.32), то второе уравнение примет внд 4яя — = Н, / 1,+! и Откуда / = /о /. +/ ь+ 1И В, ( В) р=» =Н вЂ”; )р=а =Н вЂ” 1. 8~' ( 21 (7.12) Поэтому в данном случае (ц = 1) Ф (я/г') Найдем давление р, действующее иа боковую поверхность длин- ного соленоида, имеющего плотность намотки л 1витков/см1, по ко- 223 Постоянство магнитного потока из (7.1) следует также для быстрых (при й стремящихся к нулю) процессов.
Сильные магнитные поля можно получить взрывным сжатием проводящей цилиндрической трубы, внутри которой создано начальное магнитное поле с индукцией В,. Предполагая материал трубы идеально проводящим (магнитное поле не входит в него), найдем индукцию магнитного поля внутри трубы В при сжатии ее по радиусу от начального внутреннего радиуса Я до г и давление р, необходимое для этого (М 7.31).
Из постоянства потока магнитного поля Вяг~ = В яАз находим В. Для плотности энергии (а) магнитного поля (напряженность Н, индукция В = нН), которое определяет давление (р), по аналогии с (3.75) имеем торому течет ток Г(№ 7.34). Предполагая магнитную проницаемость среды )г = 1, из (7.12) и (5.23) получаем г„г р =2я —. с С внешней стороны длинного соленоида магнитное поле отсутствует. Отметим, что давление в случае магнитного поля действует в сторону от него, в то время как в случае электрического поля, например в конденсаторе, давление направлено в сторону электрического поля (обкладки заряженного конденсатора притягиваются). Давление можно найти и другим способом, используя закон Ампера.
Сила, действующая на элемент тока ЛИ, находящийся в магнитном поле Н, в соответствии с (7.4) при В = Н с1Р = — У~И!Н), (7. 13) где Н вЂ” магнитное поле, создаваемое в данной точке всеми элементами тока соленоида„кроме самого рассматриваемого элемента. Это поле можно найти из условия, что сумма его с полем Н,, создаваемым элементом, равно полю внутри соленоида, а вне— равно нулю (Н вЂ” Н, = 0). Вычисляя циркуляцию поля на единице длины, из (5.6) имеем Н+Н, = —. 4апг Откуда Н= 2яп7 сЮ Ргп и р= — =2а —. с сг Если обмотка соленоида выполнена проводом диаметром г(в один слой, то п = 1/И и, следовательно, 7г р=2я —. сг г'г В случае сверхпроводящей обмотки максимально возможный ток определяется либо механической прочностью провода обмотки, либо разрушением его сверхпроводимости.
При разрушающем сверхпроводимость внешнем поле В = 15 кГс и диаметре провода обмотки Ы = 0,2 мм, используя (5.23), находим 3 1О 2 1О 1,5 1О 4я 310 2 3,14 224 При прочности проволоки на разрыв г" = 5 Н и диаметре соленоида 0«а 2 см, Р учитывая, что давление магнитного поля р а/ уравновешивается силой вдоль оси провода, как показано на рис. 7.12, для предельной прочности получаем уравнение /2 2à — = р — ах1, 2 2 находим (№ 7.67) Рис.
7.12 По заданным значениям находим 7 3 )О~о 5.10 2 !О /2 3,14 4ОО А. аах 2 3.1ОР Таким образом, вначале разрушается сверхпроводимость (№ 7.68). На поверхности сверхпроводящей сферы, находящейся в однородном магнитном поле, напряженность магнитного поля определяется (6.19) ггх = 2 агоз)пО 3 где 9 — угол отклонения радиуса, направленного в данную точку, от направления магнитного поля (О = В ). Давление на поверхность сферы определяется (7.12) Нг р= 8х и направлено к центру сферы.
Если сфера радиусом Я разрезана вдоль диаметральной плоскости, перпендикулярной к направлению магнитного поля, то для отрыва одной полусферы от другой требует- ся сила (№ 7.69) «/2 9 г г Г= )' рКзте2 ш(всозв= — В,',Я'. о р о В сверхпроводящем соленоиде отсутствует сопротивление и ЭДС равна нулю. Поэтому из (7.1) следует неизменность потока магнитного поля Ф.
Если в короткозамкнутый длинный сверхпроводящий 7 В-гога 225 соленоид с начальным внугренним полем, равным Во в его центре, и площадью сечения о вставляют длинный сверхпроводящий сердечник с площадью сечения о, то, пренебрегая краевыми эффектами, получаем, что индукция магнитного поля станет В соответствии с (7.12) и (7.13) давление на внутреннюю поверхность соленоида и боковую поверхность сердечника будет равно (М 7.71) В- '[В Я(5 — о)~ Р= 8х 8х Начальное давление поля было ВО Ро= 8л В общем случае при адиабатическом сжатии магнитного поля получаем из предыдущего соотношение типа адиабаты для газов (М 7.72) РА = Рг~г.
з г На рис. 7.13 изображен полый цилиндр (конечной длины с радиусами цилиндрических поверхностей Я, и Я ) из сверхпроводиика, вдоль оси которого расположен длинный проводник, по которому идет ток Е. Найдем токи, текущие по внутренней и наружной цилиндрической поверхности сверхпроводящего образца, и давление на стенки цилиндра (Мв 7.73).
Важной особенностью данной задачи является осевая симметрия. Благодаря этому, используя (5.6), находим поле у внутренней стенки цилиндра, как и в (5.2) имеем 2У Н = —. сЯ~ 4 Токи, идущие по поверхности сверх- проводника, должны не впустить магнитное поле внутрь. Вводя плотность тока на поверхности )н из (5.6) получим Н 1=4я — '. с Рис. 7.13 226 Откуда 1 Л = —. 2лл, По всей внутренней поверхности идет ток 1. Сверхпроводник в поле проводника будет вести себя подобно тороидальной катушке. На внешней боковой поверхности цилиндра полный ток также 1 и соответственно ! ./г 2ялз ' а за внешней боковой поверхностью цилиндра магнитное поле описывается (5.2).
Поэтому давления на боковые стенки цилиндра находим с помощью (7.12) 72 72 2псзл'' Р- '2я гдз' Давления направлены внутрь сверхпроводника, причем р, < р„ а силы одинаковые. Используя формулу для магнитного поля прямого провода бесконечной длины (5.2) и закон Ампера (7.4), находим силу взаимодействия между двумя прямыми параллельными проводами бесконечной длины, расположенными на расстоянии 1, много большем диаметров проводов, по которым текут постоянные токи 1, и 1т На единицу длины сила равна (7.14) Из векторных уравнений (5.1) и (7.13) находим направление силы. При одинаковом направлении токов — притяжение, при противоположном — отталкивание. Обратим внимание на то, что параллельно движущиеся свободные заряды отталкиваются. Полученным направлением силы взаимодействия между элементами тока можно объяснить силы в витках соленоида (отталкивание) и между витками (притяжение). Для двух параллельных длинных проводов с противоположными направлениями тока силой 1 из (7.14) для силы отталкивания на единицу длины имеем 21 р— сг 227 Работа, которую совершает магнитное поле, при увеличении расстояния ме2ю2у проводами (Ь) в два раза (М 7.43) равна 28 212 12 А = 1 — Нг = 2 — 1п 2.
ь сг с На такую величину увеличится магнитная энергия единицы длины системы двух проводов. Если два параллельных цилиндрических провода из сверхпроводника находятся в однородном постоянном магнитном поле с индукцией В, направленной вдоль проводов, то на их боковые поверхности действует давление, определяемое (7.12). Сила взаимодействия между проводами отсутствует при отсутствии в них тока ()Ча 7 36) Рассмотрим два провода в виде прямых плоских шин шириной а, расположенных параллельно на расстоянии 1 к а, по которым идут токи 1 в противоположных направлениях. На единицу ширины шины ток 11а. Используя (5.6), получаем магнитное поле для шины Н =2п —.
1 са От двух шин, в которых токи идут в противоположных направлениях, поле будет в два раза больше. С помощью (5.28) Ф = — 1.1 = 2Н1 = —. с са Откуда находим индуктивность системы на единицу длины 1. = —. а Сила взаимодействия (отталкивания) между шинами на единицу плошади (давление) определяем с помощью (7.12) (М 7.54): 2я1 Р=— с2а2 ' Если на шинах задана плотность тока1, то поле между шинами Н = — ~. с При заполнении пространства между шинами плоскими слоями магнетиков с магнитными пРониЦаемостЯми 12, и Рн с Учетом не- 228 прерывности напряженности магнитного поля на границах, из (7.12) получаем давление на шинах: Р, =2я — Н, 2 с2 Рг = 2" 122 у с2 а давление на границе раздела магнетиков Р~г = 222 — 2(12~ — 122).
./ с г'= à —. Ь 2ягг ' Из (7.14) получаем силу притяжения Г=21 г =2~ При производстве полиэтиленовой пленки широкая тонкая полоса протягивается по роликам со скоростью с (см. рис. 5.11). В процессе обработки поверхность пленки приобретает равномерно распределенный заряд плотностью о. Над пленкой на расстоянии Ь, малом по сравнению с ее шириной, расположен прямой провод, по которому течет ток 7. Направление тока совпадает с направлением движения пленки. Найдем силу, действующую на единицу длины пленки (Мо 7.45).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
