Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Направление тока в пластинах такое, что между ними магнитного поля нет. Используя (5.б) и считая, что в каждой полосе идет ток 1, находим, что магнитное поле снаружи Используя (5.6), имеем В2лг = — 1' пие2пгйг. 4л ' о Дифференцируя это соотношение, находим с(1+ д) Во (и В) ~ 4пеий Используя (1.12), получаем е Е2лг = 4я) пе2пгйг. о Интегрируя, имеем Отметим, что в пучке отрицательно заряженных электронов электрическое поле направлено к оси пучка, а сила, действуюшая на электрон, направлена от оси пучка. Используя (7.2), можем найти силу Лоренца, которая направлена к оси пучка и равна Р„= — еВ. Отношение этой силы к электрической (кулоновской) силе Р'„= еЕ равно (и/с)з, т.
е. малб, пока скорости электронов малы по сравнению со скоростью света. Компенсировать разницу сил можно, поместив нужное количество положительных неподвижных однозарядных ионов внутрь пучка. Обозначая концентрацию ионов п и предполагая, что столкновениями электронов (концентрации п) с ионами можно пренебречь, для единицы объема получаем п(ń— Г„) = п„у'„.
Откуда (№ 8.10) п,=п 1 — — 3 Аналогичное отношение магнитной (Г„) и электрической (Г„) сил получаем для сил взаимодействия двух параллельных пучков элек- 253 тронов. Предполагая, что поперечный размер пучков много меньше расстояния между ними (а), и обозначая плошадь сечения пучков о и скорость электронов и, из (1.12), (5.6) и закона Ампера (7.4) получаем (М 8.9) е Е2па = 4лпие; Е = 2ои —; Е„= 2о~п~ —; к а В=И =2опе —; Р'„=2оп2е2 —; — "=~ — ) . са с2а Р'„~с) Найдем частоту поперечных колебаний протонов, захваченных релятивистским электронным пучком, имеющим сечение лЯ2 и силу тока Г(М 8.6).
Обозначая плотность электронов в пучке и, для силы тока в пучке получаем Г = епихин~ = епслК', с учетом того, что с = с. Используя теорему Гаусса (1.12), получаем электрическое поле в электронном пучке Е = 2еплг = 27 —. г сЯ На протон действует сила притяжения еЕ. Уравнение колебаний протона (массой т) Н г 2!ег т — + — = О. ,1г' ей' Отсюда частота колебаний 2 2/е ы в = — и у= —. тсЯ 2л Две щели Ю, и Х„которые будем считать бесконечно длинными, шириной I каждая (рис.
8.3), установленные в эвакуированном сосуде, выделяют плоский пучок электронов с энергией Иг. Найдем, на каком расстоянии х от щели 5, ширина электронного пучка удвоится из-за кулоновского расталкивания электронов, если электронный ток, приходящийся на единицу длины щели (за щелью Я,), равен 1(М 8.5). Для скорости электронов (массы т) имеем и=( — ) Ток 7 = иеиб Используя (1.12), получаем Я поле на границе пучка 2Е = 4лп1е. Откуда Е= —. и Рнс. 8.3 254 Ускорение электрона на границе пучка перпендикулярно к скорости пучка Е а=е —.
При двойном расширении пучка у=1= — =еЕН Поэтому получаем Из ускорителя выводится пучок протонов с энергией И'= 4 МэВ, который затем проходит в вакууме путь 1= 4 м, прежде чем попасть на мишень. Вследствие кулоновского взаимодействия частиц размеры пучка увеличиваются.
Оценим максимально возможную плотность тока в пучке, если допускается увеличение его радиуса на 8 = 10 % по сравнению с исходным (8 = Ьг/г ). Считаем, что распределение частиц в пучке аксиально симметрично, а их начальными поперечными скоростями пренебрегаем (М 8.7). Обозначая заряд частиц е, массу т, число в единице объема л, из (1.12) получаем напряженность электрического поля в пучке Е = 2яелг.
Для движения частицы в радиальном направлении, т. е. для увеличения радиуса пучка, получаем тг" = 2яе'лг. Вводя приращение радиуса пучка х = г — г, и радиальную скорость пучка Ыг Ж а = — = —, й ~Й' имеем 12 2 2 и =~ — ~ =2яел =4яелго —. 2 1ах~ 2 г го 2 х 1 гг/ т т Интегрируя похот нуля до Лги по гот нуля до г = 1/)г и подставляя 1 = ел )г, получаем / = 8)гз — = Ьт 3 (2И'/ )1 ае1 ае1 На рис. 8.4 изображена электронная лампа непосредственного накала со всеми поданными на нее напряжениями. Предполагая, что анодный ток Рпе. 8.4 255 мал по сравнению с током накала, что обычно и бывает в лампах, и учитывая, что нить имеет в разных точках различный потенциал, получаем, что вылетающие из разных частей нити электроны при движении до анода набирают различные скорости в соответствии с той разностью потенциалов, на которой они разгоняются (от 5б до 60) (М 8.8). Такое распределение скоростей будет иметь место, если анодный ток мал по сравнению с током накала, что обычно и бывает.
Движение частицы, имеющей заряд д и скорость ч, в электрическом поле с напряженностью Е и магнитном поле с индукцией В определяется, как следует из опыта, силой Лоренца Р = дЕ+ — д[тВ]; [Р = дЕ+д[тВ]], (8.1) где с — скорость света в вакууме. При е «с для частицы с массой в получаем уравнение движения т — =дЕ+ — д[тВ]; (т — =дЕ+д[чВ]]. (8.2) В дальнейшем будет показано, что движение с нерелятивистскими скоростями может происходить при выполнении условия Е к В. Так как в нерелятивистском приближении сила одинакова в инерциальных системах координат, а второй член в (8.1) меняется при изменении скорости, то разделение силы на электрическую и магнитную зависит от выбора системы отсчета.
Рассмотрим две системы отсчета: неподвижную Х и движущуюся относительно нее со скоростью и подвижную систему В'. Скорость частицы (е) в системе Ю связана со скоростью (е') в системе Ю' преобразованием Галилея е = е' + и. Из равенства сил имеем Р = дЕ+-д[тВ] = дЕ+-д[тВ]+-д[вВ] = Р' = дЕ'+-д[т'В). Отсюда следует Е' = Е+ — [вВ]. (8.3) Для получения закона преобразования магнитной индукции надо привлекать теорию относительности. Приведем результат (8.4) В' =  — — [вЕ]. с 25б дВ 07 = —. Е7С (8.5) Заметим, что эта частота не зависит от радиуса орбиты, который называется циклотронным, или ларморовским, радиусом (8.6) На рис.
8.5 показана траектория электрона, который влетает в постоянное однородное магнитное поле В со скоростью т под углом а к направлению поля. Найдем расстояние А С, которое электрон проходит за один оборот (№ 8.12). Обозначим компоненты скорости, перпендикулярной и параллельной магнитному полю соответственно 77, = 77 з)п а и 77, = 77 сов а. Тогда в соответствии с (8.2) для движения по окружности получаем «70~ 1 2 — = — е771 В.
л с Откуда еЯВ 77, =— Е7С и период обращения 2лд 2ле7с 7 еВ Поэтому 2л7лс77 сох а еВ Найдем величину магнитного поля, необходимого для того, чтобы в ускорителе ультра- Рвс. 8.5 257 77-2073 Соотношения (8.3) и (8.4) позволяют получить условия для выбора систем, в которых существует либо только магнитное поле, либо только электрическое. В постоянном магнитном поле сила перпендикулярна скорости и поэтому работы не совершает.
Если скорость перпендикулярна В, то движение происходит по окружности. Вводя угловую скорость вращения а7 и радиус окружности Я, получаем с помощью (8.2) и уравнения движения по окружности (см. 1, с. 14; 45) для угловой скорости вращения, которую называют циклотронной частотой релятивистские частицы, разогнанные разностью потенциалов У, двигались по окружности радиусом Я (М 8.13). Имея в виду, что для ультрарелятивистских частиц и = с и кинетическая энергия частицы И'=дУ = ес (1 — (нс) 1 где т — масса покоя протона.
Из (8.6) находим В = У/Я. В солнечном ветре, представляющем собой поток плазмы, движугцейся относительно Солнца со скоростью в = 400 км/с, происходит ионизация неподвижных относительно Солнца нейтральных атомов гелия межзвездной среды. Полагая, что вектор магнитной индукции В в системе отсчета, связанной с ветром, перпендикулярен вектору т и по модулю равен 5 1О 9 Тл, а также что направления векторов В и т остаются постоянными, найдем траекторию ионов Не как функцию времени после ионизации. В силу высокой проводимости плазмы солнечного ветра считаем, что напряженность электрического поля в системе отсчета, связанной с ветром, равна нулю и влиянием гравитационного поля можно пренебречь (Мо 8.86). В системе отсчета, связанной с солнечным ветром, электрического поля нет.
Система отсчета, связанная с Солнцем, относительно этой системы движется со скоростью ( — т), и поэтому в соответствии с (8.3) в ней есть электрическое поле Е'=- —. [чВ] с Из (8.4) следует, что магнитное поле в обеих системах одинаково. Предполагаем, что поток плазмы только ионизирует гелий, а ускорение ионов связано с магнитным и электрическим полями, а не с ударным воздействием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
