Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 39
Текст из файла (страница 39)
с Используя уравнение, описывающее движение по окрулсности с сВ 2 т — = 4 —, Я с для работы электрического поля получаем А = Ь )4' = дЕ'2К = ди — = 2ити. 2Я с Для относительного изменения энергии имеем ЬИ' с 4и — = 2ит — з т с~/2 В скрещенных однородных полях Е и В (Е ~. В) из некоторой точки х, разлетаются электроны с одинаковыми скоростями и «с, лежащими в плоскости Оху (рис.
8.18). Считая Е к В (СГСЭ) и пренебрегая взаимодействием электронов друг с другом, найдем, на каком расстоянии (и через какое время Тони снова соберутся в одну точку, а также изобразим (качественно) траекторию частицы, если известно, что в начальный момент она покоилась в точке х, (Хо 8.34).
Перейдем в систему отсчета, в которой электрическое поле равно нулю. В соответствии с (8.3) и заданными условиями эта скорость направлена по оси х (см. рис. 8.18) и равна с и=Š—. В В этой системе частицы движутся по окружностям с угловой скоростью а=е— тс Рис. 8.18 279 и соответственно периодом Т = 2ят —.
еВ Через это время частицы вернутся в начальную точку, которая в неподвижной системе пройдет путь, равный ! = иТ = 2ятс — 2. г Е еВ Траектории частиц представляют циклоиды, как это было для точки обода катящегося колеса. Радиус получаем из (8.6) Я= тс —,.
Е еВ Приведем подробное решение для движения электрона, обладающего скоростью т, попадающего в однородные и постоянные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля Е и В (см. рис. 8.18) (Ма 8.35). Проектируя (8.2) на оси координат и обозначая производные по времени штрихами, получаем 4х'+!у'),, Е +!ег(х'+ (у') = 1е —, с1г т (8.10) где еВ тс Решение (8.10) ищем как сумму однородного (правая часть равна нулю) и частного решения неоднородного. Для однородного имеем х'+ гу' = ае '"'. (8.11) Частное решение х'+/у' = с —.
Е В' (8.12) Входящее в (8.11) а — в общем случае комплексная величина а = Ье ". Поскольку а умножается на е еи (вращается в комплексной плоскости), то, выбирая начало отсчета времени, можем придать фазе а 280 ,В „ ,В тх" = еу' —; ту" = еŠ— ех' —; т8" = О. с с Умножая второе уравнение на мнимую единицу 1 = ( — 1)цз и складывая с первым, имеем любое значение. Выберем так, чтобы а было вещественным.
Общее решение уравнения (8.10), учитывая, что е ""' = сов гег — 1яп яг, можем записать х'+ )у' = а сов гег — 1аяп юг+ с —. Е В' (8.13) Приравнивая действительные и мнимые члены, находим Е х' = асозгаг+с —; у' = — аяпят. В' Видно, что в момент 1= 0 скорость направлена по оси х, а компоненты скорости — периодические функции. Для средних по времени значений находим (х') = с —; (у') = О. Скорость дрейфа (х') перпендикулярна обоим полям. В векторном виде [ЕВ] т =с —,.
В Интегрируя (8.14), получаем (8. 15) х = — япяг+сŠ—; у = — (соаыг — 1). а г а О) В ы (8.16) 1= 11, для сопротивления перемычки Я= ~, 18 ' для падения напряжения Р .8ЛВ 281 Это — трохоида. При а = — сЕ/ — это циклоида. По двум параллельным проводящим плоскостям текут антипараллельные токи с линейной плотностью Е Они замыкаются через соединяющую плоскости перемычку толщиной 8 с удельным сопротивлением р (рис. 8.19). В пространстве между плоскостями совершает дрейфовое движение свободный электрон. Найдем величину и направление скорости дрейфа (Мо 8.80). Обозначая ширину плоскостей 1„а высоту а, получаем: для тока для напряженности электрического поля Е = — =1Р. У .р а 5 Из теоремы о циркуляции (5.6) В = 4я-.
с Из (8.15) получаем Е с р и =с — = с- —. В 4я8 т — = дЕ+ — )чВ) — ач. сЬ 4 сР с (8.17) На рнс. 8.20 показаны векторы полей и скорости. В установившемся движении производная скорости по времени равна нулю. Поэтому при отсутствии магнитного поля 4Е = аии При наличии магнитного поля запишем уравнение в проекциях — аи — — и В=О.
с дŠ— аи + — и В=О; 4 с (8.18) Из этих уравнений находим Ви| 1д и~ — и =(и„+и ) Ес ' " )(+В 1(Езс'1 18о = и„ Вместо электрического может быть гравитационное поле. Такое же условие в отсутствие магнитного поля. Кроме того, при отсутствии трения задана скорость дрейфа и„(Ха 8.41). Из решения уравнений (8.9) следует, что дрейф возникает при любой постоянной силе, например силе тяжести й.
В уравнении (8.2), Рис. 8.20 282 Заряженный шарик движется в скрещенных однородных электрическом Е и магнитном В полях (Е «В) в среде, сила трения в которой пропорциональна скорости движения. Движение происходит в плоскости, перпендикулярной вектору индукции магнитного поля. Найдем величину и направление скорости его установившегося движения, если известно, что в отсутствие магнитного поля эта скорость равна и, (М 8.42). Используя (8.2), для описания движения шарика получаем а потом и в (8.17) записываем Е = Р/е (в последнем соответственно Е = Р/д).
Для скорости дрейфа из (8.15) следует [рв) тд Ве (8.19) Таким образом, при отсутствии магнитного поля Е = аап а для скорости дрейфа получаем сд с и, = — =са —. чВ чВ' Подставляя в уравнения (8.18) Е = Е/27 и решая их, находим тх" = -еŠ— еу' —; ту" = ех' —; т~" = О. (8.20) ,В „ ,В с с В соответствии с (8.16) получаем х = ггйпоп; у = гсозсос — сŠ—; 2 В (8.21) Е2=Š—. ст Таким образом, заряд наряду с круговым движением дрейфует вдоль оси у (перпенди- Рве. 8.21 283 су с~ ~ ~82 18<Р = — = — —; и = (22„+ 22,.) ~х л ~1-~-с /с Однородный по плотности плоскопараллельный слой электронов удерживается в вакууме однородным магнитным полем с индукцией В = 57 Гс (рис.
8.21). Поле параллельно поверхности слоя. Толщина слоя 8 = 1 см. Плотность электронов в слое л = 10' см '. В этих условиях электроны движутся параллельно поверхности слоя в плоскости, перпендикулярной магнитному полю (дрейф). Найдем скорость дрейфа 22, в зависимости от расстояния х до плоскости симметрии. А' также определим разность потенциалов Лч2 между плоскостью симметрии и внешними поверхностями слоя. Зная, что для электронов е/т = 5,27 10" ед.
СГСЭ (№ 8.36) однородный слой заряженных частиц (в данном случае электронов) создает электрическое поле. Учитывая симметрию и применяя теорему Гаусса (1.12), получаем Е = — 4яелх внутри слоя и Е, = — 2яелб — вне слоя (см. рис. 8.2!). Движение электронов внутри слоя в скрещенных электрическом и магнитном полях описывается уравнениями (8.9), которые в данных наименованиях координат имеют вид кулярно Е и В).
В слое частицы удерживаются в результате равнове- сия электрической и лоренцевой сил Е+у' — = О. ,В с Отсюда скорость дрейфа сЕ гг В Колебания в линейно меняюшемся поле описываются уравне- нием тх" + 4пегпх = О. Частота их называется плазменной частотой (8.22) сог = 4яе —. гп (8.23) Воспользовавшись этим определением плазменной частоты, выражением для электрического поля Е=ег т— г х е и формулой для циклотронной частоты (8.5), получаем г х Р =ю р р (8.24) Для разности потенциалов имеем 6/г бг 1ир = ~ 4кепх Ых = кеп —. о 2 (8.25) Электронный пучок представляет собой тонкостенную трубку, движущуюся в направлении своей оси и вращающуюся относительно нее в вакуумированном пространстве между электродами соосного с пучком цилиндрического конденсатора (радиус внутреннего электрода го внешнего г„).
Считая пучок бесконечно тонкой заряженной поверхностью, свернутой в круглую трубу радиусом г„а полную скорость электронного пучка заданной и равной и, найдем максимальный ток 1„,„, который может быть проведен в таком пучке через пространство, ограниченное электродами конденсатора. Конденсатор электрически закорочен, его длина существенно превышает зазор между электродами (М 8.37). 284 Обозначая поверхностный заряд пучка о, получаем заряд пучка на единицу длины Х = 2яго.
Вводя заряд на единицу длины на внутреннем электроде Х„из выражения для напряженности электрического поля, имеющего цилиндрическую симметрию, (1.16) получаем, что поле между г, и г равно Е, = — ', а поле между го н г, равно е 2(х+ х,) Ео = Используя связь напряженности поля с потенциалом (2.6), находим (р(го) <р(г) = -2Х, 1п( о1 ! ~р(г2) -~р(го) = -2(Х+ у„,)1п( 21. о Из условия закороченности конденсатора я!(г ) = <р(г,) получаем !п(го/го) Х! Х 1и (го/й ) Скорость движения электронов ио складывается из скорости вращения по окружности е„и скорости вдоль оси пучка оп (оО оц) Для движения электрона с зарядом е (отрицательным) и массой т по окружности имеем г /2х, т — =-е — +2яо .
о о Используя полученные ранее связи, записываем о, =ах, 2 где е !п(й го/го ) т !и (го/г, ) 285 Для тока в пучке получаем 2 1/2 (=Хе. =Х(.о-аХ) Из условия максимума тока — '" =0 На получаем значение 2 "о 2 х=- —. 3 а В результате 2ео з 1 3 /За Такой же полый электронный пучок, имеющий форму тонкостенной длинной трубки, движется в вакууме в направлении своей оси, вдоль которой приложено внешнее однородное магнитное поле, и одновременно вращается относительно оси с частотой Лармора (8.8) еВ й = — —.
2тс' Считая пучок бесконечно тонкой заряженной поверхностью, свернутой в трубку круглого сечения, а полную скорость электронов пучка заданной и равной ио (много меньшей скорости света с), найдем максимальный ток 1,„, который можно провести в таком пучке (М 8.40). Как и ранее, имеем, что скорость движения электронов е складывается из скорости вращения по окружности е„и скорости вдоль оси пучка вп (ео еп ) Для движения электрона с зарядом е (отрицательным) и массой т по окружности имеем ! ЙВ1 тгой = — е~Е+го — ~, с ! где Š— напряженность собственного электрического поля пучка, которое действует на электрон в пучке.
Обозначая поверхностную плотность заряда пучка о, подставляя Е = 2па и выражая В через й, находим 2 е2по й т го 286 Соответственно г е и = го ое = — 2яаго. т Для тока в пучке получаем 1 = 2яаго" = —" ("о " ). гг2 гг и е и о~. Из условия максимума — =О ее„ находим г 1 2тоо 3 /Зе Вдоль оси находящегося в вакууме соленоида с плотностью намотки и и током 1из электронной пушки инжектируется цилиндрический пучок электронов (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
