Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Затем включают однородное магнитное поле В = В(г), перпендикулярное к плоскости кольца и произвольно меняющееся во времени. Найдем движение кольца в магнитном поле (М 8.45). Для него выполняются уравнения (8.33), (8.34) и первая часть уравнения (8.35). Поэтому для угловой скорости вращения кольца имеем и В О3 = — =9 —. Я 2тс Тонкое металлическое кольцо быстро вращается вокруг вертикальной оси, проходящий через его диаметр и перпендикулярной однородному магнитному полю с индукцией В = 100 Гс. Пренебрегая трением в оси, найдем время т, за которое угловая скорость вращения уменьшается в е раз, если плотность материала кольца р = 9 г/см', проводимость А = 5. 1О' Ом ' см ', считая потери энергии за один оборот малыми (М 8.76). Момент инерции кольца относительно диаметра (см.; 1, с.
193) г= рязгз где з — площадь сечения кольца; г — его радиус. Угловая скорость вращения кольца ез изменяется при изменении кинетической энергии вращения И'за счет потерь на сопротивлении Я= —. 2з Из (7.1) находим ЭДС в кольце. Разделив ее на сопротивление, имеем для тока в кольце ! дФ 1 ВХаогз1пья свой Я 2с Потери на джоулеву теплоту равны Ы('„1 = 1~%. Усредняя их по периоду вращения и приравнивая потерям кинетической энергии, получаем Ло~ В~лжо зг й  — = Лойо =— 2 4с~ зю Подставляя У и сокращая, имеем Нсо В~Лет Р— =— и 4сг Откуда в=е ьь ! где т=4с —.
2 Р ЛВ' ' Два одинаковых плоских изолированных конденсатора с квадратными пластинами (обкладками) площадью Ю каждая расположены так, как показано на рис. 8.36, а. В конденсаторы вставлена длинная диэлектрическая пластинка массой т с диэлектрической проницаемостью е. Толщина пластинки равна толщине зазора в конденсаторах. В положении равновесия пластинка заполняет половину объема каждого из конденсаторов. Конденсаторам сообщены одинаковые заряды д. Их емкость без диэлектрика равна С . Найдем: 1) частоту а малых колебаний диэлектрической пластинки, пренебрегая силами трения; 2) будет ли пластинка совершать колебания, если конденсаторы соединить параллельно; 3) изменится ли частота колебаний, если на одном из конденсаторов изменить знаки зарядов пластин (№ 8.83).
Найдем силу, действующую на пластинку в одном конденсаторе, когда она сдвинется на расстояние х от середины конденсатора (рис. 8.36, 6). Рассматривая конденсатор как параллельное соединение конденсаторов, из (3.56) получаем С( )=А( 4лЬ Для напряженности электрического поля +ц имеем Ч Ь ЬС Для давления на границе диэлектрика, которое стремится вдвинуть его в конден- л сатор, из (3.83) следует В2 р =(е-1) —. 8л Ряе.
8.36 зм Поэтому для силы, действующей на пластинку, получаем ~2 г = рИ = АЬ(е — 1) — = вя = 8я(е — 1)д',71+ 2(е-1) 2~ ( .„1)~ ~~ С(е + 1) При малых х имеем Г = 8я(е — 1)д"-,Т! — 4(е — 1) . (8.36) 7з(„1)г~~ це+1) ' Пластинка в одном конденсаторе вдвигается, а в другом выдвигается. Поэтому возвращающая сила ЬГ = 64я(с — 1) '7 4 24( 1)3 ' Вводя обозначение емкости Сю= — и 5=1~, 0 4М получаем 2 ог =16(е — 1) (с+ 1) С Ф~т' Если на одном из конденсаторов изменить знаки зарядов, то возвращающая сила, а значит, и частота колебаний не изменятся. Если же конденсаторы соединить параллельно, то будет перетекание заряда до выравнивания потенциалов.
Следовательно, напряженности электрического поля на границах диэлектрика будут одинаковые, разности давлений одинаковые и направлены в противоположные стороны. Возвращающей силы нет, и колебаний не будет. Диэлектрическую пластинку с конденсатором, показанную на рис. 8.36, б, можно подвесить на пружине жесткостью Й, как показано на рис. 8.37, а или б. Обозначая растяжение пружины в положении равновесия хм отклонение от положения равновесия (положительное вниз) х и используя (8.31), получаем: а) тх" = т8 — lс(хы + х) + Г; б) ~лх' = »К )~(хюг + х) Рис.
8.37 3!2 Для краткости введем в (8.36) обозначения Г= а(1 — Ьх). В случаях а) и б) колебания будут описываться соответственно уравнениями тх" + (х+ аЬ)х= О и тх" + (lс — аЬ)х= О. Отсюда находим и частоты колебаний. Если конденсатор подсоединить к батарее, то сила Г будет постоянной (независящей от отклонения) и скажется только на положении равновесия, а частота колебаний будет как в отсутствие конденсатора (Х~ 8.85).
9. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ Электрические цепи — это соединенные проводами какие-то наборы сопротивлений, конденсаторов, катушек (соленоидов), детекторов, источников электричества и других устройств. Электромагнитное возмущение (например, изменение силы тока в цепи) распространяется с большой, но конечной скоростью. Если время распространения возмущения по цепи длиной 1со скоростью с, равное т = 1/с, много меньше характерного времени Т изменения, например силы тока, то сила тока будет успевать, как бы мгновенно выравниваться в цепи. Далее будем предполагать выполнение условия т к Т, т.
е. считать системы квазнстацнонарнымн. В частности, будем считать мгновенные значения квазистационарных токов подчиняющимися закону Ома и для систем пользоваться правилами Кирхгофа. Рассмотрим цепь (колебательный контур), состоящую (рис. 9.1) из последовательно соединенных источника ЭДС Ж, активного сопротивления Я, катушки (соленоида) с индуктивностью 4, и конденсатора емкостью С. В этом разделе удобно использовать практическую систему единиц (СИ). В некоторых случаях в фигурных скобках приводим формулы в системе Гаусса. Падение напряжения на активном сопротивлении Я при прохождении через него тока силой 1 определяется законом Ома и„= и. (9.1) Падение напряжения на индуктивности ь' определяется изменением зацепленного потока магнитного поля Ч' = П, [(5.27) и (5.28)1: Н4.
и, = —. Нг ' Эта ЭДС индукции здесь записана как падение напряжения на индуктивности и поэтому без минуса. Рис. 9.1 314 Падение напряжения на емкости С, заряженной зарядом д, (3.63): (9.3) По правилу Кирхгофа — + П1+ — = й. йП. ~у ~й С (9.4) Приведем это уравнение в системе Гаусса Заряд на конденсаторе и сила тока связаны соотношением (9. 5) поэтому получаем Ю7.( 147 11)~,14,, й й С (9.6) Ц" +)Ц +Х=8, С (9.7) Это обыкновенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для нахождения решения необходимы еще два начальных условия. Удобно ввести обозначения, смысл которых поясним позднее, Собственной (циклической) частотой колебательного контура называется 1 (ЕС) ~ (9.8) В системе Гаусса с (ЕС) ~ где с — скорость света.
Коэффициентом затухания: Я 2С' (9.9) 315 Будем обозначать производную по времени штрихом. Тогда для постоянной иидуктивиости имеем Рассмотрим пример, когда электрическая цепь представляет собой треугольник, каждая сторона которого содержит емкость С, а вершины соединены с обшей центральной точкой индуктивностями Е (рис. 9.2, а).
Найдем частоту возможных колебаний (М 9.31). Удобно эту цепь перерисовать так, как на рис. 9.2, б. Сразу видна симметрия. На одном конденсаторе нет разности потенциалов, и поэтому отсутствует заряд. Ток через него не идет. В центральной точке одинаковые токи (обозначим их 1) складываются. По (9.2), (9.3) и по Кирхгофу для суммы падения напряжений имеем 1,21'+ Ы'+ ~ = О. С Отсюда ЗАд" + ~ = О.
С Из (9.11) и (9.8) На рис. 9.3 изображена система, в которой вначале через индуктивность 1, и замкнутый ключ К течет ток 1„а напряжение на конденсаторе равно нулю. В момент времени г = О ключ размыкается. Пренебрегая активным сопротивлением всех элементов цепи, найдем напряжение на конденсаторе и ток через него как функцию времени (М 9.32). Из (9.2) и (9.3) для цепи после размыкания ключа имее а Д1'+ 1 1'+ 9 = О. С Отсюда Ч" + Ч = д" +ЩО2Ч = О, (Е~ + Е1) С Рис. 9.3 Рис. 9.2 317 Из (9.11) и (9.12) имеем решение в виде д = А гйп <о01 + В сов ыеп Из условия, что напряжение на конденсаторе, а значит и заряд, равно нулю, находим В = О. Для определения второй постоянной рассмотрим момент времени, бесконечно близкий к начальному, когда через конденсатор идет ток 1ег Из уравнения для токов, в котором можно считать д = О, получаем 2,()м — ~,)+ ~„— О) = О.
Откуда находим А го Е„+ 2з Подставляя этот ток как начальный в решение для тока Ч Аыю соз аког находим А = Е, С/,. Поэтому Г.,!О созыег 1= и и= — =~Аз 1„+ 2з С 12(л— саторов имеем: для начального 5 СО 4пЬ и для образовавшихся В 5 С,= —, С= 4ах ' 4п(Ь вЂ” х) ' Рис. 9.4 31В С одной из пластин конденсатора мгновенно испаряется тонкий слой вещества, несущий заряд (90), который затем движется как целое с постоянной скоростью е к противоположной пластине (рис.
9.4). Найдем зависимость тока в 2, С-цепи от времени при движении слоя в конденсаторе, если расстояние между пластинами конденсатора Ь, площадь пластин 5 и индуктивность катушки Е (Ха 9.50). Конденсатор со слоем можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора с изменяющимися емкостями и зарядами. Обозначим заряд на левой пластине конденсатора Д(г) — д„на левой стороне слоя д — Д(г), на правой стороне слоя — Д(г), а всего -на слое д,, на правой пластине конденсатора,— Д(г). Используя (3.56), для емкостей конден- Из (9.4) получаем (в системе Гаусса) — И + — + — =О. 0-де 0 с2 С,(х) С2(х) Учитывая, что Д' = 1, х' = и, и вводя обозначение (в системе Гаусса), получаем +ы 7=дою Ь Используя решение (9.12) однородного уравнения (9.11) и частное решение неоднородного Э 1=де— Ьэ а также начальное условие 1(0) = Г(0) = О, находим 1 = д, — (1 — созен), Ь В однородное электрическое поле Е перпендикулярно ему помещены две плоскопараллельные незаряженные металлические пластины (площадью Я, с расстоянием между ними Ь), образующие плоский конденсатор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
