Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Для второго контура с помощью (9.4) получаем 1 — + М вЂ” + )(г1г = 0. "~г ~гА л ~в Интегрируя по г от 0 до и учитывая, что ток г в начале и в конце был равен нулю, получаем нгЧ ™г( ) = д, Откуда щ 4 24 и Уравнение первого контура для решения не нужно. В схеме, изображенной на рис.
9.1б„катушки Е, и Е,г намотаны на общий магнитный сердечник с магнитной проницаемостью 1г л 1. При замыкании ключа К в первом контуре через гальванометр Г, включенный во вторичный контур, протекает заряд д. Считая известными Я„Аг и установившийся ток в первичном контуре У„найдем коэффициент самоиндукцнн катушки Е, (Ж 9.59). В данном случае рассеянием магнитного потока в общем сердечнике можно пренебречь и пользоваться результатами задачи 1(о 5.30, полученными с помощью (5.30) и (5.31), для коэффициента взаимной индукции М = (Х,Е )'д.
Уравнение для второго контура такое же, как в предыдУшей задаче. ПоэтомУ Ягд = — МГо. Отсюда ~~гЧ гО Используя выражение для взаимной индукции, находим Мг иго Е~ 1 аког 22-2073 337 Ключ (схема на рис. 9.17) размыкают, и в контуре возникают колебания. Найдем, какой должна быть емкость С, чтобы Цаксимальное напряжение на емкости ((не более чем в п раз прев1яшало напряжение на батарее 8' (№ 9.28). В момент размыкания ~ключа через соленоид идет ток 1 = Ж/Я. При колебаниях в контурв через некоторое время (половина периода колебаний) вся энерги» соленоида перейдет в емкость.
Пренебрегая его сопротивлением, из закона сохранения энергии (9.14) имеем У~А ~г СУ 2 2С 2 Чтобы было У < пб; должно быть Е С > —. (Яп) Генератор с весьма малым внутренним сопротивлением посылает в контур прямоугольный импульс напряжения (рис. 9.18). Пренебрегая затуханием, найдем: 1) при какой длительности импульса Т, в контуре отсутствуют колебания после прекращения импульса; 2) при какой длительности импульса Тз амплитуда колебаний напряжения на емкости максимальна (после прекращения импульса). Чему она равна? Для обоих случаев нарисуем графики тока и напряжения, начиная с момента г, (№ 9.44).
Используя (9.4), для времени существования напряжения 1; на генераторе получаем уравнение й7 д Š— + — =1;. й С Л=10 Ом У, Уо Рис. 9.18 Рис. 9.17 ззв О ее решение для напряжения на конде саторе = );+ А г+ Вз)вы, т, где 1 2я (гт.)Ч' т, ' Удобно момент ге считать нулевым. и В этот момент 1' = О, 1 = О, поэтому получаем о 'г'= )~~(1 — созеи), 1= р'Се3з)пвь На рис. 9.19., 'а показано изменение потенциала на конденсаторе и тока через индуктивность. Видно, что при отключении генератора (убирании 1;) в точке Т, и в других точках, соответствующем времени г = Т, = л Т, (и = 1, 2, ...), Рве.
9.19 колебания прекратятся. Если генератор выключить в момент, показанный на рис. 9.19, б, при г=Тг =~в+ — )То ("=0 1 2 -) то амплитуда колебаний на емкости будет 9',„= 29;. В соответствии с законом сохранения энергии амплитуда тока также возрастает в два раза. В момент времени г = 0 идеальный ХС-контур с собственной частотой 100 Гц возбуждается периодической последовательностью импульсов с длительностью т = 0,002 с, изображенной на рис. 9.20 (Ж = 5 В). Найдем период следования импульсов Т, при котором среднее значение напряжения на конденсаторе К = 2 В.
Нарисуем Рис. 9.20 гг" 339 к Рис. 9.21 график зависимости Р(г) (М 9.54). Используем решение предыдущей задачи. Соотношение соб- Рис. 9.22 ственной частоты контура и длительности импульса таково, что происходят два колебания (рис. 9.21). Среднее значение напряжения на этом участке (Р) = Е= 5 В.
Через Тповторяется изменение напряжения на конденсаторе. Среднее значение за Травно (Рг) = (Р;) т/Т. Чтобы эта величина равнялась 2 В, из последнего соотношения Т= 0,05 с. После размыкания ключа в контуре (рис. 9.22) возникают медленно затухающие колебания, максимальная амплитуда напряжения которых У,„в л раз превосходит напряжение батареи о. Найдем собственную частоту контура а, если уменьшение амплитуды колебаний в е раз происходит за время т (М 9.30).
Из (9.19) получаем для затухающих колебаний ~у = е и(Аа)пгог+ Всоааг). Как н в (9.9), (9.8) и (9.17), 2 1 2 2 2 р= — > 0)е = —, ы =0)е — р . 2Х' ьС' В начальный момент(!= О) имеем У= Ж, /= д = Ф/Я. Врезультате получаем У =дС=бе ~совою+~ — ~~ — + — )а)пгег . Ц~йс,) При слабом затухании б «ю, ге ю, т= — » — =(ЕС) г г 2 г 1 1 Ш ыо Используя это, имеем У =бе и — аялон. 2 зло Из условия и этого результата и — = и = — в.
Поэтому а = 2л/т. Постоянная времени разряда плоского масляного конденсатора через некоторое сопротивление равна тг После того как масло конденсатора отсырело, постоянная времени разряда через то же сопротивление оказалась равной т,. Найдем удельное сопротивление р отсыревшего масла, если его диэлектрическая проницаемость е не изменилась (М 9.6). Используя (9.1) и (9.3), имеем Я ~+~=0.
ЫУ 4 й С Откуда д 9 е-г/яс д е-~д (9.30) Таким образом, постоянная разряда конденсатора т= ЯС. (9.31) При прохождении тока через конденсатор схема цепи выглядит, как на рис. 9.23. Конденсатор разряжается через параллельно соединенные сопротивления. С учетом (4.14) для нового сопротивления Я, получаем Я р! Таким образом, т, = ЯС, т, = М,С. Учитывая выражение для емкости (3.56) еЮ С= —, 4я! ' находим Сферический конденсатор с радиусами сфер г, и г, заполнен слабо проводящей средой.
Емкость конденсатора равна С, а разность потенциалов на конденсаторе после отключения его от батареи уменьшилась в два раза за время а Найдем диэлектрическую Ряс. 9.23 34! проиипаемосчь а среды и ее удельное сопротивление р (М 9.7). Используя выражение для емкости сферического конденсатора (3.55), находим 2 г — г! г! г2 Используя (9.30) и связь напряжения на конденсаторе с зарядом (3.63), находим для сопротивления С!п2' С другой стороны, в соответствии с (4.14) "г й г2 — г! Я=~р —,=р 4яг~ 4аг!г Отсюда находим ! р = 4яг!г2 С (г2 — г! ) 1и 2 Найдем закон изменения напряжения У на конденсаторе С после замыкания ключа К в основной цепи схемы, представленной на рис.
9.24 (М 9.11). Обозначая ток после замыкания ключа через Я! как 1, и через Я как 1,, получаем с помощью (9.4) д = 1 Я, + У, (1 = 1,Я~ = ~~, а из первого закона Кирхгофа 14 1, = 12+ —. !2! В результате имеем уравнение ,У, 4111! + Я2) — ксй СД! й Ряс. 9.24 Рис. 9.25 342 Интегрируя и используя условие, что в начальный момент 9 = О, находим 1 — е р[-(я, + и )Г~Сда,1 У = — = ЖСЯз с ~ с[я,+г2) К контуру 2„С, Я (рис.
9.25) с малым затуханием в момент г = О подключают источник постоянной ЭДС Ж с ничтожно малым внутренним сопротивлением. Найдем напряжение У на конденсаторе С в зависимости от времени г, а также, на какое минимальное напряжение он должен быть рассчитан (М 9.13). Изменение заряда на нем д = УС описывается уравнением (9.7). Решение его представляет сумму решения однородного уравнения (9.19) и частного решения уравнения (9.7), которое для разности потенциалов на конденсаторе имеет вид У= Ж Таким образом, общее решение для напряжения на конденсаторе У= о+ е-и(Аа(пс3Г+ ВсозюГ). В начальный момент г = О заряда на конденсаторе нет, и поэтому У = О.
Откуда следует В = — Ж Так как индуктивность препятствует увеличению тока скачком, то ток в начальный момент равен нулю, т. е. Ги 1 Гд — = — — = О. сг Ссг Дифференцируя и подставляя, получаем Окончательно Так как по условию затухание мало, то е-аг = 1 и, следовательно, ВТ = 2я — «1. б Поэтому У= Ф(1 — сов езг). Напряжение, которое должен выдерживать конденсатор, У= 2Й. Рассмотрим вариант, когда катушка индуктивностью 2„конденсатор емкостью С и батарея с ЭДС Ф и внугренним сопротнв- 343 лением Я соединены параллельно (рис. 9.26).
Найдем силу тока 1, текущего через катушку, как функцию времени г после включения батареи, если параметры Е, С, Я удовлетворяют условию (М 9.14) С ! — >— Е 4Яг Используя (9.1) — (9.3) и правила Кирхгофа, получаем 1Е'=~, 1„Я+Е1' =б, 1 =1 +д'. Дифференцируя и подставляя, находим !Е,' 1, д !Е + — + — =— ЯС ЕС ЯЕС Вводя обозначения 1 1 213= — и ез =— ЯС ЕС и замечая, что по условию ю > 1), приходим к уравнению типа (9.10) и соответствующему (9.19) решению 1 = — +е а'(Аз)пюг+Всозаг). Я Частота определяется (9.17). Используя, что в начальный момент 1 = О и Е1 = д/С = О, имеем На рис.
9.27 изображена схема зажигания автомобиля. Вторичная обмотка высоковольтного трансформатора нагружена на запальную свечу. Первичная обмотка трансформатора имеет сопротивление Рис. 9.27 Рис. 9.26 344 Я = 2,5 Ом и индуктивность 1. = 10 2 Гн и подключена через конденсатор емкостью С = 0,2 мкФ к источнику постоянной ЭДС Ж = 12 В. Отношение числа витков обмоток трансформатора — 2 = 40. У, Найдем, через какое время после размыкания прерывателя (ключа К) возникает разряд, если пробой зарядного промежутка свечи происходит при напряжении У = 3 кВ (М 9.24). Используя (9.4), получаем уравнение колебаний в контуре 1,1'+ К! + ~ = К С В начальный момент г = 0 имеем д(0) = О, 1(0) = 11/Р и из уравнения колебаний 1'(0) = О. Дифференцируя уравнение колебаний, получаем уравнение для тока в первичной обмотке и начальные условия 1" + 251'+ е2'1 = О, 1 (О) = — ', 1'(0) = О.
я' Здесь введены обозначения 2Я2 В = — =1,25 1О' с ', «22 = 1 — ~ = 0,71.10' с '. 21. ' ' ЯС~ Так как р к «2 и рассматриваются времена, не превышаюшие четверти периода колебаний (нарастание напряжения до величины меньшей максимума), а период Т = 10-4 с, то можно пренебречь затуханием и искать решение в виде 1(Г) = Асоза22+ Вз(пе22. Используя начальные условия, находим л 1Я = — 'созо2п Я Напряжения на обмотках определяются зацепленными потоками индукции магнитного поля Ч' = )тФ. Поэтому из сохранения потока для напряжения на вторичной обмотке, которое в момент проскакивания искры равно напряжению на разрядном промежутке, получаем У = — Е1' = — — е2151по22 = — Доз)пе22. 22 22 ~ ~2 2У, 2У~ 21 Л/~ 345 Рве. 9.28 Рис. 9.29 Здесь введена добротность Подставляя заданные величины, находим время достижения пробойного напряжения на запальной свече г = 3 мкс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
