Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Максимальная ЭДС и, следовательно, максимальный ток в контуре будет, когда производная потока достигнет максимума. Для оценки будем считать, что это близко к моменту прохождения пули через торец соленоида. Вычислим взаимную индукцию в этой точке. Магнитный момент пули представим как магнитный момент витка площадью о с током 1,, т. е. а р=1 —. в С' Магнитное поле на торце соленоида в соответствии с (5.24) равно Н = 2л1, —. У Поток магнитного поля через виток Ф, =2л1,Ж вЂ” = М1,. Отсюда взаимная индукция для положения в этот момент М = 2я)У вЂ”.
Т' В соответствии с теоремой взаимности (5.30) и (5.28) Ф, = М вЂ” '= 2я)т' — '. 1, Для тока в соленоиде из (5.28) и (5.29) 'получаем В середине соленоида поток будет равен нулю. Движение пули не будет противодействовать изменению ЭДС и тока в контуре, 354 если до середины соленоида она долетит за четверть периода колебаний 21 о = —.
Т' Отключение цепей постоянного тока от источника электричества обычно проводится одновременным отсоединением положительной и отрицательной клемм (рубильником). Если в цепи Ряс. 9.34 имеется большая индуктивность, как, например, в обмотках возбуждения генераторов постоянного тока, то между отключаемыми контактами (1 и 2 на рис. 9.34) может возникнуть большая разность потенциалов, приводящая к пробою и искрению. Для ограничения возникающей разности потенциалов цепь непосредственно перед отключением замыкают иа сопротивление г. Найдем, во сколько раз в этом случае максимальное напряжение на отключаемых контактах )г будет превышать приложенное ранее постоянное напряжение ~; (Мо 9Аб).
Начальный ток в цепи го 1о = Я После присоединения г и отключения цепи имеем из (9.4) 1.— + 1(Я + г) = О. й Разделяем переменные и интегрируем — = -(Я+ г) —; 1 = Ае ~"")'1~. 1 С' Постоянную интегрирования определяем из условия, что г = О, 1= 1,. Таким образом, го -(а-ур. Я Отсюда Р 1(О)г = "ог, Видно, что чем меньше г, тем меньше г'„. Однако при малых г через источник электричества пойдет большой ток, что приводит к гз 355 нежелательной перегрузке источника. Достаточно, чтобы 1'„было порядка р', т. е.
г — я. Защитить аналогичную цепь можно и с помошью конденсатора, как показано на рис. 9.35. Найдем напряжение на конденсаторе после отключения источника электричества, считая, что 47. > СЯ' (Мв 9.15). Учитывая принятое условие, а также (9.8), (9.9) и (9.17), имеем в цепи свободные затухающие колебания, описываемые уравнением (9.15) и его решением (9.!9).
Начальными условиями при г = 0 являются «ч го д = д = Р~С и 7 = — = — —. й Я Из первого получаем В = ИС, а из второго А =- — +б)'~ —. го Яы о> Таким образом, Р = — = );е ~сезон+ — ~13- — ~з)пюг . ч -и 1Г 11. О ~ м~ ВС! Груз массой и подвешен на тонкой проволоке длиной 1(рис. 9.36) и сопротивлением В в однородном горизонтальном магнитном поле В и совершает малые колебания в плоскости, перпендикулярной полю. При этом проволока всегда остается замкнутой накоротко неподвижной внешней цепью. Найдем число колебаний, по прошествии которых амплитуда тока в цепи уменьшится в е раз (М 9.39).
В уравнение колебаний маятника (см. 1, с. 244) надо добавить момент силы Ампера (7.4) «кр" = -гщйр — ) х — ЖгВ. 7 о Рис. 9.3б Рис. 9.35 356 В контуре из-за изменения потока магнитного поля создается ЭДС (7.1) ср= 1лР 2 с' которая создает ток 1 = Ж/)«. В результате получаем уравнение сво- бодных затухающих колебаний «р" + 2В«р'+ ао«р = 0 Здесь введены обозначения «з Р= В' —, (в единицах СГСЭ); а,' = Х, 8глсо А о — 1 ° 1 = «р' = — «р е-р«[Рсоа (ар+ б) + а «йп (а«+ б)]. Изменение амплитуды тока 1„= «роае Р'. Время уменьшения амплитуды тока в е раз 1 8«ос~Я т= — = —. Р В212 Так как 2п Т=— > ао =ао Р =ао = 2 2 2 2 Ю.
Т' то можно вычислить число колебаний л = т/Т. Кольцо из тонкой проволоки, имеющее омическое сопротивление Т« = 10 5 Ом, массу л« = 1 г и радиус г = 1 см, подвешенное на упругой нити, совершает малые крутвльвые колебаввя с частотой т = 1 Гц (рис. 9.37). Если поместить кольцо в магнитное поле, параллельное плоскости кольца в положении равновесия, то возникает сильное затухание колебаний.
Оценим магнитную индукцию поля, при которой Рвс. 9.37 357 Используя (9.19), находим «р = «р е о'соз (а«+ б). Изменение амплитуды отклонения «р„= «р е-о'. Максимальный угол отклонения достигается при а«+ б = О. Так как ЭДС и, следовательно, ток пропорциональны «р', то максимальный ток возникает при а«+ б = я/2.
Для тока имеем движение крутнльного маятника происходит в критическом режиме (т. е. колебательный режим переходит в апериодический), не учитывая самоиндукцию кольца и затухание без магнитного поля (№ 9.41). В уравнение крутильных колебаний (см.: 1, с. 266) надо добавить момент силы Ампера (7.4) лм Хор" +Яог+4) «а!пО1гг!Оа!пб — = О, о с где 7 — момент инерции кольца, l = лггг/2; 7с — модуль кручения нити; Π— угол между направлением тока в кольце и направлением магнитного поля и одновременно из центра кольца на элемент тока от вертикали; чг — угол поворота кольца от положения равновесия, который считаем малым (з!и яг = чг).
Момент силы Ампера в результате равен лс 1 —. г В с В контуре из-за изменения потока магнитного поля создается ЭДС (7.1) 8 = Влгг — ", с которая создает ток 7 = й/Я. В результате получаем уравнение сво- бодных затухающих колебаний аналогичное (9.15) яг" + 2!)яг'+ ог~ояг = О. Здесь введены обозначения Р = В, (в единицах СГСЭ), ого = —. г(лг ) г 2с ЯУ > о — ~. Из (9.17) и (9.! 8) критический (апериодический) режим возникает при Р = со,. Отсюда находим соответствующее этому магнитное поле В= с(2ЯУого) с(2лооглЯ) лс лс Конденсатор емкостью С присоединен к верхним концам двух параллельных медных шии, расположенных вертикально на расстоянии ! друг от друга. Однородное магнитное поле В горизонтально и перпендикулярно к плоскости шин.
Вдоль шин в магнитном поле падает без начальной скорости медный проводник массой т так, что всегда имеется контакт между проводником и шинами. Прренсбр35в тая сопротивлением и индуктивностью проводников, а также трением проводника о шины, найдем: 1) ускорение проводника; 2) силу тока, заряжающего конденсатор (М 9.45). Из (8.1) следует, что в движущемся со скоростью х' проводнике создается вдоль проводника электрическое поле Е = х'В и на концах проводника разность потенциалов (1= х'В(= д/С. (9.33) На проводник, по которому идет ток 1, действует сила Ампера (7.4) Г= 1(В.
(9.34) Она направлена в соответствии с векторными произведениями в (8.1) и (7.4) вверх. Уравнение движения проводника глх" = тх — 1!В = гля — СВЧ~х". (9.35) Отсюда находим ускорение проводника и+СВ ! и ток, заряжающий конденсатор, туВ!С а+СВ ! Та же конструкция, но вверху вместо конденсатора присоединен соленоид индуктивностью 1. с ничтожным сопротивлением.
Найдем закон движения проводника (М 9.46). В данном случае падение напряжения на проводнике вместо (9.33) равно падению на индуктивности (9.36) и=хВ7=Ы. Отсюда х"В! = Е1". Для силы Ампера имеем снова (9.34). Подставляя все соотношения в первую часть уравнения движения проводника (9.35), имеем 1-+Вз(г 1 В!8 0 глА Х Используя начальное условие 1(0) = 1'(О) = О, получаем 1 — с~им! В! где в2 — В й' 359 Из (9.36) и начальных условий имеем 1 — соя юг х = т81 В21' Если в той же конструкции вверху находится сопротивление Я, то вместо (9.33) и (9.36) получаем (9.37) и= х В(= 1Я. Подставляя (9.37) в первую часть уравнения движения проводника (9.35), имеем тх ' — т8 — 1(В = т8 — В 1Р х Я' При установившемся движении х" = О получаем для скорости Я в = х' = тя — „.
В212 ' Из (9.34) и (9.37) видно, что скорость падения будет расти (от нуля), пока сила Ампера не станет равной силе тяжести (№ 9.47). Рассмотрим еще случай (№ 9.48), когда эта система сверху замкнута индуктивностью, а снизу сопротивлением (рис. 9.38). Теперь с помощью (9.35) — (9.37) имеем тх" = т8+ В((1с 1я) 11с = -В)х', Мя = ВЬс'. Отсюда х" + (В!) — + (В1)— После интегрирования при нулевых начальных условиях имеем 1 — е ~ созы1 х = т81. (В1) где (В1)' , (В1)' 2тя ' т1 Еше один случай, когда к верхним концам присоединены последовательно соединенные конденсатор емкостью С и катушка индуктивностью 1.
(рис. 9.39). Пренебрегая сопротивлением катушки, медных шин и проводника, а также индуктивностью проводников и 360 х „"~в х х В х Рис. 9.39 Рис. 9.38 трением проводника о шины, определим закон изменения тока 1(1), а также координаты проводника х(г), начиная с момента начала падения 1 = О, х(0) = 0 (М 9.49).
Используя (9.33), (9.35) и (9.36), получаем "= тя — (В(, (.('+ Ч!С= В(х'. Откуда, дифференцируя, имеем 1" + — = В! — = 1 х" В(/(, (,С 1, я — ВИ(т Вводя обозначение 2 о! = — + 2 2 1 ! (,т (,С получаем 1"+в'1 = В(~. Х' Его решение при условии 1(0) = 0 1(() — В( (.т Для координаты проводника имеем 2 г ! — сост( х"=~-В(В т(.в~ Интегрируя и используя условия х'(0) = 0 и х(0) = О, получаем 2 2 (1)=-В( ()- —, +В(В ! 2 В( 2з 1 — сост! г !, (') тйо 10.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД Колебания в электрической цепи называются вынужденными, если их вызывает меняющаяся со временем ЭДС. Для описания изменений в цепи из последовательно соединенных индуктивности, сопротивления, емкости и ЭДС можно пользоваться уравнением (9.6) или при неизменных параметрах контура уравнением (9.10) д" + 209'+ в~од = Х(') (10.1) где Х(1) — ЭДС г.', деленная на индуктивность |.
Решение этого неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного (правая часть равна нулю) и частного решения неоднородного уравнения. Возможность представления правой части уравнения в виде ряда Фурье для периодической Х(г) или в виде интеграла Фурье при отсутствии периодичности, т. е. набором гармонических функций, требует в первую очередь рассмотреть гармоническую вынуждающую ЭДС и соответственно гармоническую функцию Х(г) д + 2~39'+ во~у = Хо совал (10.2) Свободные колебания, возникающие в начальный момент приложения вынуждающего воздействия, в соответствии с (9.19) затухают, а устанавливаются колебания на частоте а, которые поддерживаются внешним воздействием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
