Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Найдем амплитуду д и фазу 3у таких установившихся колебаний. Частное решения уравнения (10.2) ищем в виде д = д сов (ы + ж) = д (сов м сов вг — з(п 3о яп аг), (10.3) где ~у — разность фаз между колебаниями заряда и внешним воздействием. Дифференцируя (10.3) по времени и подставляя в (10.2), получаем ~(а~ ~— а~)соз3у — 2~3аз)п3у~д„— Х )соввГ- — ~(ао~ — а~)яиц~ — 2Двсоз3у)д„япвг = О. 362 На рис. 1О.! показана зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающего воздействия.
При уменьшении затухания (уменьшении 1з) максимум становится острее и выше. Частота резонанса при этом стремится к собственной частоте, а отношение максимальной амплитуды к амплитуде при нулевой частоте приближается к добротности Ц (9.27). Удобно в (10.7) ввести добротность и профиль пика. Обозначая отклонение частоты от пика Лв = 1ооо — оо~ (пРи малых затУханиЯх ы, = ыо), из (10.7) и (9.27) получаем %и ооз Ч,о = 2 ~ о '(1+(2доо/оо) Д ~ (10.
11) На рис. 10.2 показано изменение фазы колебаний. При малых частотах фазы совпадают. При резонансе отстают на я/2, а при больших частотах колебания происходят в противофазе воздействию. Из (10.3) дифференцированием получаем изменение тока 1в цепи 1= — ооч„ап(вг+ у) = 1„соз(оег+ оу+ и/2). (10.12) Отсюда видно, что изменение тока опережает по фазе изменение заряда на я/2. При резонансе ток по фазе совпадает с вынуждающим воздействием.
Для производной тока (второй производной заряда) по времени получаем 1' = о1" = д ооз сов (он'+ оу + я). Это изменение опережает на я/2 изменение тока и на и изменение заряда. 4 21ко о, о (О)=— хо ~л ооо о ~ ооо ооооп Рве. 10.2 Рве. 10.1 364 На рис. 10.3 показано изменение амплитуды тока в зависимости от частоты вынуждающего воздействия. Резонансное для тока значение частоты равно собственной частоте. Резонанс тока соответствуетрезонансу падения напряжения на активном сопротивлении. Ре! зонанс заряда (10.8) соответствует резонансу падения напряжения на емкости. Резонансу падения напряжения на индуктивности будет соответствовать резонанс второй производной заряда.
Используя (10.3) и находя экстремум, получаем "2о Рве. 10.3 '"о ь ре1 2 1/2 [1 2(0/ )21 (10. 14) Установившиеся вынужденные колебания можно рассматривать как протекание в цепи переменного тока. Обозначая амплитуду прикладываемого напряжения (7 = Хь", из (10.13), (9.8) и (9.9) получаем для тока и„ 2 2 [ Л~ + (в7. — 1/е2С) 1 (10.15) (10.16) Величину, стоящую в круглых скобках, называют реактивным сопротивлением (в отличие от активного сопротивления Я), или релактансом. Индуктивным сопротивлением называют .С = Е22'.. Емкостями сопротивлением называют (10.17) (10.18) Анализ колебательных процессов в многих случаях облегчается при использовании комплексных чисел. Если действительные числа 365 Формально это соотношение можно рассматривать как закон Ома для амплитуд напряжения и тока.
Величину, стоящую в знаменателе, называют полным сопротивлением, или импедаисом, можно расположить на прямой линии — числовой оси, то для представления комплексных чисел нужна плоскость, называемая комплексной, на которой точкой определяется комплексное число (я), имеющее действительную (по оси х) и мнимую (по оси у) части. Оно записывается в виде .г=х+ (у, где / =,~ — 1.
Комплексное число можно записать в полярных координатах, введя радиус-вектор р = (х~ + у~)'~ и угол ~р из соотношения гй <р = у/х. Тогда получаем я = х+ (у = р(сезар + 1а)п<р). (10.19) Дифференцируя по <р, получаем — = р(-а)п ~р+ (сов ~р) = )я. йр Разделяя переменные и интегрируя, с учетом, что при у = 0 ~ = р, находим так называемую формулу Эйлера (10.20) ~ = р(созе + 161п~р) = ре"~. (10.21) Частное решение ищем в виде Г= Ае' '.
(10.22) Получаем 2 г з ыо-" +1206~ (10.23) Преобразуя с помощью формулы Эйлера знаменатель, получаем ед и = Р„'ы," Р (10.24) 366 Комплексная (экспоненциальная) форма во многих случаях помогает упростить преобразования. Для линейных уравнений всегда можно разделить действительную часть, для которой были получены решения, и мнимую. Вместо уравнения (10.2) напишем уравнение для напряжения на конденсаторе, предполагая его комплексной величиной 1 1 сои 1 е!Веко а = о (10.25) где 1 = 1 е' — комплексная амплитуда.
Падение напряжения на сопротивлении (1ол = 1ВА = 1ВЛ' (10.26) Ул =)1 Для падения напряжения на индуктивности находим (10.27) йе = йоге' = 1,— = 11В1оае' ья «1 ° ья й Отсюда й =1 ~1 =1~~~; (10.28) Падение напряжения на емкости (10.29) ья С С' иоС' (1ос = —.= = 1»2с иоС о>С (10.30) 1 ! Ус = —. иоС ыС (1О. 31) Для цепи из последовательно соединенных сопротивления, индуктивности, емкости и комплексной ЭДС, равной (» В= оое'"', имеем (10.32) 367 где р — модуль комплексного числа, совпадающий со знаменателем (10.7); ср — фаза, ср = -р из (10.6). Действительная часть (10.24) совпадает с решением (10.3).
С помощью (10.24) можно найти и другие характеристики колебаний в комплексном виде. Полезно выделить в экспоненте часть, зависящую от времени, от другой части, определяющей фазу характеристики и дающую вместе с амплитудой так называемую комплексную амплитуду. Будем далее комплексные величины отмечать сверху специальным значком «». Например, для тока имеем Эта связь комплексных амплитуд — правило Кирхгофа для установившихся колебаний (перемеииого тока). Роль сопротивления играет импеданс в комплексном виде. Из формулы (10.20) следует, что 1 = е'ч'. (1О.
33) Комплексные величины, подобные (10.25), на комплексной плоскости вращаются (протнв часовой стрелки) относительно центра полярной системы координат с угловой скоростью а. Во вращающейся с такой скоростью плоскости комплексные амплитуды неподвижны и имеют наклон, определяемый их фазой. Такое изображение называется векторной диаграммой. Изобразим на этой плоскости (рис.
10.4) комплексные амплитуды падений напряжений, входящих в (10.32). Для этого воспользуемся (10.26), (10.28), (10.30) и (10.33). Удобно фазовые углы отсчитывать от вектора ()л, так как его фаза совпадает с фазой вектора тока 1, который одинаков во всех элементах при последовательном их соединении. Фаза напряжения на индуктивности опережает на п/2 фазу напряжения на сопротивлении, а фаза падения напряжения на емкости отстает от нее на п/2. Сдвиг фазы ЭДС (1() из (10.32) определяется соотношением аŠ— 1/ы С 18Ч = (10.
34) Рассмотрим систему (рис. 10.5) из двух обмоток, связанных железным сердечником, в котором не происходит рассеяния магнитного потока. Одна обмотка, из большого числа л витков, присоединена к источнику синусоидальной ЭДС с'. Другая обмотка состоит из одного кольца, сопротивление которого Я. Точки А, В и С этого кольца отстоят друг от друга на равные расстояния.
Найдем, пренебрегая индуктивностью кольца и соединительных проводов: и, ис Рве. 10.5 Рис. 10.4 1) что покажет достаточно чувствительный амперметр переменного тока с сопротивлением г, если его присоединить к двум из этих точек; 2) как изменится показание амперметра, если его перебросить в положение, указанное штриховой линией на рис. 10.5 (М 10.1). Из (1.1) для ЭДС в кольце получаем 1 ЫФ ~к с Ф" где Ф вЂ” поток магнитного поля в сердечнике.
Для обмотки из п витков в аналогичном соотношении надо писать зацепленный поток Ч'. Если рассеяние потока отсутствует, то Ч' = пФ. Поэтому Ж= лй„. В случае присоединения амперметра к точкам А и С имеем контур из параллельно соединенных амперметра и третьей части кольца и последовательно к ним присоединенных остальных двух третей кольца.
Используя правило Кирхгофа, получаем ! 2Я) ! 9г+2Я 1/г+3/Я 3 ) 3 Зг+Я ' Обозначая ток через амперметр 1,, а через часть кольца 1„по правилам Кирхгофа имеем 1 1 + 1 ! 1 г 1,К и, следовательно, 1 1к 3~, 3 е/л Зг+ Я 9г+ 2й 9г+ 2Я Во втором случае подсоединения, обозначенном пунктиром, поступая аналогичным образом, находим б е/и 9г+ 2Я В опыте Мандельштама и Папалекси прямой однослойный соленоид с индуктивностью 1, совершает вынужденные крутильные гармонические колебания вокруг своей оси ч! = усовом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
