Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 53
Текст из файла (страница 53)
10.33 Рве. 10.32 Резонансу токов соответствует минимальный ток, что будет при 1/У= О. Следовательно, надо удовлетворить уравнению х'+ 4 х+ 1 = О, решение которого х = 2+ !3. Получаем (2 — ГЗ) 0,52, 2+ ГЗ 1,93 ! (, 1.С ) (г,С)!/2' 2 (СС)!Д (1С)1 ' Для тока имеем Ф к! — 4хьх У ! озх,(! — х) В соответствии с (10.33) -!х/2 ! На рис.
10.32, б показано изменение фазы, которая определяется знаком второй дроби предыдушего выражения. Оно положительно при 0 < а < е!! и при !е < !е < е!з, а отрицательно при е!! < а < !е и е! < !е. Изменение знака соответствует повороту фазы на я (т. е. знаку в показателе экспоненты). Аналогичным образом можно действовать в случае схемы, изображенной на рис.
10.33, а (№ 10.26). Здесь 395 В итоге В Х'1-4х+х 2 У 1 вЕ(1 — х) У„= 1 — а~2,С Так как по условию значение силы тока при в -о равно силе тока при постоянном напряжении, то значит сопротивление включено последовательно с параллельным соединением индуктивности и емкости (рис. 10.34). В результате имеем Я = — о = 100 Ом; и 7о СС= — = Гб 1 7 2 ">о При го и ~>о ЙоЕ 1 — е ЕС Рис. 10.35 Рис. 10.34 Изменения фазы показано на рис. 10.33, б. Приведем пример, когда схему можно нарисовать по данным об изменении тока. Дан черный ящик с двумя внешними клеммами. Внутри него собрана схема из индуктивности с малыми омическими потерями, емкости и сопротивления.
Известно, что если подать на клеммы постоянное напряжение Уо = 1 В, то ток будет равен )о = 10 мА. При переменном напряжении 1 В на частоте 50 Гц ток равен 1 мА. С ростом частоты ток падает, достигает минимума при частоте)' = 500 Гц, а затем постоянно возрастает до предельного значения 10 мА. Нарисуем схему черного ящика и определим ее параметры (М 10.27).
Для получения минимума тока, что соответствует резонансу токов, необходимо иметь параллельное соединение индуктивности и емкости, так как при этом Откуда при 50 Гц гд ~У~ = Я~+ =1О Ом. Таккакпризтом21~ <<Д и аз <<ге~„тоД=о)2„чтодаетЕ=3,2Гн и С = 3,14 10 з мкФ. Другой вариант такого же черного ящика. Известно, что если подать на клеммы постоянное напряжение Ц, = 1 В, то ток будет равен 1, = 1 мА. При переменном напряжении 1 В на частоте 50 Гц ток равен 10 мА.
С ростом частоты ток растет и достигает максимума на частоте~' = 500 Гц, а затем постоянно возрастает до предельного значения 10 мА. Нарисуем схему черного ящика и определим ее параметры (М 10.28). Так как ток достигает максимума, то, следовательно, 2, и С включены последовательно. Чтобы был ток при постоянном напряжении, сопротивление должно быть включено им параллельно (рис. 10.35, а). Получаем !1= — ~=1000 Ом; 2С= —,=10' с. о <~о Для импеданса цепи находим )г(= 1 [1/Я~+(вС/а~ЕС вЂ” 1) ~ При частоте /'= 50 Гц по условию получаем Д = 10' Ом. Подставляя это в предыдущее соотношение и учитывая, что ~т — «! 0 1/Ом и — « 1, Я~ ~<ео находим о>С = 10 ' С = 3,2 10-' Ф, 2, = 3,14 1О-' Гн. Имеется еше и другая возможная схема, когда сопротивление параллельно емкости, а индуктивность им последовательна (рис. 10.35, б). Сопротивление и 2,С остаются теми же, а для модуля импеданса цепи получаем 397 Так как при частоте /= 50 Гц по условию ~У~ = 103 Ом, то, подставляя это в предыдущее соотношение и учитывая, что Я = 10' Ом ( оз1 н ~ — ! <<1, находим Е~2 ~Я При е( = 2я/'= !00я получаем для индуктивности уравнение Е4 + 10Е( — 10-4 — 0 Откуда Ез — 5 1 5(1 + !0-4/50).
Так как эта величина не может быть отрицательной, получаем Е = 3 10 3 Гн. Поэтому емкость равна С = 13 мкФ. В цепь синусоидальной ЭДС включены параллельно активное сопротивление Я и реактивное Х. Найдем, какие активное г и реактивное х сопротивления должны быть подключены к ЭДС последовательно (рис. 10.36), чтобы ток во внешней цепи (по амплитуде и фазе) остался неизменным.
Получим, во что переходят точные выражения для х и г при дополнительных условиях: 1) г«х; 2) г» х. Считаем Х и х — величины вещественные (М 10.29). В соответствии с (10.30) 1 = —.. У' При одном и том же источнике для одинакового тока должны быть одинаковые импедансы У' = 1/я + 1/ Х = (Я я+ .Х = У' = г+ (х' Из совпадения действительных и мнимых частей получаем Я Х г= х= 1+ Я /Х 1+ Х /Я Рис. 10.36 398 лампочки другой, рассчитанной на Р' = 220 В и 1 = 0,8 А, оказалось, что новая лампочка горит также нормальным накалом.
Найдем сопротивление Я и самоиндукцию Е катушки (№ 10.31). Сопротивление первой лампочки Я, = — '=110 Ом, 1, сопротивление второй лампочки Я, = — '=275 Ом. ~2 Из (10.32) получаем !У,! ='((Я, +Я) +~~4,'1 = 4Я,; !Л,!=~(Я,+Я)'+ 'Ь'~ =2Я,. Возводя в квадрат и решая систему, находим 2 2 Я = — =137 Ом, 35Я, — Я, 2 Я,-Я, (16Я~ — (Я, +Я) ~ Е = =1,16 Гн. Найдем диэлектрическую проницаемость жидкости, если известно, что ее удельное сопротивление р = 10п Ом см и при переходе от постоянного тока к переменному с частотой 50 Гц (при том же эффективном напряжении) ток, текущий через конденсатор, наполненный этой жидкостью, возрастает в 7 раз (п = 7) (№ 10.32). Конденсатор с утечкой представляет систему из параллельно соединенных емкости и сопротивления.
Импеданс этой системы Уопределяем, пользуясь (10.27) и (10.31), 1/У = Я + неС. Откуда !~! = (1+ (щсЯ)21 По условию и = — = — = !1+(ВСЯ) ~ М 400 Пользуясь (3.56) и (4.14), имеем С = еееЯ/?г и Я = р?г/о и соответственно СЯ = е4ер. Отсюда ( г )!/г е= =25. 2л? сер 184! = — = лг ?')г = 0,025. я В схеме, представленной на рис. 10.37, емкость С подобрана таким образом, что при замыкании ключа К ток ?, показываемый амперметром А, ие изменится.
Найдем индуктивность катушки, если известно, что 1= 0,5 А, У = 380 В, У= 50 Гц (Хо 10.34). Из (10.30) а!С = Ц(?. Используя (10.32), получаем ? =(?гьзС ? =(?1 "?'С+иаСЯ ! па ' г и+йо? Амперметр показывает эффективные значения, т. е. меряет модули. Они и должны быть равны (удобно написать квадраты модулей) гСг (! — и ?С) +о! С Я ег С лг + г?г Откуда Ь = — = — =1,2 Гн. 1 У 2ыС 4ф? 2егЕС =1; На рис. 10.38 показана принципиальная схема трансформатора — устройства для изменения напряжения переменного тока.
Первичная обмотка, связанная с источником переменного на- Ряс. 10.37 40! гв-та Длинный однослойный реостат из нихромовой проволоки с удельным сопротивлением р = 1,1. 10 4 Ом . м намотан виток к витку с плотностью витков и = 10 см-' на керамический каркас диаметром Ю = 5 см и включен в цепь переменного тока с частотой ?= 50 Гц. Найдем сдвиг фаз между током и напряжением на реостате, пренебрегая толшиной изоляции проволоки (М 10.33). Воспользовавшись (5.29) и (4.14), находим ?. = 1~,иА!л?)г Я = 4р?)?Уиг.
Используя (10.34), получаем Ф= вв 'Г лФ и Рис. 10.38 вч 1 . ~~Ч2 У, = — +В11,; 0= — +В212. й ' лг При отсутствии рассеяния магнитного потока (10.48) Ф = — = —. л| л2 Используя (5.31) и вводя собственную и взаимную индуктивность, получаем для потоков 1'~1~ + 11212; Ч 2 = 12111 + 1212. (10.50) Подставляя это в (10.49) и учитывая, что полученное соотношение должно соблюдаться при любых токах, находим п21, = л,1,„и иф„= л 1., и, следовательно, 1ч2 Е2, = 1,Ц. Пользуясь теоремой взаимности (5.30), имеем 1 — 1 — 1 — (г г )ц2 (10.51) Для переменного тока частотой е2 из (10.32) получаем (1~ = Я+2а21.)1 +2е2(11 ) 0 = 1~(1„12)У 1, (Я~+ю12)12.
(10.52) (10.53) 402 пряжения, и вторичная, связанная с нагрузкой (потребителем), навиты на общий железный сердечник, в котором при вычислениях считаем отсутствие рассеяния магнитного поля и ферромагнитизма. Индукция магнитного поля В сердечника (площадь сечения Я) создает магнитный поток Ф = ВХ Число витков обмотки л дает зацепленный поток Ч' = лФ. Этим потоком определяется ЭДС индукции или индуктивное сопротивление <)Чу'г)г (здесь и далее используется система СИ). В соответствии с (5.31) имеется связь с коэффициентом индукции А и током 1 в обмотке Ч' = И.. Для обмоток из (10.32) получаем Отсюда (Д2+~~Й) ! 1~~2 + 1"2(А~~2 + ~2Д!) (10.54) ещ(АЕ )Ч2 й (10.55) '! ~~2 + 1Е2 (2 ~~2 + ~2 ~! ) Если можно пренебречь активным сопротивлением в первичной цепи (Я, «е2Е!), то имеем )2 (Д2 + 1Е2'~2 ) ~1, ИОД Я2 (10.56) 2 '2 л! Д2 (10.57) где учтено, что индуктивность катушки пропорциональна и'.
Для так называемого падения напряжения во вторичной цепи получаем В2 ('2 '~2'~ 2 ('1' И! (10.58) (11 + !ей,) й, Я2 + 21ЫЯ (10.59) 1Е2И'! Я+ !ей (10.60) Модуль тока в первичной цепи равен !12 У~ Г(1+2лз) +а~) 1+ 4л (10.61) Разделительный трансформатор имеет две одинаковые обмотки, у каждой из которых индуктивное сопротивление на рабочей частоте в л = 5 раз больше омического. Найдем, каково отношение мощностей, потребляемых в первичной цепи при замкнутой и разомкнутой вторичной цепи (М 10.37). Воспользуемся (10.54) и (10.55).
В случае замкнутой цепи (в соответствии с условием) Я! = Я2 = Я, 2",! = Ц = А и «2А = лЯ. Поэтому получаем Для фазы тока относительно напряжения в первичной цепи получаем л 1+ 2л 18<р = — —; созср = (10.62) (1+5л + 4л ) В соответствии с (10.35) средняя мощность в первичной цепи (й1) =-Ш р=— 1 1 У 1+2п 2 2 л 1+4и В случае разомкнутой вторичной цепи из (10.54) й, й(й — ле2,) й ! — 1п я+ а»е (Я1 2 ~)'/2 я !+и' 1 18<р = — и; соз~р = (1+и ) (!юг) = — )й созФ =— 1 и'/й 2 2 21+ и' Отношение мощностей 1+ л2 — =(1+2и ) =13,1. В трансформаторе омическое сопротивление первичной цепи в и„а вторичной в и раз меньше индуктивного (на рабочей частоте).
Найдем сдвиг фазы Ч! между током и напряжением в первичной цепи, если рассеянием магнитного потока в сердечнике трансформатора можно пренебречь (М 10. 38). Воспользуемся (10.52) и (10.53) и получим Р2 = -1(л1пзЯ!Я2) 1/2 11 Яз (1 ь !из) й 1 — и! (п! + пз) — 1п, 1,= — = и! 1ч(л, +п ) л, 18<Р = 1+ из(п! +и~) Ток отстает от напряжения. При л, = и = 10 <р = — 3'. По первичной обмотке трансформатора течет ток 1 = /о сов егь Найдем, в какой момент времени следует разорвать вторичную обмотку трансформатора, чтобы в месте разрыва ве образовалась искра, и чему будет равна сила тока /, в первичной обмотке в этот момент времени, если индуктивность вторичной обмотки Т„сопротивление Х (М 10.35).
Из (!0.53) гог(г4ьг) 11 ( )д / е ~ ~ Яг + иоЦ ' ( г г г)'/г ' где фаза определяется из равенства га <р = «гЬ/Х. Так как 1= /,созегг= Хе(/оеьи), то д саз(гг/2 — Е + о>г) ( г г)дг Чтобы не проскочила искра во вторичной цепи, напряжение и ток должны равняться нулю в момент размыкания. Поэтому я/2 — чг + «гг, = я/2. Отсюда огг, = <р. Так как г 1 соз ег= 1+!а р то для тока в первичной обмотке имеем (1+ег~г"./Я ) Если во вторичную обмотку дополнительно включить конденсатор емкостью С, то во все соотношения, в которые входит егА, добавится — (1/ег С) ()чг 10.36).
В таком случае его — 1/вС гол гйр=гйЫ, = г ( )г~лг Видно, что 1, = /4 при ег/. = —. 1 аС. 405 Вблизи катушки колебательного контура с параметрами Е„С, Я расположена вторая катушка с индуктивностью Ег Взаимная индукция между ними равна М. Найдем, какой будет резонансная частота контура, если выводы второй катушки замкнуты накоротко, считая, что ее индуктивное сопротивление на рассматриваемой частоте значительно больше ее активного сопротивления, а также при каком условии резонанс недостижим (М 10.39). В соответствии с (9.4) и (7.1) для первого колебательного контура имеем Е, — '+И, + — ~Е,сг+М вЂ” 2 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
