Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 57
Текст из файла (страница 57)
11.5 На рис. 11.5 показан линейчатый спектр этого сигнала. В случае рис. 11.4, б для непериодического сигнала с помощью интеграла Фурье (11.10) получаем сплошной спектр (11.19) т/2 -тот« / А ( -/ттт/2 !шт/2) 4 а~(~/2) -/а ат/2 Этот спектр показан на рис. 11.6. Интервал частот, в котором спектральная амплитуда существенно отличается от нуля, называется шириной спектра.
В данном случае можно взять ширину главного максимума (2Ьа), для которого (11.20) Так как т равно длительности сигнала о/, то можно написать общее соотношение, связывающее длительность сигнала с 'шириной спектра и называемое соотношением неопределенности: ЛЫа = 2я. (11.21) Вводя обозначение й = 2я/Т, в случае рис. 11.4, в получаем сплошной спектр т/2 Я(а) = ) Асов(й/)е '"'т//= -т/2 т/2 т/2 т/2 — ( (ест + е '"')е '"«4// = — )т е 'а о/тт//+ )т е л'"+02«т/г 2 2 -т/2 -т/2 -«/2 430 Рвс.
11.7 Ряс. 11.6 А е -Ла-ПЬ/З дш-ОЬ/2 -!(а~О)Ч2 дв+Пф2 — е е -е 2 -/(а — й) -/(и + й) Ат ) згп((со — й)т/2] з1п~(оэ + Г1)т/2) 2 ( (а — т4)т/2 (в + 44)т/2 Отметим, что этот спектр представляет сумму двух спектров от прямоугольных импульсов, сдвинутых на 12 в разные стороны (рис. 11.7). Плоский вакуумный диод подключен к источнику постоянного напряжения с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением (рис. 1!.8). Эмиссионная способность катода К столь мала, что ток через диод протекает в виде одиночных импульсов отдельных электронов, каждый из которых имеет длительность т. Найдем спектр сигнала на измерительном приборе при прохождении такого импульса (М 11.4). При пролете заряда й/ работа источника щ=(/~ч //=(///и 4// Для электрона работа еЕ4(х = е — 4(х, У где / — ширина зазора.
Поэтому, обозначая ускорение электрона а, получаем ф) =- — = — = —. е Ых еа/ 2е/ / 4// а тт/2 т1 Рис. 11.8 431 В соответствии с (11.10) -ООО 1 -ОООО 1(ш) = ) 1Яе '~г1г = 2е — 2е —, ОЛ ИОс Через систему тонких плоскопараллельны~ пластин, соединенных с измерительным прибо~ Рис. 11.9 ром так, как показано на рис. 1!.9, пролетает п[О нормали к пластинам электрон достаточно высокой энергии, чтобы пронизывать их без заметных потерь.
Найдем спектр сигнала на измерительном приборе„ если скорость электрона с, ширина каждого зазора Ь (М 11.5). Эта задача похожа на предыдущую. Так как там ЭДС не входит в ответ, то здесь можно провести те же самые рассуждения, а затем положить У = О. Получаем для — т < 1 < 0 ток 1 = — 1, а для 0 < 2 < т ток 1 = 1, где с = Ь/с и 1 = ес/Ь. Из (11.10) следует 1[а) = ) 1Яе ™г(1 =2еи Найдем, при каких условиях, налагаемых на вид сигнала У (г) [и его спектра У (!с)), напряжение У,„„(г) на выходе ЯС-цепочек, изображенных на рис.
11.10 и 11.11, совйадает с входным напряжением У (г) (М 11.7). В соответствии с (10.27) и (10.31) в первом случае Во втором случае У =Я '" =ВСЯ 1(О с(О т Рис. 11.11 Рис. 11.10 432 В первом случае при 1 ЯС' ~ а во втором случае прн 1 Яс получаем У = У .
Высокодобротный колебательный контур находится под действием внешней амплитудно-модулированной ЭДС, изменяющейся по закону о(г) = А(1 + и сов'в2!) сов аоа Резонансная частота контура может перестраиваться с помощью изменения емкости. Считая коэффициент затухания контура б заданным, найдем амплитуду вынужденных колебаний в следующих случаях: 1) контур настроен на несущую частоту а,; 2) контур настроен на частоту а + 212 (М 11.8).
Используя тригонометрические формулы, для входного сигнала получаем Ф(Г) = А(1+ — 1соваоГ+ — иА сов(ао + 212)Г+ + — иА сов(ао — 212) и 1 4 Спектр этого сигнала показан на рис. 11.5. В соответствии с (10.1), (10.9) и (9.27) для выходного сигнал получаем в первом случае А, = ао я (1 + 2 ) А = ао (1+ 2 ) 20 .
Во втором случае Ав =(ао+2И) — — А =(ао+212) — —. Еи и А Я4 4 20' На вход колебательного контура с высокой добротностью подаются амплитудно-модулированные колебания Ж(г) = А(1 + и сов Ж) сов ав При перестройке несущей частоты а наблюдается несколько резонансов. Найдем резонансные значения частот и определим глубину модуляции и, если известно, что амплитуда вынужденных колебаний напряжения на контуре уменьшилась в л = 4 раза при перестройке частоты а от значения а, до а, + й + р (а, — собственная 28-ам 433 частота; б — коэффициент затухания контура) (М 11.9). Для пода- ваемого напряжения имеем Ф (г) = А (1 + т соьььГ)соьои = = Асоьгог+ — соь(ю+ь2)г+ — соь(го-й)к Ат Ат 2 2 При совпадении в с во получаем спектр с резонансами при (оэо — й), во и (озо + й).
Из (10.41) следует, что отношение энергии при сдвиге частоты от резонанса на Ьв = В к энергии при резонансе уменьшается в два раза. Амплитуда уменьшается в Г2. В соответствии с (10.1), (10.9) и (9.17) амплитуды вынужденных колебаний в Ц (добротность) раз больше амплитуды вынуждающей силы. При гоо амплитуда АД, при (ао + ь2) амплитуда АтД/2, а при сдвиге на В еще в Г2 меньше. По условию амплитуда уменьшилась в 4 раза.
Отсюда т= — =0,7. Я В схеме, изображенной на рис. 11.12, действует переменная ЭДС, изменяющаяся по закону Ж = Жо соьз 12С Найдем токи 1 и 1,, если известно, что параметры цепи удовлетворяют соотношению (М 11.10) й 2 1 41,С ' Можно воздействие представить в виде 6 = — + — соь2М. Фо Жо 2 2 Таким образом, в напряжении имеется постоянная и переменная составляющие. Постоянный ток не проходит через конденсатор, а идет через Я, Я, и 1,г Правая часть схемы находится в резонансе напряжений с ЭДС (212) Следовательно, ее сопротивление переменной части тока равно нулю. Весь переменный ток течет через Я и ЕС.
Он равен 'о соьй1 1=— 2 Я Постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому Жо/2 1, = —. Я+Я, 434 Рас. 11 13 Рис. 11.12 В схеме, изображенной на рис. 11.13, действует переменная ЭДС, измениющаЯсЯ по законУ о = Р;созгйь Найдем токи 1и 1н если известно, что параметры цепи удовлетворяют соотношению ()Чь 11.11) й 1 4ХС ' Можно воздействие представить Ф' = — + — сох 2йп И~ цг 2 2 Постоянный ток будет идти только через Е. Он будет равен 1= —.
2Я Так как ЕС контур находится в резонансе токов, то переменный ток через него не идет, а идет через Я, и Сг Позтому К~2 1,= Я + Я~ + 1/1йС~ Амплитуда его Же 2йг+Р 1 1, = — сох ар = ~(Я Я )г !/(2йС,)г~ ' 2(Я+ Я,)+ 1/йС, На ЯС-цен~>чку (рис. 11.14) подается гармоническое напряжение У = (1 созон. Параметрй цепочки подобраны так, что сдвиг фаз между У и-У составляет 60'. Найдем спектральный состав выходного напряжения и фазовые сдвИги между спектральными компонентами для Рис. 11.14 435 28' случая, когда расстояние между пластинами конденсатора (конден- ' сатор плоский) изменяется по закону Ь = !э(1 + а сов йг), причем ~ й «аэ и а «1 (М 11.12). При неизменных параметрах цепочки, когда С = С„получаем, как для делителя напряжений, в соответствии с (10.26) и (10.30) и,„„и,„я й+ !/э'вс, и для сдвига фаз по условию в 60' в соответствии с (10.34) Откуда соотношение между параметрами цепочки 1 аэСеЯ = ~ /3 Для переменной емкости конденсатора по условию и в соответствии с (3.56) имеем Са 1+ асозйг В таком случае и 1 и 1+ !(а»сл Используя условие а «1 и формулу Эйлера (10.20) (см.
1, с. 101), получаем гэ 1 ~1/Засозйэ/(! — э' ГЗ) 1 э э ( чЗ э(э (ь~ай ГЗ э(ь|б-ш) Представляя входное напряжение в комплексном виде () = Усе'"', имеем () ~~оеЬ"+(э>+у ГЗ~~е6'"'оу+"'~ь)+еэ((" оу+эчб)~ о 436 Таким образом, в спектре имеем три гармонические компоненты: основную с частотой ы и амплитудой Уе/2 и с частотами ю + й г.а и амплитудами У, ~3 —, которые по фазе сдвинуты относительно основной на 5я/6. Рассмотрим аналогичную задачу, в которой сопротивление и емкость поменялись местами (рис. 11.15) и сдвиг фазы равен — 45 (М 11.13). При этом ц 1/ЪС, и Я+ 1/иеСа 1+ ааСеЯ и гй у = — аС,Я = — 1, т.
е. е7С Я = !. В результате У „1 1+ гасозй7/(1+!) 1+ 7/(1+ асов й7) 1+ 7 Представляя входное напряжение в комплексном виде (/ = Усе' ', имеем (/ ~~ю ~(м — МО ~1 а дв + 74) с 4-а~ + (4) Таким образом, в спектре имеем три гармонические компонен- т, ты: основную с частотой а и амплитудой — и с частотами гл + й и ,/2 й амплитудами (~~ — которые по фазе сдвинуты относительно основ- о4 ной на я/4. На вход колебательного контура (рис. 11.1б) подается амплитудно-модулированное напряжение = (Уо(1+ тсозЖ)созе7,7 (т < 1). Контур настроен в резонанс с частотой ю,. Вычислим У,„„, если юе = 2 10 с ', й = 5 1О с ', добротность контура Д = 100 Я Г7.„ С Рве.
11.15 Рвс. 11.16 437 (М» 11.14). Используя (11.12), получаем для спектра входного сиг- нала и = и,(1+ аг) = и сох»» г+ — сох(г» +а)1+ — сов(а~+а)к и рд иом 2 Чтобы получить спектр тока, надо воспользоваться (10.16) для импеданса, (9.27) и (10.38) для связи с добротностью и (!0.34) для фазы: о)Š— 1/(»С 2до) тки = где для резонанса ь»» = О, а для смещенных компонент ]л»»] = а. Таким образом, спектр тока и» и»е со»(в»~+аг~ч) 1 = — совы»г+— 12 Я~1+(1225~а~) ~ и, (»г-а~-е) и, /и со5(аг .~. е) +» = — »сов»»»г 1+ д]1 (д2а~,)'~ [1+(122а(»)~~ Отсюда ! + Рп»0$(Ш+ Е) 1 И1 »0»(а1+Ч) и = и, .
° ,г „, = и, созы,г 1+ [1+(02а/ш») ] (1+(02М<»о) 1 где и, =,, = 0,9е; 18 <р = 0,5. ]1+(02Ц/,)'~ На вход колебательного контура (см. рис. 11.16) подается периодическая последовательность прямоугольных импульсов, длительность которых (т) в 4 раза меньше величины периода (Т). Частота повторения импульсов (а = 2я/Т) совпадает с резонансной частотой контура. Найдем отношение амплитуд второй гармоники к первой на 438 выходе контура, если его добротность Д = 100 (М 11.15). Для вход- ного сигнала, используя (11.7) и (11.8), получаем чо С„= — )' Ае ог = — зшлго —, 1 г щ„, А .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
