Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 56
Текст из файла (страница 56)
е. тока нет, а при отклонении плоскости кольца момент возвращает в начальное положение). ПривЕл Я М =- М = В Я яп ог —. соо ~р о ПривЕ «Я М =М =в'ВоЯ'Ео!пог ' '" =М ~ —" Во втором случае врашающий момент меньше. Параллельный колебательный контур подключен, как показано на рис. 10.55, через сопротивление Я = 10 кОм к источнику переменного напряжения (амплитуды Уо). Активное сопротивление катушки г = 5 Ом. Для измерения добротности колебательного контура к сопротивлению Я подключается параллельно такое же сопротивление (замыканием ключа К). При этом амплитуда колебаний напряжения на контуре при резонансе токов увеличивается в 1,5 раза. Найдем добротность О контура, если известно соотношение между его параметрами (№ 10.81) — »Г . г С Для импеданса контура У из (10.27), (10.29) и (10.31) получаем 1 .
С 1 гвгС вЂ” ЕС+1 —. = (вС+ У г+иоЕ г+йоЕ Рис. 10.55 422 При резонансе 1 ю ЕС и поэтому г + ~шЕ 1/1 + а~2~~ 1, .(,цУз !вгС аС Сг '1С/ Отсюда, во-первых, для модуля У из условия задачи и (9.28) находим з !/2 г~Сз С ~ Сг Во-вторых, учитывая, что из условия задачи при резонансе следует, что х,'а' » гз, и поэтому импеданс контура можно считать некоторым активным сопротивлением, которое обозначим Я„. Обозначая ток от источника 1 и падение напряжения на контуре Уп получаем У = 1(К + Я„), У, =,И„. Откуда йк и, = и, Я+Як При включении второго сопротивления получаем По условию оно в 1,5 раза больше У,. Это позволяет найти й„ вЂ , а ( †) -( †) 11. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА.
АВТОКОЛЕБАНИЯ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС. ШУМЫ 1(г) = Ае + ~ч' А„яп (лагг) + ~ В„сов(лагг). л=! Р=! (11.1) С круговой частотой ег связан период основной гармоники Т = —. 03 (11.2) Коэффициенты определяются следующим образом: т/2 А = — 1 г"(г)22к -тг(2 (11.3) Интегралы всех гармоник по основному периоду дают нули. т22 А„= — ) Г"(г) яп (лагг) 222. — тгг (11А) 2 т 2 В„= — ) Г(Г) сов(легГ) 22д - т12 (11.5) Легко проверить непосрелственным вычислением, что в обоих случаях только квадратичные члены отличны от нуля. Можно разложение написать и для комплексной функции В(г), для которой 1(г) является действительной частью (в отличие от пре- 424 При рассмотрении вынужденных колебаний уже было сказано о важности представления воздействующей нагрузки (правой части в уравнении вынужденных колебаний) в виде набора гармоник (синусов и косинусов).
Такое разложение нагрузки (произвольного сигнала) называется спектральным анализом. Периодическую функцию г(г) можно разложить в ряд Фурье ф) = Ке5(г). 5(Г) = ~' С„ес (11.6) (11.7) Отрицательные частоты соответствуют вращению вектора в комплексной плоскости по часовой стрелке 1 'с+с С„= — ) 5(г)е ' 'М. ~о Для непериодической функции Яг) снова имеем (11.б) и интеграл Фурье 5(г) = — ) 5(се)ес 'сссо.
(11.9) Функция 5(са) называется спектром (или преобразованием Фурье) функции 5(г) 5(се) = ~ 5(г)е '"'сй. (11.10) В спектроскопии принято в показателе (11.9) ставить минус, а в показателе (11.10) соответственно плюс и 1/(2я) из (11.9) перенести в (11.10). Найдем, какую величину 5, получаем вместо (11.10) при сдвиге (11.9) на Т, т. е. при 5(г — Т). Из (11.10) следует 5(сл) = ) 5(с — Т)е ьас(п Введем новую переменную г' = г — Т. Производя замену, получаем 5 (са) ) 5(г )е-и(- )сгг е-»»т )' 5(г )е-г»гсгг Откуда 5,(се) = 5(са)е ' г.
(11.11) 425 дыдущего раздела специальный значок «"» используем для спект- ральной функции): ~(г) = А соз а! = — + — сов 2аг, А А 2 2 т. е. сигнал представляет сумму постоянной величины и второй гармоники. Если при колебаниях амплитуда или фаза, или и то и другое меняются со временем, то они называются модулированными. Наибольший интерес представляют случаи, когда модуляция является гармонической функцией с частотой, значительно меньшей частоты колебаний, которая называется несущей частотой.
Для амплитудной модуляции с частотой й «а (несущей) частоты и отношением амплитуд т < 1 (т называется глубиной модуляции) (М 11.1) получаем ,г'(г) = А(1+тсозйг)соваг = (11.12) = Асозаг+А — соз(а+й)г+А — сов(а-й)п 2 2 Спектр этого колебания, показанный на рис. 11.1, называется линейчатым. Это коэффициенты при соответствующих гармониках, обозначаемые А(а). Удобно воспользоваться комплексной формой сигнала и векторными представлениями.
Из (10.20) ха созйг = 2 А(а) Получаем Я(г) = А (1+ т сов йг) ем' = а-й а а+й а Рнс. 11.1 Ае' ' + — е'("'~У + — е'(" ~" 2 2 426 При сдвиге сигнала изменяется фаза спектральной характеристики. Проведем спектральный анализ некоторых колебаний. Цель такого анализа — найти коэффициенты при гармониках, входящих в разложение (11.1). Дпя квадратичного преобразования монохроматического (одной частоты) сигнала г(г) = А совз аг (М 11.1) даже не нужно пользоваться приведенными ранее формулами для коэффициентов ряда Фурье, а из простой тригонометрии получаем В плоскости фазовых амплитуд (векторов), вращающейся с угловой скоростью а, получаем результат, показанный на рис.
11.2. ~В результате вращения векторов Ат/2 в противоположные стороны (получаем модуляцию амплитуды. При модуляции фазы колебаний (№ 11.1) имеем 7(7) = Асоз~р(7) = Асов(е77+ тсозз27). (11.14) В случае зз «а и т «1 получаем Г(7) = АсозаГсоз(тсовЖ) — Ав(па7(в(п(тсозйГ) = Асоваг — Атз!по>(совз47 = Асозе27 — тАсов127сов(е77 — — ) = л( 2! тА л1 тА Г л1 = Асовв7 — — сов| (в+ з4)7 — — ~ — — сов| (е7 — з4)( — — ~ = г 2з 2 21 (11.15) = Асове27+ — сов~(а7+а)7+ — "1+ — соз~(в — а)7+ — "1, 2 21 2 2~' Следует отмепггь, что происходит модуляция мгновенной частоты колебаний а„. Это можно определить дифференцированием фазы е(г) е7„,„= — = щ — тйв(п йп йр (11.
16) В комплексном виде фазовая модуляция представляет 5(7) = Ае'("""'"о') = А(1+ (тсовЖ)еая = =Ае +1 — е +1 — е ° ал . тА ~(о~о)/ . тА ~(в-оу 2 2 (11.17) Ряе. 11.2 Рис. 11.3 427 / Учитывая (10.33), изображаем вектора на векторной плоскости ) (рис. 11.3). При т «1 амплитуда суммарного вектора не меняется,! а меняется его наклон, т. е. фаза. ! Найдем, что зарегистрирует приемник радиоизлучения, если изве-: стно, что в нем осуществляется квадратичное преобразование прими-) маемого сигнала с последующим усреднением за некоторое время Ы, подчиняющееся условию 2я/ег «г!г «2я/й, где аг — радиочастота; й — частота модуляции (й «ег) в следующих случаях: 1) на вход поданы амплитудно-модулированные колебания (11.12); 2) на вход поданы колебания, модулированные по фазе (11.14); 3) на вход поданы колебания, модулированные по фазе с отфильтрованной (т.
е. убранной) частотой сг; 4) на вход поданы колебания, модулированные по фазе, в которых фаза спектральной компоненты частоты ю изменена на я/2 (т. е. фаза несущей изменена на я/2) (М 11.2). В первом случае введем обозначение В(г) = А(1 + т сов йг) для величины, которая мало меняется на интервале от г — ггг/2 до г+ Лг/2. В этом случае выходной сигнал, который регистрирует приемник, будет (+Ы 8(Г) (/г(Г)) ! ) Вг(х)совг егхв(х = В (г) "г' г В (г) г (1+тсовйг) Предполагается, что дг содержит целое число периодов несущей радиочастоты сг. Можно воспользоваться комплексными представлениями /(г) = КеХ(г), где Ю(г) = х+ !у = А(1 + т сов йг)е'"'.
Усреднение модуля комплексного числа по большому числу периодов (р5 = (х') + (у') = 2(х ). Поэтому ( г) 1( г) 1ВВ Аг (1+тсовйг) 2 2 2 где Я' — вектор, комплексно сопряженный Я, 5' = х — !у. При т «1 получаем Аг 1+ 2тсоввгг 8(г) = А (11. 18) 428 Во втором случае — фазовой модуляции (11.14) — удобно сразу воспользоваться комплексным представлением Аг я= — ХГ = —.
2 2 ' аким образом, фазовая модуляция теряется. В третьем случае при фильтрации (устранении) несущей частоы вместо (11.17) имеем Ю(г) = / — ед '~р + г — ед" "1' = ллАелв сов йп 2 2 Получаем 1гг (г) = — оК = — (лгА) созг йг = ( — ) (1+ сов 2йг). 1, г (1+ лгсозйг) Аг 1+ 2тсозйг г 8 г =-Ы'=А А Это соответствует амплитудной модуляции (11.18).
Найдем спектры сигналов, изображенных на рис. 11.4: а) периодическая последовательность прямоугольных импульсов; б) прямоугольный импульс; в) сннусоидальный нуг (М 11.3). В случае рис. 11.4, а для периодической функции можно написать представление в виде ряда Фурье. Воспользовавшись (11.6), (11.7) и (!!.8), получаем т/г С = — ( Ае ' 'ггг=, /е '" гг — еа гг)= т4, -ллпТ~ т т1п(лпт/Т) т т!п(лтю/2) Т лпт/Т Т ляо/2 где ы = 2п/Т. т б в Т Рне. 11.4 429 В четвертом случае, в отличие от третьего, фаза несущей частоты изменена на я/2, что соответствует умножению первого члена в (11.17) на г': Ю(г) = /Ае' +/ — е( 'и" +/ — е( и)' = Аед "л~1(1+ тсозйг). 2 2 Отсюда получаем -2а -а 0 а 2а За а Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
