Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Через баллистический гальванометр пропускается кратковременный импульс тока. При этом его рамка отклоняется на угол <р . Спустя половину периода, когда она вернется в исходное положение, через него пропускается такой же импульс тока, но в противоположном направлении; через следующую половину периода пропускается снова такой же импульс, но в первоначальном направлении и т.
д. Таким образом, всякий раз, когда рамка гальванометра проходит через положение равновесия, она испытывает одинаковые толчки в направлении своего движения. Найдем максимальный угол ее отклонения р при установившихся колебаниях, зная, что период затухающих колебаний Т, а коэффициент затухания 11 (М 10.13).
Обозначая механический момент толчка рамки М, для изменения момента количества движения (момент инерции Х, полученная угловая скорость <р,') имеем Мог = Лр,'. Пока нет толчка, колебания затухают как свободные, и изменения угла описываются уравнением типа (9.15) и имеют решение типа (9.19).
В начальный момент угол равен нулю, а угловая скорость благодаря удару ~рс. Используя это, находим р= — е з)пезб р'= — (сзсозе3г-1)з(пы)е ". Фо -аг °, Фо ы ы 377 Через время г = Т/2 окажется ф, = 0 и р,' = 42Ое В'~2. В результате удара угловая скорость станет равной О2ОО Для ее определения имеем ЛРО! Л~! 'В г'1 ХрО ' В следуюший переход через нулевой угол угловая скорость будет е-Вт! (р +~В )е-В222 ~Р (1+ с-Вгlз)е-ВП2 В результате удара '~~РО2 'ГО22 М~г '~'РО' Следовательно, О2' = д' (1+ е '"'+(е '"") 1 Продолжая этот процесс далее, получаем <р' — д' ~1+е В222+(е От~2) + +(е Вг~2)"1 Используя формулу для суммы убываюшей геометрической прогрессии, находим ео -Вг!2 ' При слабом затухании можно считать, что Епш 'Р пик ФО ФО Поэтому 'РО 1 — е Вг/2 ' С помошью схемы, показанной на рис. 10. 14 требуется получить Фазовый сдвиг на угол 90' между напряжением на входе 1~ и напряжением на выходе 1' .
Найдем, какому условию должны удовлетворять параметры схемы Я и Е, если циклическая частота входного напряжения равна О2, и чему при этом будет равно отношение амплитуд входного и выходного напряжений (М 10.6). Связь напряжения на выходе с напряжением на входе можно найти либо используя правила Кирх- Рис. 10.14 ЗОВ гофа, либо рассматривая цепь как два последовательных делителя напряжения. Воспользуемся вторым способом.
Обозначая часть цепи как ~ и используя (10.27) и (10.29), видим„что 1;„делится на ко7. и ~, а затем ~ делится на 2е2Ь и Я. Получаем 7 222 Й 2+ 7е21, Я+ юА Используя правило сложения сопротивлений, имеем 1 1 1 — = — + Й Й+ 7927. Подставляя и преобразовывая, получаем ~г Л вЂ” и 7. + 23ывл реи где 2 Р = Г(Я2 е22 22) +(Зе27 Й) ), 18!р Зо21Й Й2 272 ' Если Я = е2Е, то г', отстает от Р;„на у = 90 и 3 Если Я л е21, то !9 — малая величина, т. е.
практически нет сдвига фаз и выходное напряжение равно входному. При уменьшении Я отставание выходного напряжения от входного увеличивается, достигая 180 при Я к е2Е (на каждом из делителей отставая С помощью схемы, приведенной на рис. 10.15, требуется получить сдвиг фазы 90 между напряжением на входе 1'и на выходе У.
Найдем, какому условию при этом должны удовлетворять параметры схемы Я и С, если частота входного напряжения равна «2 ()чв 10.54). Как и в предыдущей задаче, находим, рассматривая цепь как два последовательных делителя напряжений: !'Я И~ г ,е '". (Й вЂ” !/ыС) [(Й2 !/ 2С2) +4Й2/ 2С2~ Рис. 10.15 379 Для определения сдвига фаз имеем гЯ 180 =— щс(Я2 1/щзс2) Чтобы удовлетворить условие, должно быть тоКС = 1.
Найдем, при каком соотношении между параметрами схемы, изображенной на рис. 10.16, напряжение на выходе У находится в фазе с напряжением на входе г'= 1;созтот и какова при этом амплитуда напряжения на выходе, а также построим векторную диаграмму напряжений на элементах схемы (№ 10.55). Для делителей напряжения имеем и„= "Я, и,= Я+ коЕ' с 1+ коСЯ В результате Уко(СЯ~ — Е) Я(1 — в~СЕ) + ко(СЯ~ + Е) При ОРСЕ = 1 это выражение чисто действительное и и (СЯ~ — Е) СЯ~ + Е т"Якос 1+ коСЯ РЯ Я+ коЕ' Рис. 10.16 380 Рис. 10.17 Векторная диаграмма представлена на рис.
10.17. Найдем„при каком соотношении между параметрами схемы, изображенной на рис. 10.18, напряжение на выходе У сдвинуто по фазе относительно напряжения на входе $'на 90' и какова при этом амплитуда напряжения на выходе, а также построим векторную диаграмму напряжений на элементах схемы (№ 10.56). Для делителей напряжения имеем Рве. 10.19 Рис. 10.18 В результате И~(!+а ЕС) и(1 — в СЬ)+ но(СЯ + 2) При го!С1. = 1 это выражение чисто мнимое (поворот на 90 ) и 1'2Я(АС)~ СЯ'+ 2 Векторная диаграмма представлена на рис.
10.19. Найдем, при каком соотношении между параметрами схемы, изображенной на рис. 10.20, напряжение на выходе У находится в фазе с напряжением на входе 1'и каким при этом будет отношение амплитуд напряжений (№ 10.57). Обозначая импеданс параллельного соединения У, имеем 1 1 — = — + ноС. У Я Откуда у 1+ ноСЯ' Я тл Рве. 10.20 Рис. 10.21 зв! Для делителя напряжений имеем Ру и Я вЂ” з/озС+ У 3+!(озСЯ вЂ” 1/озСЯ) Это выражение будет чисто действительным, а следовательно, напряжения будут в одинаковой фазе при аз СЯ = 1. При этом 1/(/= 3.
На вход фильтра (рис. 10.21) подано напряжение 1'= 1' сов азб где 1 Оз = —. ЯС' /~ /2 зз /з =А+/з' /Р'Я+. ' = . ' 1' =/зЯ+. гозС иоС ' йоС ' У=— 1з гав С Пользуясь условием для частоты, находим и= и 1 — т+1(т+ 2) ' Для амплитуды напряжения имеем ио 1(! — т) + (т+ 2) ] (2т + 2т+ 5) К клеммам А и В (рис. 10.22) подводится произвольное переменное напряжение )т(г), которое возбуждает между клеммами М и /З/ напряжение г',.„(г). Параметры Я, Е, С подобраны таким Я 2. А М А М С Я в~ 1 6и в Ф 1 г Ф В Р с.
10.22 382 Найдем амплитуду напряжения на выходе У(Хо 10.58). На рисунке даны обозначения токов. Используя правила Кирхгофа, по- лучаем образом, что напряжение на выходе в каждый момент времени мало по сравнению с напряжением на входе в тот же момент. Покажем, что при выполнении этого условия выходное напряжение на схемах 1 и 2 приблизительно пропорционально интегралу, а на схемах 3 и 4 — производной от входного напряжения по времени (М 10.59). Цепочки 1 и 2 называются интегрирующими, а 3 и 4 — диффереицирующими. Заметим, что между МФ большое сопротивление (как в вольтметре) и ток идет только через конденсатор.
Для схемы 1 ток через конденсатор Откуда ~Й 1 "яС' Для схемы 2 имеем Откуда Для схемы 3 получаем Откуда ~ 1ых ~ся Ф~ Для схемы 4 находим ,Ц ~, 4(г' — г',„„) С 4 Ж Я сР Я ~1г Найдем входной импеданс бесконечной цепочки, показанной на рис. 10.23, а также при каких частотах цепь не будет потреблять мощность от источника (М 10.60). Импеданс части цепи, обведенной пунктиром, обозначим Е Импеданс цепи после катушки с ин- 383 Р с. 10.2З Рае. 10.24 дуктивностью 1./2 также равен У. Поэтому для параллельного соединения имеем 1 .
1 У иоА+ У Откуда 2 11/2 У + иоЫ вЂ” — = 0; У = -/та — 1. ~ — — со — ~ 2 . Е . А (2 22 С ' 2 !С 4~ Для положительного модуля импеданса годится только положительный корень. Учитывая сопротивление катушки с индуктивнос- , 22~' Х 1/2 тью Е/2, получаем, что импеданс цепи равен — — а2' — „) . Цепь не потребляет мощности, если импеданс чисто мнимый. Это будет при 2 (ХС) / На вход схемы, изображенной на рис. 10.24, подается синусоидальное напряжение с частотой е2. Исследуем зависимость амплитуды и фазы выходного напряжения от величины сопротивления Я (№ 10.61).
Так как параллельные участки одинаковые, по ним идет одинаковый ток Т Вх Я+ /е1Е Тогда выходное напряжение 2 2 2 1(Д„2 Я) ! ' ~-Я ! "/ -" +2Л'2Я хх Я+/е2А '" я2+е22/2 2 1/2 1Л =Г !(е2~2А — Я2) +4о22А2Я2) =Р е1". ХХ ~г 2/г 384 Амплитуды одинаковы. Фаза определяется из соотношения гйог = 2огЕ Я ог Х вЂ” Яг Найдем, при каком соотношении между параметрами моста, изображенного на рис. 10.25, напряжение У на его выходе находится в фазе с входным напряжением г'и какая при этом амплитуда напряжения Она выходе (М 10.62). Вводя обозначения импедансов У, = Я+йод,; ~г = Я+ коЕ и токов 1п 1г, можем по правилам Кирхгофа написать и= к,Я, — ~,г,; ) = ~,<Я, + Я,) = Цл, + к,).
Отсюда Я~ 2, Я~ +Яг 2~ +Уг Чтобы не было сдвига, в скобках должно быть действительное число. Для этого действительным должно быть У, (Я+иоЕ) Яг — и Е +12огЕЯ Уг ио1 Я ло2 Я Это выполняется при огА = Я. При этом и = )~ Рис. 10.26 Рис. 10.25 25-гого 385 Мост переменного тока, изображенный на рис. 10.26, сбалансирован. Найдем соотношение между постоянными времени плеч аЬ и сИ, выясним, является ли найденное соотношение достаточным условием баланса моста (М 10.63). Вводя обозначения импеданса У= 1+ йоСЯ и токов 1,, 1„можем по правилам Кирхгофа написать и С! 1, = =ий Я+Я, +1/йоС, иоС,(Я+Я~)+1 иоС вЂ” мСЯ 1/йоС + Я/(! + иоСЯ) 1+ 2йоСЯ Условие баланса моста (отсутствие выходного напряжения) 1,Ж+!соС,)= г 1г ко С Подставляя токи, получаем С, + йоСС,Я = С+ йоС,СЯг Откуда С, = С и Я, = Я. Поэтому постоянная времени плеча иЬ равна т, = Я,С, и равна постоянной времени плеча сЫ, равного т = ЯС.
Найдем условие, при котором в схеме, изображенной на рис. 10.27, ток через некоторую нагрузку У ие будет зависеть от величины этой нагрузки, пренебрегая сопротивлением проводов и омическим сопротивлением катушки ()чо !0.67). Импеданс параллельного соединения У, находим из условия 1 1 — = — +!со С. Уо В параллельных участках — = 1,У. йоС Откуда 1 = 1~ + 1г = 1г(1 + коСУ). Поэтому и йод+ У(1 — ого,С) ' Чтобы ток не зависел от У, должно быть огАС = 1. Ряс. 10.27 386 При изменении частоты/вынуждающей силы, действующей на линейную колебательную систему, меняется фаза у установившихся колебаний этой системы и запасеяиая в ней энергия И'.
Пусть при малом сдвиге частоты от резонансной ~К= 1 Гц фаза колебаний д изменилась на я/4. Найдем, как изменится при этом энергия И'. Определим также, каково время затухания т системы в режиме свободных колебаний (М 10.15). При слабом затухании из (10.8) следует, что резонанс при е7, = е7 . Изменение фазы от резонансного ( — я/2) на я/4, как следует из (10.6), дает Используя это и то, что отношение энергий равно отношению квадратов амплитуд, выражаемых (10.7), получаем з 2 ~ою (о)о — ы ) +413 ы и' 407„,г Энергия уменьшится в два раза.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
