Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Потери при затухающих колебаниях в контуре, состоящем из последовательно соединенных конденсатора, активного сопротивления и катушки индуктивности (рис. 9.28), можно компенсировать, увеличивая скачком на Ьи иаприкеиие иа конденсаторе через л колебаний. Считая затухание малым, найдем амплитуду и установившихся колебаний напряжения на конденсаторе (М 9.53). На рис.
9.29 показано изменение напряжения на конденсаторе со временем для случая л = ! . Из (9.19) следует а (я+ оц)е-опт Отсюда находим -агат, (цС)1/2 и=Ли = — =Ли 1-е а"г (3лТ ялй Рассмотрим задачи, в которых переходной процесс связан с быстрым изменением какого-либо параметра контура. Для измерения магнитной восприимчивости длинных цилиндрических образцов применяется установка, показанная на рис. 9.30.
При быстром удалении образца, заполняющего всю катушку, на ней воз- Рис. 9.30 346 никает импульс напряжения, величина которого измеряется с помощью осциллографа. Найдем мапппиую восприимчивость у образца, если В = 4,5 В, Я = 10 Ом, Е = 1 Гн (пустой катушки), У = 6,8 мВ (№ 9.3). Из (9.4) следует, что при быстром удалении образца (Лг «Е/)! = 0,1 с) сохраняется магнитный поток Ы = иИм где 1е = Ж/Я. Таким образом, после удаления образца и 1=р10=и†. Я В итоге, используя (б.9) в системе СИ, получаем для напряжения на катушке У = (à — И = (1(1 — ц) = — ХЖ Откуда Х= — "1=1,5 10-'. д1 В контуре, состоящем из батареи с ЭДС Е, сопротивления 1! и конденсатора емкостью С = 10 'о Ф, очень быстро за время ог = 10 2 с уменьшают расстояние между пластинами в два раза.
Найдем, при каком условии за это время заряд конденсатора практически не изменится, а также определим джоулеву теплоту Ц, которая выделится в сопротивлении Я к моменту перезарядки (№ 9.1). Для того чтобы за время сближения пластин изменение заряда, равное произведению тока 1 на время дг, было мало по сравнению с зарядом (9), необходимо условие!дг «г/ = Со, т. е. должно быть Я» дг/С = 10' Ом. При уменьшении расстояния между пластинами в два раза емкость увеличивается в два раза С, = 2С. Используя (9.1) и (9.3), получаем уравнение, описывающее изменение заряда после раздвижения пластин, )! — + — = б.
а4 д а с, Решение его Для определения постоянной К используем условие, что в начальный момент заряд на пластинах д = оС. Поэтому получаем е-~пас) Работа батареи, равная А = дд(у = дР = СЖ', идет на изменение энергии конденсатора и джоулевой теплоты.
Энергию конденсатора з4т после сдвигания пластин можно вычислить с помощью (3.67) из постоянства заряда и увеличения емкости в два раза И; = — — =С вЂ”. 2 ~2 22С 4 Заметим, что при сдвигании разность потенциалов уменьшается в два раза, и снова 2 2 4' После работы батареи энергия конденсатора И'~ = — 2СЖ . 2 В результате аз О = А — (И"~ — И;) = С вЂ”. 4 ~1д 8 — д/еС й Я Так как справа стоит конечная величина, то при бесконечно малом й должно быть бесконечно малое Щ т.
е. 9 можно считать постоянной величиной. Как следует из (9.7), дальнейшее изменение д описывается уравнением Разделяя переменные и интегрируя при условии, что в начальный момент заряд равен Же С, получаем Ч = ИС+ИС( — 1)е д"с, Рис. 9.31 348 На рис. 9.31 показан контур, состоящий из постоянной ЭДС Ж, сопротивления Я и плоского конденсатора, из которого очень быстро извлекают пластыыу из диэлектрика с проницаемостью е, которая заполняла весь объем конденсатора.
Найдем зависимость тока в цепи от времени, если после удаления пластины емкость конденсатора равна С (М 9.4). До удаления пластины заряд на конденсаторе д = г!8С. В процессе удаления пластины в цепи идет ток Отсюда для тока находим Келебательиый контур содержит индуктивность и емкость. В некоторый момент времени из конденсатора быстро извлекают пластину с диэлектрической проницаемостью е = 4, занимавшей весь его объем.
Найдем, как изменится частота колебаний контура, во сколько раз изменятся максимальные величины заряда на конденсаторе и тока в катушке, если пластину извлекают в момент, когда заряд на конденсаторе: 1) отсутствует; 2) максимален (М 9.5). В соответствии с (3.56) емкость конденсатора уменьшится в 4 раза С, С~ = —. 4' Из (9.8) для изменении частоты колебаний получаем Если при извлечении пластины заряд на конденсаторе отсутствует, то в соответствии с (3.67) энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия колебательного контура в этот момент находится в катушке. В соответствии с (7.20) она равна Максимальные значения тока не изменятся 1,„= 1ьг Учитывая, что при колебании вся энергия катушки переходит в энергию конденсатора (конечно, когда нет потерь, т.
е. сопротивления, как в данном случае), 2 2 2 % 1'1~м % м 2С~ 2 2С,' находим Если на конденсаторе есть заряд, то при быстром извлечении пластины он не успевает измениться. Значит, у „= д,„. Используя закон сохранения энергии, получаем — '=Я =2. Другой вариант колебательного контура, в котором емкость не изменяется, а из катушки индуктивности быстро выдергивают сердечник из сверхироводиика с радиусом в два раза меньшим радиуса катушки. Найдем, как изменится частота колебаний контура, во сколько раз изменятся максимальные величины заряда на конденсаторе и тока в катушке, если сердечник выдергивают в момент, когда ток в катушке: 1) отсутствует; 2) максимален (М 9.10). В соответствии с (5.29) для отношения индукции соленоида с сердечником 2,о к индукции без сердечника Ь, получаем го о 2 Е„гог 4 Из (9.8) следует, что отношение частот В первом случае энергии в катушке нет, вся энергия в конденсаторе, который не меняется, и поэтому д,„= до„= д.
Из сохранения энергии (так потерями на сопротивление пренебрегаем) о 2 — =А — =4) —. Ч Ам 'ом 2С 2 2 Откуда Во втором случае в соответствии с (7.1) и (5.28) 2о 3 21 4 Из сохранения энергии Найдем изменение силы тока в цепи, изображенной на рис. 9.32, когда из катупищ Ряс. 9.32 индуктивности (дросселя) очень быстро удаляетсяя железный сердечник, и в результате ее индуктивность меняется от Е, до Ц (М 9.8). Из (9.6), обозначая полное активное сопротивление контура Я, получаем — +Я1 =8'. 111 Ы1 При бесконечно малом времени Ыг должно быть бесконечно малым изменение произведения индуктивности на ток Ы(Ы), т. е.
в результате удаления сердечника (9.32) 1-Д = ЕД = солж. Скачком падает индуктивность и скачком возрастает сила тока от1,= до1,= —. Д1, Я,( Дальнейший процесс описывается уравнением, следующим из (9.4): Х вЂ” + 1Я = Ж. й Разделяя переменные и интегрируя, находим 1п (1л - Ф) = — — + сопзп Ю Е~ Постоянную интегрирования находим из условия, что при г = 0 величина тока В результате 1 = — 1+ ехр —— 351 Длинный тонкий соленоид радиусом г подключен к батарее, и по нему течет постоянный ток 1.
Сердечником в соленоиде служит сплошной цилиндр из сверхпроводника радиусом г, = 0,5га. Сердечник быстро выдергивают из соленоида. Найдем значение 1, тока в обмотке непосредственно после удаления сердечника и его дальнейшее изменение (№ 9.9). В соответствии с (5.29) для отношения индукции соленоида с сердечником 1,, к индукции без сердечника А, получаем 20 г0 г 2 1„г02 Используя (7.1) и (5.28), из сохранения потока магнитного поля при быстром удалении сердечника получаем, как и в (9.32), 1010 = Е, 1г Откуда 1~ 1 2 10 10' Окончательно устанавливающийся ток определяется ЭДС батареи и сопротивлением соленоида и поэтому равен начальному току 1.
График изменения тока во времени качественно показан на рис. 9.33. Изменить индуктивность можно и простым растягиванием катушки (№ 9.17). Найдем, как изменится собственная частота колебаний в контуре, состоящем из индуктивности Е0 и емкости С, в котором совершаются колебания силы тока 1 = 1 соз 0201 с частотой если в момент г = 0 длину катушки (1,), представляющую спираль, очень быстро растянуть в два раза. Из (5.19) получаем, что при увеличении длины катушки в два раза индуктивность ее уменьшится в два раза 0 — — — — —, а частота собственных колебаний А 10 1 1, 2 Рис.
9.33 352 В момент времени г = 0 сила тока максимальна (1о). При быстром растяжении выполняется (9.30), поэтому сила тока практически скачком увеличивается в два раза. При этом вся энергия колебательного контура находится в катушке. Для отногрения энергий получаем И", А 11 — '= — 'г = 2. "о 1о1о Энергия возрастает в два раза за счет работы сил по растяжению катушки.
В колебательном контуре с малым затуханием одновременно увеличивают емкость конденсатора и самоиидукцию катушки в одно и то же число раз, равное и. Увеличение проводится в произвольный момент за время, малое по сравнению с периодом собственных колебаний контура. Найдем соотношение между амплитудами тока 1, и 1, до и после изменения параметров контура (М 9.40). При быстром изменении индуктивности не изменяется магнитный поток (7.1), поэтому энергия в катушке (7.20) обратно пропорциональна индуктивности фг 'м 2Е' При быстром изменении емкости С не успевает измениться заряд конденсатора д, поэтому энергия (3.67) обратно пропорциональна емкости г 2С Так как индуктивность и емкость меняются в одинаковое число раз, то суммарная энергия И" изменится в такое же число раз.
Максимальные значения тока (амплитуды) определяются полной энергией, поэтому 1,' ))г =го = В~~ = А 2с и и 2с Так как и индуктивность увеличивают в и раз, то 1г ! 23-2073 353 Намагниченная пуля пролетает вдоль оси длинного соленоида, входящего в колебательный контур. Время пролета пулей расстояния, равного диаметру соленоида, мало по сравнению с периодом Т колебаний в контуре. Найдем, при какой скорости а пули амплитуда колебаний тока в контуре максимальна и какова при этом величина тока 1 го считая, что магнитный момент пули р параллелен оси соленоида, длина соленоида 1, площадь поперечного сечения Я, число витков Ю, и пренебрегая сопротивлением контура (М 9.56). Движение пули создает переменный поток магнитного поля через соленоид Ф,. Это в соответствии с (7.1) создает ЭДС, и в цепи идет ток.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
