Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Найдем зависимость заряда конденсатора от времени, если в момент времени г = 0 пластины закорачивают через катушку индуктивностью А (М 9.51). На пластинах происходит разделение зарядов (на +д и — д). Обозначая емкость конденсатора С, находим поле внутри конденсатора Е = Ее+ —. д ЬС' Используя (9.7), получаем в системе Гаусса — Ед" + МЕ = — Ед" + д + ЬЕО = О.
1 „1 Вводя обозначение 2 0) с ЕС и используя начальные условия ~у(0) = ~7'(0) = О, находим д = ЕоЬС(соыаà — 1) = Е03 4а где С= 4яЬ ' При поступлении заряда д он становится Сферу можно рассматривать как конденсатор между ее поверхностью и бесконечностью. Поэтому воспользуемся (9.7) С„д 12 — д + — + — =О. сз Так как в начальный момент и заряд и ток равны нулю, получаем д = Д(1-созгаг), где 2 2 с О) М Для свободных затухающих колебаний из (9.10) получаем д" + 2рд'+ ге'д = О. Введем новую функцию х у = хе е'. (9.15) (9.16) 320 В центре уединенной незаряженной проводящей сферы радиусом Я находится точечный заряд Ц. В некоторый момент г = 0 сферу заземляют через катушку с индуктивностью А длинным и тонким проводом. Пренебрегая активным сопротивлением катушки и сопротивлением провода, найдем зависимость заряда сферы от времени (М 9.52).
На сфере происходит разделение зарядов. При заземлении на нее начинает поступать заряд д. До этого ее потенциал был Подставляя в (9.15) и вводя обозначение =о2о Р 2 2 (9.17) получаем либо д = е И(А з(п о21 + В сох о21). На Рис. 9.5 приведена эта зависимость. Хотя при таких колебаниях нет точного повторения, время Т между прохождениями д через нуль в одном и том же направлении изменения называют периодом затухающих колебаний 2я 2я Т= — = о2 ~ 2 2)1/2 ' (9.20) При малом затухании (Р' « о2,'1 период близок к периоду собственных колебаний (9.13), а с увеличением затухания — растет. При Р > о2о зависимость д(г), как видно из (9.16), (9.17) и (9.18), становится апериодической. Сопротивление, при котором возникает апериодичность, называется критическим.
Оно определяется из условия Р = о2 с помощью (9.8) и (9.9): Я„„= 2( — ) (9.21) Интегрируя (9.18) при о2 = 0 и подставляя в (9.16), получаем 27 = (а + ЬГ)е О'. (9.22) Постоянные интегрирования определяются из начальных условий. Из (9.22) для тока получаем 1 = — « =[Ь вЂ” Р(а+ЬгЦе о'. Т= 2п/в Рис. 9.5 о2-2073 321 х" + о22х = О.
(9.18) Используя (9.! 1) и (9.12), находим х = а соз (о21 + 6). Из (9.16) имеем решение (9.15) с двумя произвольными постоянными, определяемыми из начальных условий а = ае исоа(о21+ б), (9.19) — = (3Ь((3г — 1) е и = О. Это дает Чтобы рассмотреть случаи р > а, введем обозначение = ((3' — ') Тогда из (9.17) и (9.! 8) х = Ае «'+ Вег', а из (9.16) (9.23) д = Ае <а+~к+ Вео ах. (9.24) Постоянные интегрирования А и В определяются из начальных условий. Для характеристики затуханий вводится ряд величин. Время, за которое амплитуда уменьшается в е раз, называется временем релаксании.
Оно равно (9.25) Декрементом затухания называется отношение амплитуд через д(г) период, а логарифмическим декрементом затухания называется у(к+ Т)' (9.26) где Ф, — число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в е раз. Добротностью Д колебательного контура называют величину и а ш иЕ Д= — = — =яФ, = — = —. Л ОТ ' 20 (9.27) 322 Найдем время, за которое ток достигает максимального значения, и это значение, если конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения ЭДС г!; в момент времени г = О замыкается на катушку индуктивностью 1. и сопротивление, равное критическому (9.21) для образовавшегося контура (№ 9.36). При г = О имеем д = а = ЖС, 1= О, Ь = а(3.
Откуда 1= — (3Ьге "'. Время максимума определяем из условия При слабом затухании 13 «ы получаем ез = ш и (Х/С) д (9. 28) Энергию колебаний можно выразить через максимальную энергию в конденсаторе. Тогда () " ч() 2ат И"(г+ Т) ~д(г+ Т)~ При малом затухании потери энергии за период д И И ( г ) И ~ ( г + 2 ) И г ( г ) ( 1 е ~ а г ) ~ ( г ) Отсюда добротность при слабом затухании определяется как а 2лиг ЛИ' (9.29) Ы' + г! = — = Ил, /г + /л + д' = О. Ч Дифференцируя и подставляя, в итоге имеем А1,"+~г+ — )Т~+( — + — )Тг = О.
Вводя обозначения г 1 2 1+г/Я 213= Ь+Ся "0 = ./.С получаем (9.15), в котором 2 1О 2 1О ыа= Р 3'36' Рас. 9.6 323 При измерении добротности Д резонансного контура из параллельно включенных катушки индуктивностью А = 0,1 Гн, сопротивлением г= 30 Ом и конденсатора емкостью С= 30 пФ = 30 1О-'2 Ф поступили следующим образом. Контур подключили к клеммам осциллографа и, включая и выключая ЭДС постоянного тока, наблюдали затухающие колебания в контуре (рис. 9.6). Сравним добротности контура при разомкнутой цепи батареи в случае, когда входное сопротивление Я осциллографа очень велико и когда оно конечно (М 9.29). Используя (9.4) и правила Кирхгофа, получаем уравнения Следовательно, для добротности из (9.27) имеем г.
(1+ /Я)/сс 2б г 1+ Е/гЯС Отношение добротностей 0 1 + Е/гЯС 1+ г/Я Рассмотрим колебательный контур, который содержит катушку с индуктивностью Е и конденсатор емкостью С с утечкой, сопротивление которой равно Я. Пренебрегая активным сопротивлением катушки и прочих проводов, выведем уравнение собственных колебаний контура, найдем собственную частоту колебаний а и логарифмический декремент затухания Х (М 9.35). На рис.
9.7 йриведена схема колебательного контура. Сопротивление утечки параллельно емкости. Из (9.!) — (9.3) и (9.7) /-/с+ С =() С =/яЯ /с =/и+и. Ч Из второго соотношения д' = ЯС/х, из третьего д" = /~ — /л, из первого д" + — + — = О. Д ЯС АС Вводя обозначения В= — «>о = — > г ЯС' ЕС' приходим к стандартному уравнению затухающих свободных колебаний (9.15).
Его решение (9.19). Из (9.26) получаем декремент затухания и(А/С) Я Рис. 9.8 Рис. 9.7 324 Из (9.17) частота колебаний =шо Р =ыо = г г -г г СС Здесь в в соответствии с (9.8) называется частотой собственных колебаний. Изображенная на рис. 9.8 цепь питается источником напряжения У. Найдем, как будут изменяться ток через индуктивность и напряжение на конденсаторе после размыкания ключа.
Составим уравнение для определения момента гп в который энергия, запасенная в конденсаторе, будет иметь наибольшее значение (в частности, при слабом затухании) ()чг 9.38). По правилу Кирхгофа .(1'+ (Я, + Яз) 7+ — = О или Елу" + (Я, + Я,~д'+ — = О. Вводя обозначения я! +Я2 1 2р = г, и гео= — „ ЕС" приходим к уравнению (9.15) для изменения заряда на конденсато- ре, решением которого является (9.19): д = е н(Агйпвг+ Всозаг). Начальные условия Используя их, определяем А и В.
В результате У~ = — = Уе ~созю+ ~ — + — ~з(пои; с )с =7ое ~созвг-~ — +во — )з)пвг . (Р зчо). ~а)о Максимальная энергия в конденсаторе будет при максимальном заряде. При этом ток через индуктивность равен нулю. Это дает ю7о 180)г~ = ба + <аорто 325 Число колебаний У,, за которое их амплитуда уменьшается в е раз, определяется (9.27). Считая, что затухание слабое, найдем, во сколько раз оно изменится, если в два раза уменьшить индуктивность и в два раза увеличить емкость, сохранив неизменным активное сопротивление (Лй 9.33).
Очевидно, что частота собственных колебаний (9.8) при этом не изменится. Из (9.27) Ц ~о А 1 /1.Р~ я иК лЯ (С) Найдем добротность контура с емкостью С и индуктивностью А, если на поддержание в нем незатухающих колебаний, которые можно считать малыми, с амплитудой напряжения на конденсаторе У необходимо подводить среднюю мощность (Ф) (М 9.37). Энергия, содержащаяся в колебательном контуре, равна максимальной энергии на конденсаторе С02/2. В соответствии с (9.13) период колебаний Т= (ЕС) ~ Потери за период равны (1т') Т.
Из (9.29) следует Колебательный контур составлен из конденсатора емкостью С и катушки радиусом а и иидуктивиостью Е, заполненной слабопроводяшим материалом с удельной проводимостью Л и магнитной пронипаемостью р. Пренебрегая сопротивлением проводов и потерями энергии на перемагничивание, найдем добротность колебательного контура (М 9.57). В данном контуре потери энергии связаны не с сопротивлением в нем, а с процессом нагрева вещества внутри катушки, которое не влияет на параметры собственных колебаний, определяемых уравнением (9.11).
Используя его, имеем для собственных колебаний тока и их частоты 2 l = 7 созезг «2 2 С ЕС Потери будут уменьшать амплитуду тока 7,. Они определяются циркулярными токами в веществе внутри катушки, связанными с 326 изменением магнитного поля в ней. Из (5.23) магнитная индукция в катушке В = 4я2'112 —. 7 с7 Из (7.5) имеем 'дв 2ягЕ = — — —.
с д2 Откуда электрическое поле Е(Г) = — — à — = — — — 4К)а'РЕ21О З)ПО27 = 2ЯФ)КОГ1Π—. 11 дВ 11г БШ О)Г 2 с д2 2 с2 Т о = о г р =) Л(Е )аг' = ЦЛ(Е )2кп)г( = о о 72 а 7у2 = 2яЛ1(2я)т')цо) о *) г Ит = тГЛ)Ро2ва 1о— Из (9.29) Д=2я — А =о2Ь 1 (То/с)' 702 2 рТ 2с2р где г = 4я2а2Ж2 Р Т' После подстановки гс' 2 (Ес)"' 2 7 2 На рис. 9.9 показан контур, состоящий из заряженного до до конденсатора емкости С„ незаряженного конденсатора емкостью С, и сопротивления К Опишем процесс разрядки конденсатора С, после замыкания ключа (М 9.2).
В законе Кирхгофа для контура надо учесть, С2 Рае. Я.Я 327 Используя (4.7) и (4.12) для средней мощности джоулевых потерь, получаем что падение напряжения на С противоположно падению напряже- ния на Сг Поэтому — — — + Я вЂ” = О. % чг Ф С, С жг Из сохранения заряда д, + д = д . Исключая из дифференциального уравнения д, и учитывая, что в начальный момент д, = д, получаем ! + (Сз/С~ ) ехр~-(С1 + С2) г/Яс!Сз~~ Ч = Чо 1+ С2/С, При стремлении сопротивления к нулю д, стремится к 1 + С2/С1 К такому же значению стремится и конечное значение д,„при стремлении времени г к бесконечности. Соответственно Чо ! С/С Используя (3.67), получаем энергии конденсаторов. Потери энергии на сопротивлении (на джоулеву теплоту) равны разности начальной и конечной энергий конденсаторов 0 = й 11' = ))'о ()1~1 + %~) = — Чо 1, С,/С, 2 С! +С~ Если задано напряжение У, которое равно д /С, а требуется найти ток ! =-— !я ег (Ха 9.18), то, пользуясь полученной формулой, имеем и, ~ (С,+Сз)Г 7 Оехр Я ~ ЯСсе Используя этот результат, можно прямым расчетом найти количество выделенной в соединительных проводах теплоты, пренебрегая индуктивностью проводов, например для случая С, = С, = С ()хя 9.19).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
