Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 40
Текст из файла (страница 40)
8.22). Вследствие пересечения частицами сходящихся магнитных силовых линий в области неоднородного поля у торца соленоида пучок приобретает однородное вращение. Полагая, что пушка находится вдали от торца соленоида, и не принимая во внимание радиальные скорости электронов, приобретенные при движении в неоднородном магнитном поле, найдем угловую скорость вращения пучка (М 8.38). Перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью частиц, вылетающих из пушки.
В ней из-за движения неоднородной части магнитного поля соленоида происходит изменение потока магнитного поля, и появляется азимутальное электрическое поле. С помощью (5.32) получаем 1НФ Е2яг = — — —. с й Считаем, что это поле заставляет электроны вращаться по окружности постоянного радиуса г. Изменение момента количества движения электрона (масса т, заряд е) связано с моментом сил Ы (тг~ог) е НФ =-еЕг = — —. ~й 2яс ггг Начальный поток Ф„= О, так как пушка находится вдали от соленоида. Ряс. 8.22 287 Конечный поток Ф„= Влгг, где  — магнитное поле соленоида (5.21): В = 4лп-.
! с После интегрирования имеем еВ сгк 2тс ' что в два раза меньше (8.5) — циклотронной частоты еВ ОЭ = —. тс Металлическое кольцо радиусом г и массой т падает в магнитном поле, вертикальная составляющая индукции которого зависит от высоты Ь по закону В(Ь) = Вс(1 — а)г), где а — константа. Плоскость кольца при падении горизонтальна, омическое сопротивление Я. Найдем зависимость скорости его падения от времени г (№ 8.46). Используя (7.1), получаем 8 лг ВВ г с г 7 = — = — — — = лг-Вса —, =Я= сл,г = О сл' где с% сгг Прн таком токе кольцо представляет магнитный диполь с магнитным моментом (5.5) г р = 1л —. с Сила, действующая на диполь в меняющемся по пространству магнитном поле, в соответствии с (1.!1) и (6.21) равна сщ (лг аВс) с Я Уравнение движения кольца в магнитном поле и поле тяжести (8.26) его 'Ъ т8 г (лг аВе) 288 г т — = — (лг аВс) — — т8.
В= ' о! сгл Установившаяся скорость при ускорении, равном нулю: Знак минус соответствует тому, что положительные направления координаты (высоты) и скорости выбраны против силы тяжести (вверх). Интегрируя уравнение движения при условии, что в начальный момент скорость равна нулю, находим и = с„„(1 — е сн), где с2 т = тл 1яс аВ9 ) Короткозамкнутой проволочной рамке в форме квадрата со стороной а, массой т и омическим сопротивлением А, находящейся в магнитном поле, сообщена начальная скорость и, в направлении, перпендикулярном одной из сторон в плоскости рамки.
Вектор магнитной индукции В направлен перпендикулярно плоскости рамки, а величина его линейно изменяется в направлении скорости (х) так, что — = 11. сй Найдем скорость рамки через время г после начала движения (М 8.47). Так как магнитный поток через рамку меняется, возникает ЭДС (18), по рамке течет ток. Используя (7.1), находим 1ВФ а ИВ а ИВ а В=-— =- — — =- — — с=- — Вт с412 сй сЫх с Потери кинетической энергии идут на джоулеву теплоту (4.18) СС С ( 2422 г 2 4 т — -т — = ((à —. Дифференцируя это уравнение, получаем 2 — тс — = и lс —.
4 2 сЯ Откуда й~ 4 2 4В г с Ят Интегрируя, находим а42422') У = 4Ус ЕХР— — ). с Ят 1 9-2022 289 Алюминиевое кольцо, сопротивление которого пренебрежимо мало, надето на сердечник электромагнита и лежит на подставке в верхней части сердечника (рис. 8.23). Магнитный поток, посылаемый сердечником через кольцо, нарастает от нуля до конечного значения Фе = 1О Гс смв. Нарастание потока происходит настолько быстро, что за это время кольцо практически не успевает сместиться.
Найдем высоту Ь, на которую подскочит кольцо, если его масса и = 100 г, а индуктивность Е = 100 см (М 8.62). Изменение потока магнитного поля через кольцо приводит к возникновению в кольце тока 7 и появлению магнитного момента е'Я Р= — е с где 5 — площадь кольца. Благодаря градиенту внешнего поля В.н, (от катушки с сердечником) на кольцо, являющееся магнитным диполем, действует сила типа (1.11) ее е(Ввнеш г =-Р ей Координата х направлена по оси сердечника вверх. Так как поток внешнего поля через кольцо равен Ф,н, = В,„„Я, то для силы получаем 7 ЫФ,„е с е~х Используя (7.1) при быстром нарастании магнитного поля и пренебрежимо малом омическом сопротивлении кольца, получаем сохранение полного потока магнитного поля, который складывается из потоков внешнего поля и собственного поля кольца Ф„„н = Ф,н, + Ф„.
Так как в начальный момент никакого поля не было, то имеем Ф,„еш = — Ф„. Из (5.28) Ф „=Š—, где С вЂ” индуктивность кольца. Таким образом, для силы получаем еш 1 Ф В ~внеш ее внеш Отсюда находим работу, которая создает кинетическую энергию кольца. Так как за время нарастания магнитного поля оно практически не успевает сдвинуться, то 1 Фо А = — — = ле8Ь. С 2 Рве. 8.24 Ряс. 8.23 Начиная двигаться, кольцо быстро уходит из области влияния магнитного поля, и потоками магнитного поля там можно пренебречь. Рассмотрим систему (рис. 8.24), представляющую диск из изолятора, который может свободно вращаться на вертикальной оси и на котором размещены заряды, суммарная величина которых Д = 4 1О-г' Кл, и в его центре вертикально закрепленный длинный сверхпроводящий соленоид (радиусом г = 2 см), замкнутый накоротко, по которому циркулирует ток, создающий в центре соленоида индукцию В = 104 Гс.
Найдем момент импульса (Е), который получит система при разогреве соленоида, прекращении тока и исчезновении магнитного поля (М 8.51). При изменении магнитного потока вокруг него возникает электрическое поле, которое можно найти из циркуляции (5.22) 1НФ Е2пг = — —. с ~й Магнитный поток в основном идет внутри соленоида, а вне его, где расположены заряды, им можно пренебречь.
Момент электрической силы, действующей на заряд д, расположенный на расстоянии г от оси, равен д ИФ 2 НВ/Ж 2ас ~й е 2с Видно, что он не зависит от расстояния г, поэтому для нескольких зарядов просто складывается. Суммарный момент сил изменяет момент количества движения Н, 2 ЫВ/й — = 00~ й 2с Отсюда Е = Дг02 — 1 = 8 1О ' г см2/с. 0 2с 19* 291 С точки зрения механики, кажется, что здесь нарушается закон сохранения импульса.
В действительности до прекращения тока в соленоиде, благодаря наличию электрического и магнитного полей, как будет далее показано, существует поток электромагнитной энергии, определяемый вектором Пойнтинга, и соответствующий ему момент количества движения, который затем при исчезновении магнитного поля сохраняется. Металлический шарик массой т, с зарядом д подвешен на нити длиной Е и вращается вокруг вертикальной оси (конический маятник). Обозначая расстояние шарика от оси вращения г, угловую скорость вращения о2, ускорение в поле тяжести В и отклонение нити от оси вращения а, получаем 2 Г Г о2о — = 18 а = з(п а = —.
А Откуда "=В) Если включить параллельное оси вращения однородное магнитное поле с индукцией В, то на заряженный шарик будет действовать вихревое электрическое поле с напряженностью Е, которая определяется из циркуляции (7.5) Е2пг = --пг —. 1 2ВВ с с12 Сила Г= с)Е. Импульс БЙ = д (то) = -г27 —.
ИВ 2с Для угловой скорости, если В направлено так же, как о2, и сила замедляет вращение, имеем о В а2 = — = О2о Ч г 2тс При противоположном направлении В вращение на столько же ускоряется. Для изменения кинетической энергии в случае одинакового направления поля и угловой скорости получаем уменьшение, а в противоположном случае увеличение ()чо 8.54) на 2 о2 — о2о 2 (о2 о2о)(о2+ ыо) 2 ЧВ сГВ ЛВ' = тг = тг = тг — 12о2о е — !. 2 2 4тс ~ о 2тс! 292 Если задан потенциал У шарика ()чь 8.53), то подставляем В = Б; где г — радиус шарика.
При вращении в постоянном магнитном поле, направленном как ю, сила Лоренца (8.1) уменьшает центростремительную силу. Без магнитного поля для угла отклонения нити имеем 2г г Е2а с Х Откуда 2 В Е2о = Т' При магнитном поле 2 В В 2 '7"2 — = = с2о. тс ! Таким образом, В В Ю Е2о=Ф~ = е —. 2тсе2с 2тс' Постоянный короткий магнит с магнитным моментом, ориентированным вертикально, сначала удерживается над сверхпроводящей плоскостью на расстоянии а = 2 см, а затем отпускается (рис.
8.25). Оценим высоту Ь, на которую он подскочит, если масса магнита т = 15 г, объем )г= 2 см2, намагниченность М = 102 Гс ()ч2 8.57). При оценке энергии взаимодействия магнита со сверх- проводящей плоскостью воспользуемся методом «изображений», т. е. будем рассматривать взаимодействие его с другим, который обеспечивает такие же граничные условия, как на поверхности сверх- проводника.
Для магнитного момента магнита имеем р = )гМ. В дипольном приближении из ~-В 1 (7.11) для нашего случая находим В=2 — ',, (2г) где г — расстояние магнита от сверхпроводя- щей плоскости. В соответствии с (1.10) сила отталкивания 2 У=6 — 4. (2г) (8.27) Рис. 8.25 293 Сила отталкивания и приобретаемая энергия положительны, так как направление диполя «изображения» противоположно диполю магнита. Энергия определяется работой этой силы 4(И'= гак Надо иметь в виду„что такая же работа тратится при перемещении «изображения», фактически расходуясь на изменение токов, текущих по поверхности сверхпроводника. Из закона сохранения энергии после интегрирования следует (»М) (»М) , +т8Ь (2а) (2а + 2Ь) Считая, что в верхнем положении взаимодействие магнита со сверхпроводником мало по сравнению с начальным, находим Ь= =4 см.
(»М) (8тха) Используя полную формулу, получаем 4,166 см, т. е, приближение оправдано. Такой магнит может находиться над сверхпроводящей плоскостью в равновесии или совершать, например, малые гармонические колебания. Используя (8.27), получаем для равновесия на высоте а над сверхпроводящей поверхностью р 3р~ т8=6 4 = —,. (2а)4 8 При малом отклонении х (например, вниз) от равновесия р~ р'(1» 4х/а) тх =т8 — — =т8 — 3 4 8 (а — х) 8а Отсюда получаем (М9 8.56) х" + 48 — = 0; о = 2~8) а а Найдем отношение периодов колебаний двух аналогичных магнитов одинаковой массы, если их магнитные моменты отличаются в 16 раз и оси при колебаниях остаются параллельны сверхпроводяшей плоскости (г(9 8.58). В случае диполя, параллельного сверхпроводяшей поверхности, диполь, соответствующий «изображению», параллелен первому диполю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
