Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 36
Текст из файла (страница 36)
На рис. 8.6 показаны векторы полей и скоростей. Ускорение иона по оси 8 связано с действием электрического поля и ускорением от движения по оси х в магнитном поле, которое (движение) возникает от движения по оси 8 в магнитном поле. Эти скорости иона обозначаем и и иг По оси у никакого движения иона нет. Уравнения движения имеют вид В, В В ти' = -ди —; ти' = -дю — + уи„—. ~с' х с "с Рис. 8.6 258 Дифференцируя первое уравнение по времени и подставляя второе, получаем и" с. соз (и — о) = О, где дВ со = —. те Общее решение и„— о = А сбп сог+ Всоз сос при начальных условиях (г = О) и„= О, и, = О, а из первого дифференциального уравнения и и„' = О дает и„= о(1 — созсог); и, = — осйпсол Учитывая, что в начальный момент х = ~ = О, получаем х = и(г — — сйп сос); в = — (сов сос — 1). 1 .
с, о Из полученных ранее соотношений видно, что максимальное удаление от начальной точки по оси ~ по абсолютной величине равно 2о/со, максимальная скорость и„,„= 2о, а среднее значение (№ 8.87) т (и„) = — ) и„с(г = о. о Для моделирования траектории атомной частицы с зарядом е и импульсом р, движущейся в магнитном поле, часто пользуются тем обстоятельством, что очень легкий (невесомый) гибкий проводник е током 1, находящийся под постоянным механическим натяжением Т, занимает в том же магнитном поле положение, совпадающее с траекторией частицы.
Найдем связь между е, р, 1 и Т, когда частица движется перпендикулярно магнитному полю, предполагая, что вне него участки проводника прямолинейны и расположены вдоль соответствующих прямолинейных же участков траектории (№ 8.! 4). Из (8.6) для радиуса кривизны траектории частицы в магнитном поле полу- чаем Я= еВ На проводник с током действует сила Ампера (7.4). Сила на единицу длины Г= —. с 259 Используя рис.
7.24, находим для силы натяжения (на рисунке она обозначена 7') Т = Л~п где Я вЂ” радиус кривизны провода. Для совпадения его с радиусом кривизны траектории частицы должно быть 7р = е Т. Если задана энергия частицы, то пользуемся связью (№ 8.15) Рис. 8.7 2т На рис. 8.7 показана схема масс-селектора, т. е, прибора, предназначенного для разделения атомных частиц разных масс, состоящего из цилиндрического конденсатора с внутренним радиусом г, = 2,4 см и внешним г = 3 см. Ионные лучи (частицы) попадают в селектор через узкую щель 5, расположенную посередине между обкладками.
Параллельно оси конденсатора (т. е. перпендикулярно к плоскости чертежа) приложено однородное магнитное поле с индукцией В = 2000 Гс. Найдем, какую по величине и знаку разность потенциалов надо приложить к пластинам конденсатора, чтобы однократно заряженный положительный ион 'Ы, имеющий энергию И'= 1000 эВ, прошел по средней линии конденсатора, т. е, по окружности радиусом г = 2,7 см, а также напряженность электрического поля на этой окружности (№ 8.16). Масса иона равна примерно семи массам нуклонов (протонов или нейтронов) т = 7 1,67 1О 24 г. Чтобы ион двигался по окружности радиусом г, на него должна действовать сила 2 В=в г (см. 1, с.
14; 45). Используя связь заданной энергии со скоростью находим скорость в = 1,65 1О' см/с. Необходимая сила равна )г = 11,7 !0 и дн. Поэтому из (8.1) для магнитной силы получаем Р'„ = 5,12 1О и дн, Необходимо добавить еще электрическое поле цилиндрического конденсатора Е = " = 412 В/см. à — Р'„ е Обозначив заряд на внутренней цилиндрической обкладке д, из (1.12) находим Е = 2д/к Для обеспечения движения положительных 260 ионов по окружности поле должно быть направлено к внутренней поверхности конденсатора. Она должна иметь отрицательный заряд (отрицательный потенциал). Для вычисления разности потенциалов воспользуемся уравнением (2.6) (7 2ч!и "2 Для напряженности поля на средней линии получаем Е= Г !П (Г2/Г1 ) Откуда находим У = Ег !п1 ~ ) = 248 В.
(г1 Г' Для разделения изотопов можно обойтись и одним магнитным полем. В установке для разделения изотопов 22Ч3 и 2~ЧУ пучок однократно ионизованных ускоренных ионов урана с энергией Вг= 5 кэВ попадает от источника через щель о (рис. 8.8) в однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости рисунка. В магнитном поле ионы разных масс движутся по различным окружностям и, совершив полуоборот, попадают в приемники.
Конструкция последних должна быть такова, чтобы расстояние между пучками 2н() и 2~ЧУ на выходе была меньше 8 = 5 мм. Найдем, каково должно быть магнитное поле В, удовлетворяющее этому условию, и время 6 необходимое для полного разделения 2и = 1 кг природного урана, если ионный ток, создаваемый источником, )'= 5 мА. Массы протона и нейтрона считаем одинаковыми и равными т„= 1,67 1б -м г ()ч2 8.17). Используя выражение для скорости через энергию и (8.6), получаем ~ И, ~ 1/2 8<2(Л2-Я,) =2.Р"')' ", !т ед где т = 235т; Лт = (238 — 235)т = 3т .
Откуда Р Р Р' 2!1,11/2 !и е8 Для тока имеем аг Ву ГМ! Гг 1= — =е — =е —, 422 422 Ат г где А — атомное число (=235). 261 Интегрируя, находим М = 1Ат„— в о.-.в в в о Отсюда г = 2,5 г. Сепаратор частиц может быть устроен так, как показано на рис. 8.9. На вход цилиндри- 1 ческого конденсатора с радиусами г, и г попа- Р .89 дают ионы разных масс и, двигаясь по окруж- ности, попадают затем в магнитное поле В. Найдем отношение т/д массы иона к его заряду, если он прошел сепаратор при напряжении К а радиус его траектории в магнитном поле равен г, ()Ча 8.18). Из (1.16) напряженность электрического поля в цилиндрическом конденсаторе с зарядом на единицу длины т равна Е = 2х/к Из (2.6) для разности потенциалов получаем У = 2)11п — ' Уравнение движения частицы по окружности в конденсаторе 2 т — =2д —, х г г а в магнитном поле с В т — = дс —.
Гт с Используя все приведенные соотношения, получаем 2В2 ( 2/ 1) В ускорителях заряженных частиц индукция В магнитного поля, направленная вдоль оси симметрии, изменяется вблизи равновесной орбиты по закону В= —,, Г где г — радиус круговой орбиты; л — характерный показатель; а— постоянная величина.
Найдем, при каком его значении обеспечивается не только круговое движение на равновесной орбите, но и ра- 262 диальиая устойчивость ее (М 8.23). Используя (8.1) и (8.6) для ско- рости, магнитного поля и силы на равновесной орбите, получаем еооВО ° а'а' 2л-1 стг( о ОВОго . "о = тс а ВО Гол ' Если с той же скоростью частица переходит на орбиту радиусом г„то аиоВ, а а гм = стг( )г о а в,= —; ги ' ! Таким образом, для равновесия на новой орбите 2 2 а а стг( ! а при сходе с нее 2 2 Во~ = стг( 1гл о 1 1 (л-0 (и-0 ) го г1 Чтобы это выполнялось, должно быть и — 1 < О, т.
е. и < 1. Для устойчивости орбиты при уменьшении радиуса Р;, < Г, и получаем то же самое соотношение. Один из ранних методов определения отношения заряда к массе е/т для электрона состоял в следующем. Электроны, вырванные из алюминиевого диска А, ускорялись разностью потенциалов К приложенной между А и щелью Я (рис. 8.10). Пройдя через щель 5, электронный пучок попадал в однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости рисунка.
Вся система помещалась в вакуум. Изменяя величину магнитного поля, доби- Рвс. 8.10 2оз Для устойчивости орбиты при увеличении радиуса эта величина должна быть больше равновесной вались того, чтобы ток на коллекторе С, регистрируемый гальванометром Г, был максимален. Измерив магнитное поле В в этот момент„можно вычислить е/т. Найдем е/т, зная длину хорды 5С = 1 и ее угол с начальным направлением скорости а (№ 8.19). Из сохранения энергии имеем Р еУ =т —.
2 Из (8.6) 0 « = тс —. еВ Из треугольника ОЮС ! г= 241па' В результате находим е з1п а . г В212 В ускорителе прямого действия протон движется в практически однородном электрическом поле внутри вакуумной трубки (ускоряется от пренебрежимо малой энергии до энергии И'= 4 МэВ). Оценим допустимое однородное внешнее магнитное поле в зоне такого ускорителя, чтобы на длине трубки 1 = 2 м отклонение протонов от осевой линии было меньше Ь = 1 см (№ 8.20). При такой энергии можно пользоваться нерелятивистскими соотношениями. При малых углах отклонения можно считать, что сила Лоренца и вызываемая ею скорость и, перпендикулярны к горизонтальной составляющей скорости и„, йриобретаемой за счет электрического поля. Для продольного движения имеем сЬ„ т —" = дЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
