Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 33
Текст из файла (страница 33)
7.19, то они притягиваются друг к другу, как витки в соленоиде вдали от концов, с силой Г(7.21). Таким образом, по известной силе притяжения можно найти индуктивность соленоидов (М 7.56). Рассмотрим две небольшие одинаковые катушки (число витков Ф, плошадь витков В), расположенные так, что их оси лежат на одной прямой (рис. 7.20) на расстоянии 1, значительно превышающем их линейные размеры. Найдем, с какой силой взаимодействуют катушки, когда по ним течет одинаковый ток 7, и чему равен коэффициент взаимоиндукции М ()ч2 7.57). Сила взаимодействия катушек равна силе взаимодействия диполей (1.10).
С учетом момента витка р (5.5) и числа витков 2 12 У21У2 Г=-б 4 24 Используя (5.31), (5.27) и (7.11), получаем МГ 2ьу Ф с '" с1~ отсюда находим М. Ряс. 7.20 Рвс. 7.19 236 На рис. 7.21 показан длинный прямой провод, по которому течет ток 1, и квадратная рамка со стороной а, лежащая в плоскости, проходящей через провод на расстоянии Ь.
По рамке течет ток 1. Найдем, какую работу нужно совершить, чтобы прямой провод передвинуть в положение, указанное на рисунке пунктирной линией (№ 7.44). ВводЯ взаимнУю индУктивность Рвс. 7.21 рамки и провода (М), в соответствии с (5.28) можем записать поток магнитного поля от рамки через провод Ф„= М17/с. После перемещения провода в положение, обозначенное на рисунке пунктиром, поток изменит знак на противоположный. Следовательно, изменение потока равно 2Ф, . Для нахождения взаимной индукции вычислим магнитный поток от провода через рамку: ааа с а с г с 1 Ь)' Здесь использована теорема взаимности (5.30) и (5.2). Поэтому М = 2а!в~1+ — ).
Из (7.19) получаем работу А = 2а — 77,17 1п~1+ — ). Найдем силу, с которой втягивается в соленоид с полем В длинный цилиндрический стержень с магнитной проницаемостью Ьь и плошадью поперечного сечения Х Стержень расположен на оси соленоида таким образом, что один его конец находится внутри, а другой — вне соленоида. Магнитное поле соленоида вблизи первого конца можно считать однородным, вблизи второго (вне соленоида)— равным нулю (№ 7.58). Воспользуемся формулой (7.12) для давления магнитного поля.
На торце стержня внутри соленоида давление меняется скачком. Внутри стержня давление В2 Р~ = 8а ' а вне яз Рз = —. 8я 237 Учитывая, что в случае магнитного поля давление является натяжением (витки притягиваются друг к другу), а на внешнем конце стержня нет сил, получаем силу втягивания стержня в соленоид (7.22) Если известна сила втягивания стержня в соленоид, в котором течет ток /, можно найти коэффициент самоиндукции 2, соленоида (без сердечника) при известной длине 1(Мо 7.59). Используя (7.21) и (7.22), находим В случае длинного соленоида (и витков), намотанного на тонкостенный капилляр, погруженный одним концом в парамагвитиую жидкость с плотностью р и магнитной проницаемостью и, найдем, насколько изменится уровень жидкости в капилляре, если по соленоиду пропустить ток 1(М 7.60). Обозначая изменение уровня (высоту подъема жидкости) Ь из (7.22), (5.23) и (6.8), получаем Ь=2я7 п —, г 2Н-1 ярк Если в соленоид, по которому течет ток, вставлен тонкий стержень из магнитного материала, то для вычисления сил, действующих на стержень, надо пользоваться условием сохранения касательной составляющей напряженности магнитного поля на боковой поверхности стержня: Н = Н, = Н.
В таком случае для стержня плошадью сечения 5 получаем из (7.12) силу втягивания стержня = ~а-Э По заданному току в соленоиде (7) и плотности намотки и (витков/см) с помощью (5.23) находим Н = 4ял-. 7 с По заданной кривой намагничивания стержня М = М„„1-ехр— 238 и (6.6) получаем (Мс 7.77) Г = — ХНЫ„„1 — ехр— Если длинный сверхвроводящий цилиндр (из сверхпроводника 1-го рода) внесен в постоянное однородное магнитное поле с индукцией В, направленное параллельно оси цилиндра, то поле в сверх- проводник не проникает, а создает давление на его поверхность, определяемое (7.12).
Предполагая, что для окружающей сверхпроводник среды Н = В, получаем давление (М 7.82) д2 Р= 8х Для определения сил в магнитном поле существует энергетический метод. Рассмотрим его на примере системы, состоящей из двух контуров с токами 1, и 1,. В соответствии с (7.20) магнитная энергия такой системы может быть представлена в виде (7.23) 2 с где Ф, и Ф, — полные магнитные потоки, пронизывающие контуры 1 и 2 соответственно (индукции контуров А, и 1,2, взаимная индукция 1'~2 — 12!). Ф 121~ 122~2. Ф 12~2+ 12А (7.24) с Работа ЬА, которую совершают ЭДС, включенные в контуры, идет на теплоту 89 приращение магнитной энергии системы 21И'(из-за движения контуров или изменения токов в них) и механическую работу ЬА„,„(вследствие перемещения или деформации контуров): ЬА = 80 + с1И'+ ЬА„,„.
(7.25) Предполагая, что емкость и сопротивления контуров пренебрежимо малы, электрическую энергию учитывать не будем. Принимаем во внимание только работу ЬАи, которая совершается против ЭДС индукции и самоиндукции: и (си! с1) 1 (уи2 с2) 2 Учитывая (7.1), т. е. Ж +Ь' =-— ЫФ и с 12 239 получаем 8А„= 1,г/Ф, + 14(Ф . (7.26) Эта работа идет на приращение магнитной энергии и механическую работу 1,4/Ф, + 122(Ф2 = ЫИ'+ ЬА„,„. Из этой формулы получаем в случае постоянных потоков (7.27) 8А„,„= — 4(И' .
(7.28) Если токи постоянны, то, используя (7.23) и (7.27), находим (7.29) В, = 4я/'т' = 4пЮ вЂ” " = а 1/22+ 1/а с с+1 Е+/ Из (7.12) и (6.8) получаем ь+! 2 Я И; =ВЯ вЂ” =ар 8аи 8а(С+!) При отсутствии пластинки В =04 <В,; 22 1+ иг 2 ~1 2 ~1 2 И/2 В2 +В2 а 12 < И~,. 8аи 8а 8я(1 + в/) В случае постоянного тока надо воспользоваться (7.29), учитывая, что внешняя работа 8А, =-8А =-(И =-(И -И )= ' В'/(~") 240 8А„,„= 4(И'г На рис. 7.22 изображен электромагнит, в сердечнике которого имеется малый зазор 1, в который помещена пластинка из того же материала, что и материал сердечника.
Найдем, какую работу нужно совершить против магнитных сил, чтобы удалить пластинку из зазора. Длина сердечника равна 1„сечение всюду одинаково и равно Ю, магнитная проницаемость р» 1. Обмотка электромагнита имеет /т' витков, по которым течет ток 1 Рассеянием магнитного потока пренебрегаем (М 7.61). При наличии в зазоре пластинки из (5.6) находим Рве. 7.22 При )4» 1 и Е» / имеем Рис. 7.23 2яЯ вЂ” + 2хВ = 4я/ —.
В У Н Отсюда имеем В =2в Я/а+ х/я Используя (7. ! 2) и (6.8), получаем для магнитной энергии системы 2 (с) Я/в+ х/а Так как ток постоянный, пользуемся (7.29). Поэтому 8А„,„= Жх = 1/И~. Откуда сила (притяжения) 1/!Ь' 7 1 %2г2 г= — '=-Ы ~/х ~ с ~ (Л/а + х/а) (7.30) При х= 0 1В-2073 2я11 Ю / о/ ~~2(2+ ~/) На рис. 7.23 показана катушка, имеюшая /У витков и намотанная на железный тороидальный сердечник с магнитной проницаемостью и. Радиус тора Я, радиус сердечника г к Я. Тор разрезан на две половины, раздвинутые так, что образовался воздушный зазор х. Найдем силу притяжения между половинками тора, если в обмотке течет ток /, в том числе и при х = 0 (М 7.62). Из (5.6) и (6.8) Найдем разрывающее усилие в сверхпроводящем кольце радиусом Я из цилиндрической проволоки радиусом г (г «Я), по которому течет ток 1 Индуктивность кольца (Хз 7.70) 2=2 Я[! ( — ) — 2].
Для магнитной энергии кольца из (7.21) имеем И -ггг, -2 — Е[!.('")-2]. Для небольшого угла а (рис. 7.24) имеем И; = ~Я[! ( — ) — 2]. При постоянном токе из (7.30) находим силу в направлении изменения радиуса кольца Используя рис. 7.24, где введена сила /; разрывающая кольцо, получаем связь Поэтому, используя предыдущее выражение, имеем !' [,„(22) г] Найдем, как изменится подъемная сила электромагнита, изображенного на рис.
7.25, если его нижнюю подкову изготовить из материала с /2 а/2 Рис. 7.25 Рис. 7.24 242 магнитной проницаемостью р,, отличной от магнитной проницаемости верхней подковы р, (р и р,) (№ 7.63). Из (5.6) и (6.8) имеем ВлЯ~ — + — )+ В2х = 4я/ —, Г1 1~ У (,р~ рг ) где х — величина возможного зазора между подковами. Отсюда В=4к— Ф с кЯ(1/р1 + 1/рг) + 2х' Из (7.12) и (6.8) И" = Вг к — + — + 2х — = 2к1/ — ~ )8к ~ с! кд(1/р, +1/рг)+2х' Используя (7.30), получаем (7Л1/с)' [лд(1/р1 + 1/рг ) + 2х| При х = 0 находим (ЛЧ/с)' Г =-4я г ("8(1/р~ + 1/рг)] Отношение сил: Р, при р, = р, Г при р, и р Р~ 4 (1+ р1/рг) Аналогичным образом можно рассмотреть другие конфигурации электромагнитов (№ 7.64).
С помощью чувствительных весов измеряется сила Г,(х), втягивающая парамагиитиый образец в сверхпроводящую короткозамкнутую катушку в зависимости от его положения (х) (рис. 7.26). Известно, что при х = 0 индуктивность катушки равна У,, а по ее виткам течет некоторый ток /г Найдем, какую зависимость гг(х) следует ожидать, если катушку перевести в нормальное состояние и по ее виткам пропускать ток /г от внешнего источника (№ 7.78). Рис.
7.26 243 Для сверхпроводящей катушки из (7.1) и (5.28) имеем сохранение потока магнитного поля Ф=1,— =1 —. с с Из (7.28) и (7.20) У; (х) = -( — ) = +) —. При известной Г,(х) можем вычислить Отсюда 1.(х) = 1 — 2с /1~ 1е ) Р~ (х) ех о Для катушки в нормальном состоянии из (7.29) н (7.20) При 1, = 1 Гз(х) > Р;(х) (х > О). Внутри длинной катушки-солеиоида с плотностью намотки витков и расположена небольшая катушка с площадью витков Ю и полным числом витков )т'. Ось малой катушки ориентирована под углом 0 по отношению к оси соленоида.
Катушки включены последовательно, и по ним течет ток 1. Найдем момент сил, действующих на малую катушку (М 7.79). Используя (5.23), для зацепленного потока через малую катушку получаем Ч' = УВБ = ФВЯ созв = 4яФл — Я созй = 4яФпсозй — = Е„~ —. 1 1 1 с с с Отсюда взаимная индукция 1,„= 4ялЯМсоз О. Полная индукция системы 1,„„„= Е, + Е, + 2С, = А, + Е + 8ялМЯсоз О. Используя (7.20), можем написать полную магнитную энергию системы или ее часть, связанную с взаимодействием катушек и зависящую от 0: г 1 ~2 И~ = 8ялФЯ~ — ) соз0. с Такое же выражение получим, если, считая магнитный момент малой катушки р„= дг — я, 7 будем вычислять энергию, по аналогии с (2.32), как скалярное произведение И' = — р„В.
(7.31) Обозначая момент сил М н используя (7.29), имеем ЬА = г)(х = МН0 = с(Игг Откуда находим Г7~~ М =-4ялйэ( — ) яп0. с Малая катушка стремится развернуться, чтобы ее магнитный момент (ее поле) был направлен по полю катушки-соленоида. Найдем, на какой высоте Ь постоянный магнитик с магнитным моментом р и массой т, который можно считать магнитным диполем, будет парить в горизонтальном положении над плоской горизонтальной поверхностью сверхпроводника 1-го рода (г(о 7.83). Условие на границе сверхпроводника — отсутствие проникновения в него магнитного поля, можно обеспечить с помошью метода зеркальных изображений.
Если симметрично относительно его границы расположить такой же диполь как заданный, то на границе магнитное поле будет иметь только компоненту касательную к поверхности. Расстояние между диполями найдем из равенства силы отталкивания между диполями весу магнитика. Силу отталкивания определяем из магнитной энергии взаимодействия диполей. Один диполь создает поле, определяемое (7.11), а второй, находясь в этом поле, в соответствии с (7.31) обладает энергией И'= -рВ.
Поэтому, используя (7Л1), получаем дн" д(рй) рд) Зг(рг)/г~ — р/г~ ) д. д. д. Так как г в данном случае перпендикулярно р, то находим рд(-р/г ) Зр~ Зр~ Г= = — = — = ш8. дг 4 1644 Отсюда находим Ь. Отметим, что такое же выражение для силы получено в (1.10) и (6.23). 245 Шарик из сверхпроводника можно подвесить на магнитной подушке. Оценим его максимальный размер (Я), если известны плотность р, критическое магнитное поле (В) и такое изменение поля с расстоянием, что на тыльной стороне шарика давлением магнитного поля можно пренебречь.
Используя (7.12), можем написать уравнение равновесия сил пЯВ 4 =Р— пЯ 8. 8х 3 Отсюда находим максимальный радиус (Хо 7.74): ЗВ 32прх Если магнитный компас, стрелка которого может вращаться в горизонтальной плоскости, находится рядом с вертикальной сверх- проводящей плоскостью, то, предполагая, что внешнее магнитное поле отсутствует, действующие на стрелку силы можно найти, используя метод зеркальных изображений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
