Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 42
Текст из файла (страница 42)
аВ связ 2хс Интегрируя по объему единицы длины цилиндра, имеем Ч =)р,,ле = -(е — 1НвВ) Поверхностная плотность связанных зарядов на внутренней и внешней поверхности цилиндра: ом.„, = -(е-1НвВ)4, ог,, = (е — 1)(аВ) 4 Диэлектрическая жидкость проницаемостью е протекает между пластинами плоского конденсатора (расстояние между пластинами равно!) со скоростью и «с. Перпендикулярно направлению движения жидкости и параллельно обкладкам конденсатора приложено однородное постоянное магнитное поле В.
Найдем напряжение У между обкладками конденсатора и поверхностную плотность зарядов диэлектрика о (М~ 8.71). В системе отсчета, связанной с конденсатором, задано поле В, а электрическое поле вне конденсатора Е = О. В системе отсчета, связанной с движущейся жидкостью, в соответствии с (8.4) и (8.3) магнитное поле не меняется, а электрическое поле вне конденсатора Е' = Е+ — [тВ1 = — [тВ).
с с При отсутствии свободных зарядов на границе диэлектрика из (3.7) имеем непрерывность электрической индукции Р' = Е' = Р" = еЕ". Таким образом, в системе отсчета, связанной с диэлектрической жидкостью, имеем для напряженности электрического поля Е" = —. ес Переходя обратно в систему отсчета, связанную с конденсатором, получаем внутри диэлектрика Е = Е" — — = [тВ) —. с ес Из (2.6) для разности потенциалов находим и = -[тВ) — ''. ЕС Из (3.8) зо~ а из (3.3) !о! = Р„= !(тВ]! —.
Диэлектрическая незаряженная пластина с проницаемостью е = 3 движется между обкладками плоского конденсатора со скоростью а = 1 м/с. Перпендикулярно направлению движения пластины и параллельно обкладкам конденсатора приложено однородное постоянное магнитное поле В = 1,5 Тл. Найдем поверхностную плотность зарядов на обкладках конденсатора и поверхностную плотность поляризационных зарядов диэлектрика, если к конденсатору приложена разность потенциалов (/= 1 В.
Расстояние между пластинами конденсатора Ь = 2 см и равно толщине пластины диэлектрика (М 8.84). Разность потенциалов создает внешнее поле внутри конденсатора Е = (//Ь. В системе отсчета, связанной с движущимся диэлектриком, получаем из (8.3) Е' = Е+ —. с Знак зависит от направления магнитного поля. Для вектора поляри- зации из (3.2) и (3.9) имеем Р = (е-1) —. 4я Отсюда поверхностная плотность поляризационных зарядов в соот- ветствии с (3.3) (, и/ь+.в/.
с 4 При знаке плюс это равно 0,91 10 з Кл/мз, при знаке минус— 0,8б 10-з Кл/м'. Для плотности свободных зарядов на обкладках конденсатора из (3.7) и (3.8) получаем 0 о= —, 4я' где Р = Е+ 4яР = еЕ+(е — 1) —. с При знаке плюс плотность зарядов — 1,33 10 а Кл/мз, при знаке минус — 1,3 1О з Кл/м'. На рис. 8.30 показан вертикально расположенный цилиндрический конденсатор (радиус наружного цилиндра Я, внутреннего — г, 302 высота Ь, масса внутренней обкладки т, г к Ь) с зарядом Д. Найдем период малых колебаний внутренней обкладки в поле тяжести (Хо 8.77).
Из формулы (3.57) для емкости цилиндрического конденсатора в случае сдвигания внутренней обкладки на расстояние х получаем 1 Ь вЂ” х 2 1п(Я/г) Из (3.67) для энергии конденсатора имеем Р .830 1 (7~ 2 С(х) Для силы, действующей в направлении х, имеем (8.30) Дифференцируя и подставляя это в уравнение движения, получаем "=е (Ь вЂ” х) Положение равновесия х, (при х" = О) определяется из соотнощения 1п(Я/г) тя=Д (" о) При колебаниях будут происходить малые смещения (у) внутренней обкладки относительно положения равновесия х = хе + у. Подставляя это в уравнение колебаний и разлагая по малому параметру, получаем щу-+2(1г ( / ) у (Ь вЂ” хе)з Отсюда период малых колебаний т-2 а 1а(Я/ ) зоз Одна из пластин конденсатора жестко закреплена, а вторая, имеющая массу лг, связана с пружиной жесткостью 1о (рис.
8.31). Расстояние между пластинами при ненагруженной пружине равно 1. При подключении к конденсатору батареи в новом положении равновесия расстояние между пластинами Ряс. 8.31 !о. — 5 о. Найдем период малых колебаний пластины (Хо 8.79). Силу взаимодействия между пластинами найдем из закона сохранения энергии: работа батареи (3.77) равна сумме механической работы и изменению энергии конденсатора Ыд = г!И'+ Ых. При подключении к батарее напряжение на конденсаторе У не меняется.
Так как емкость плоского конденсатора у Ю У 4агг ' а энергия си' 2 то о!г! = (!г!С, и при постоянном напряжении на конденсаторе Р цг1С (!г ~ йЬ Ых 8яаг йс Считая отклонения от равновесия (х) при колебаниях малыми, получаем уравнение колебаний лгх" = -!с(!о — !+ х)+1У г 8 я(1 — х) Из условия равновесия г !о(!о !). 8я!г Используя это, малость х и связь ! и 1, получаем уравнение колебаний х" + — х = О. 2т 304 Откуда находим период колебаний Т=2я( — ) Электрический заряд Д равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом Я (рис.
8.32). Рис. 8.32 Точечный диполь массой гл с дипольным моментом р может перемещаться вдоль оси кольца (ось х), перпендикулярно его плоскости, причем дипольный момент диполя параллелен оси кольца, а сила тяжести отсутствует. В начальный момент времени диполь находится в центре кольца и имеет нулевую скорость. Найдем: 1) максимальную скорость о,„диполя при его движении вдоль оси кольца; 2) положение равновесия хе диполя; 3) период малых колебаний диполя около положения равновесия (М 8.78). Распределение потенциала вдоль оси кольца 0 40 = (дг + хг) ~/г ' В соответствии с (2.6) или (2.8) Е(х) = — — ~ = 4/х ( г г)2/г' Используя (1.11), для силы, действующей на диполь, получаем 4/Е йг - 2хг Г=Р— =Р0 /х ( г хг)'/2 В положении равновесия сила равна нулю.
Поэтому Я хО + 21/2 ' Вводя малое отклонение у от положения равновесия х = хе + у, получаем уравнение колебаний У +16РЯ 4 5/г = О. д4 35/2 305 20-2073 Откуда для периода колебаний находим 1/2 7 1 5/4 ~2 (ра)" ' Для вычисления максимальной скорости воспользуемся тем, что работа силы ЫА = Р)2х = рдЕ. Сила разгоняет диполь от начального положения х = 0 до положения равновесия Я хО 2Ч2 ' Следовательно, А = т — '" = рЕ(х0) = 2р —. 32/2 д2 ' Отсюда находим максимальную скорость. Найдем период малых крутильных колебаний магнитного бруска (Ю = 1 мм2, ! = 10 см), подвешенного горизонтально на неупругом подвесе в магнитном поле Земли (горизонтальная составляющая В = 0,2 Гс).
Плотность стали р = 7,8 г/см', остаточная индукция В = 1О кГс ()4!0 8.73). Момент инерции бруска относительно оси вращения (см. 1, с. 191) .! = рЯ вЂ”. ! 12 Магнитный момент бруска в соответствии с (6.6) Р-МЯ- 4 (8.31) В соответствии с (7.8) в магнитном поле Земли создается возвращающий момент сил ВОВЯ40/4п. Уравнение колебаний бруска Водо!02 Х4Р" + 4в (8.32) Отсюда период колебаний Т=2п! Два одинаковых железных бруска плошадью сечения В = 0,1 см' и длиной ! = 5 см имеют остаточную магнитную индукцию В = 12 560 Гс. Бруски расположены на одной прямой на расстоянии Е = 1 м.
Один 306 брусок закреплен неподвижно, а другой может свободно вращаться вокруг оси 00', проходящей через его середи- С:: 3 ну и параллельной магнитному полю Земли Во (рис. 8.33). Найдем период Т о малых крутильных колебаний бруска. Рис. 8.33 Плотность железа р = 7,8 г/см' (Хо 8.74). Магнитные моменты брусков можно вычислить по (8.31), а поле, которое они создают на расстоянии /., — по (7.11). Поле Земли возвращающего момента не создает. Момент со стороны закрепленного бруска равен 25з!~В~у/(16я~/~). Уравнение колебаний 25~1~ В~<р 1б„~,э После подстановки /, как в предшествующей задаче, получаем 7, 2 ~/(2РИ/ЗЯ) В Если бы бруски были перпендикулярны линии их соединяющей ()Чь 8.75), то изменился бы коэффициент (вместо двойки единица) в выражении для магнитного поля, определяемого по (7.11). В результате некоторого космического события образовалась система, состоящая из звезды (масса М, магнитный момент р,) и планеты (масса т чс М, магнитный момент р).
Планета движется по круговой орбите радиусом Я. Найдем возможный разброс величины периода обращения в зависимости от ориентации магнитных моментов, считая плоскость орбиты, перпендикулярной магнитному моменту звезды р (М 8.72). Из (7.11) получаем лля поля звезды В=- —. Р ,.э ' Используя (1.11), для силы магнитного взаимодействия звезды и планеты получаем отталкивание при одинаковом направлении магнитных моментов и притяжение при противоположном направлении с силой Зр р/Я4. Эта сила складывается с гравитационной.
Для движения по окружности имеем а М р 2 т — =те — + р —. Д Д2 — О .$. Учитывая, что период обращения Т=2я —, Я 20' ЗО7 получаем 2ят !/2 <Т< !/о (тт М(Яз + Ро Р(Яо) /1ттМIЯз Ро Р(Яо) Разброс периодов бялоР т(тМ)/ Я/ По двум горизонтальным параллельным проводам, находящимся на расстоянии 2а = 1 см друг от друга, текут одинаковые по величине, но противоположные по направлению токи силой 1= 1О' А. Точно посередине между проводами находится шарик с диамагнитной восприимчивостью )( = — 1О о и плотностью р =2,0 г/см'. Найдем период малых колебаний шарика в горизонтальной плоскости, считая, что вертикальное движение шарика отсутствует и трения при его движении нет (М 8.61).
Используя (5.2), для магнитного поля в точке, отстоящей от средней, между проводами на х, получаем Н= — 1~ + 2 / 1 1 ~ 4 !а 41/ х ! ) =с ~а+х а — х) са~ — хо=са~ а~) Шарик получает дипольный момент р = !)((НК где Р— объем шарика. Поскольку это диамагнетик, он будет выталкиваться в направлении уменьшения поля, т. е. к средней точке между проводами. Для вычисления силы можно воспользоваться (1.11). Уравнение колебаний шарика Рих" +Ми~ — о~ 2 — о =О. / 4/'! х са а Отсюда находим период колебаний !/2 Т = — яс— Электрический диполь движется в однородном магнитном поле со скоростью т, перпендикулярной В.
Дипольный момент р составляет малый угол с направлением !тВ) (рис. 8.34). Найдем угловую частоту малых колебаний диполя оо, считая известными его момент инерции Л, скорость т, дипольный момент р и индукцию поля В (Мо 8.43). Сила Лоренца (8.1), действующая на каждый из юа зарядов диполя, будет создавать момент, стремяшийся уменьшить отклонения диполя от направления [тВ1.
Для малых углов отклоне- ния а имеем уравнение вращательных колебаний Уа" + ри — = О. с Отсюда находим угловую частоту колебаний 2 В ы =ср —. сУ Плоский воздушный конденсатор помещен в горизонтальном положении между круглыми горизонтальными наконечниками электромагнита (рис. 8.35). Между обкладками конденсатора в однородном электрическом поле Е на расстоянии Я от оси полюсных наконечников неподвижно висит заряженная масляная капля с зарядом д. В обмотке включают ток, и магнитное поле доводят до постоянной величины В.
Предполагая, что за время нарастания магнитного поля смешение капли пренебрежимо мало, найдем ее скорость с и траекторию движения после включения магнитного поля (№ 8.44). Для вихревого электрического поля из (7.5) имеем Е 2яЯ = — — яЯ вЂ”. 1 зИВ В с ( ~ ) (8.33) Для скорости в направлении этого поля получаем Ыс 11 ИВ т — = — — дЯ вЂ”. 41 2 с с1 (8.34) Откуда для этой скорости с учетом нулевых начальных значений получаем и = дЯ вЂ” = Я —.
В 2тс 2сЕ (8.35) ° ° Рис. 8.35 Рис. 8.34 309 Здесь введено поле конденсатора Е из связи тя = ВЕ. При такой скорости из (8.6) находим радиус кривизны траектории а г = тс — = —. ВВ 2 Электрический заряд д равномерно распределен по твердому непроводящему тонкому кольцу массой т. Кольцо может свободно вращаться вокруг своего (закрепленного) центра. Вначале оно покоится, а магнитное поле равно нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
