Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 61
Текст из файла (страница 61)
При уменьшении периода и увеличении частоты целое значение ш,/й получаем для й, = 70 с ' при и = 5. Для амплитуды имеем 2и, А 5л Отношение амплитуд А 7 А7 5' В схеме, изображенной на рис. ! 1.38, ключ К периодически замыкает н размыкает цепь на равные промежутки времени (круговая частота переключений й = 2л/Т = 100 с '), и в колебательном контуре возникают колебания. Контур настроен на частоту в = 500 с ', напряжение источника постоянного тока Ф = 1 В, добротность контура О = 50. 1) Определим амплитуду 1' вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе.
2) При каком значении й = й, наступит ближайший резонанс и какова при этом будет амплитуда $~с' колебаний напряжения на конденсаторе, если частоту переключений ь4 начинают плавно увеличивать, оставляя параметры схемы неизменными (М 11.45). Эта задача аналогична предыдушей. Воспользуемся полученными там результатами. Так как и = оз/12, то и = 5, л, = 2. Поэтому напряжение на конденсаторе 1'„=Д вЂ” '; 1;=6,4 В; Г; =15,9 В.
пл' 12. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ. ВОЛНОВОДЫ И РЕЗОНАТОРЫ. ПЛАЗМА Обобщение опытных данных и гениальная догадка позволили Максвеллу получить уравнения электродинамики, носящие его имя. В интегральном виде фнл- — ""1(1иг — ''~)ря, 1фнл=1(и+он)ря)и ииг.ии фвии=--'1',воя, ~форин-1',~ря)и иигв фвря=р фррр, ффвоя-фррр~; фвшя - о, (ф воя - о~. (12.3) (12.4) Максвелл в дополнение к току проводимости (плотности)), связанному с движением заряженных частиц, ввел ток смещения с плот- ностью 1 д1я .
д0 см 4а до и см дг' (12.5) зо-мгв Этот ток существует только там, где меняется электрическая индукция 11. Подобно тому, что изменение магнитного поля вызывает появление электрического (12.2), изменение электрического вызывает появление магнитного (12.1). На ток смещения не действуют силы„и в нем не выделяется теплота, так как нет движущихся зарядов. Он создает магнитное поле. Фундаментальные уравнения Максвелла (12.1) — (12.4) не содержат никаких характеристик среды, в которой возбуждается электромагнитное поле.
Их необходимо дополнить материальными уравнениями. Наиболее простые материальные уравнения имеем в случае слабых электромагнитных полей, достаточно медленно меняющих- 465 ся в пространстве (заметные изменения происходят на расстояниях, значительно превышающих межатомные и межмолекулярные) и во времени (характерное время изменения велико по сравнению с периодами внутриатомных и внутримолекулярных колебаний). Для изотропных сред, не являющихся ферромагнетиками или сегнетоэлектриками, можно получить Р = еЕ, (Р = ебеЕ»; В = цН, (В = 14~цН»; 1 = ЛЕ, Ц = ЛЕ».
(12.6) (12.7) (12.8) 4я. 1дР ( . ЭР1 го! Н = — 1+ — —, ~гогН = 1+ — ~; с са!' '( Э~7' (12.9) 1 дВ ( дВ1 гогЕ = -- —, ~гогЕ = — — у; . а~' $ = эг)' (12.10) 4!!тР = 4яр, (йтР = р»; йт В = О, (о!т В = 01. (12. 11) (12.12) Отметим, что из четырех уравнений Максвелла два являются векторными и два — скалярными. Введение в уравнение (!2.1) изменения потока вектора электрической индукции (тока смещения) оказалось весьма плодотворным. Для похожести уравнений (12.1) и (12.2) во второе надо ввести ток магнитных зарядов, которые возможно, как показывают известные опыты, вряд ли существуют.
Однако предпринимаются попытки обнаружения гипотетического элементарного магнитного заряда — монополя Дирака, величина которого в гауссовой системе единиц х = Лс/2е, — методом регистрации электрического тока, возникающего в сверхпроводящем контуре после прохождения сквозь него монополя. Оценим величину тока в кольце индуктивностью А = О,! мкГн (М 12.14). Обозначая Ж вЂ” ЭДС, возникающая в контуре, Ф вЂ” поток магнитной индукции, 1„— ток монополя, т.
е. магнитный заряд, протекающий через площадку, 466 Приведенные уравнения Максвелла в интегральной форме справедливы и там, где напряженности полей или свойства среды меняются скачкообразно. При отсутствии скачков те же уравнения можно записать в дифференциальной форме ограниченную контуром в единицу времени, из (12.2) по аналогии с (12.1) получаем 1ЫФ 4а бг = — — — — — 1„.
с~В с Отсюда для тока в сверхпроводящем кольце находим Поэтому для тока в кольце при прохождении одного монополя имеем 1.1 =; 1 = =124 ед. СГСЭ = 0,041 мкА. 4аас 2кас 2е ' 1е Если кольцо не сверхпроводящее, а металлическое с омическим сопротивлением Я, а индуктивным сопротивлением его можно пренебречь, то для протекшего в кольце заряда Д 6= Я вЂ” =- — —. е12 4а ~ф Ж сто' Я г= —; р=ЯЩ~р; сез ар 2 йр сое е й' = 2ярс(р; Из (!.9) Зсое ф-1 ~е=ре З г Рие.
12.1 467 зо* Откуда (М 12.15) (2 = — = 12,4 10 ~ ед. СГСЭ = 4,1 1О '5 Кл. еЯ Изменение величины дипольного момента точечного электрического диполя приводит к появлению магнитного поля. На рис. 12.1 в начале координат находится точечный диполь, направленный по оси ~ и меняющийся со временем по величине р, = р з)п ва Найдем магнитное поле в точке А с координатами (Я, О, Я), предполагая, что диполь расположен в вакууме (Ме 12.63).
Картина полей обладает осевой симметрией относительно оси г. Чтобы воспользоваться (12.1), надо найти поток вектора Е, определяемого для диполя (1.9). Угол между р, и г обозначим р. Тогда имеем Для потока электрического поля получаем р О па Ф = ~ Е„<Ь = 2я — ' ~ гйп ср (3 сов~ ср — 1) йр = Ю й 0 север — сов е,„ 3 "К й Точка А соответствует 1р = л/4. Поэтому 5!и 031 Ф = пр —,-. Из (12.1) находим г51Ч~ сов е г= — ' р=~гйщ сов у ов = 2ярдр; Для потока при каждом ~ получаем 0 Ф = ) Е„лв = 2п р )' в)п Ч1 (3 сов Ч1 -1) НЧ1 = 5 " г 0 2 сов Ч/3пвх сов Ч/пззх з яр г Из рис.
12.1 видно, что при ~ «В получаем Я 5 2 Я' Поэтому для потока имеем г1 г Ф=2пр сов м1 2 Г2сй~ Чтобы поле диполя можно было вычислять по электростатической формуле (1.9), необходимо выполнение условия квазистатичности Я «сТ= 2пс/05. Аналогичным образом можно найти напряженность магнитного поля, если величина диполя постоянна, а положение меняется ~ = аяп 051, где постоянная величина а «Я (М 12.64). Из-за нейтральности диполя ток при его движении не возникает. Это значит, что магнитное поле определяется опять потоком вектора напряженности электрического поля.
Найдем магнитное поле в точке В (см. рис. 12.! ) Для связи с углом Ч1 имеем Из (12.1) Н2пЯ = — —. 1аф аг ' Подставляя зависимость г от времени, получаем 2мг Н = ра ооз1п — „. сЯ Из (12.2) следует, что изменение магнитного потока приводит к появлению вихревого электрического поля, созданию ЭДС. Это происходит, например, если в однородное магнитное поле, которое с некоторого момента г = О начинает уменыиаться по линейному закону со скоростью И — = -а Й перпендикулярно полю поместить замкнутый круглый виток радиусом г, индуктивность которого Ь, а омическое сопротивление Я. Используя (9.4) и (12.2), получаем Š— + К1 = пг а.
2 й Разделяя переменные и интегрируя, находим ' — +Ае "а Я Постоянная интегрирования А определяется из начального условия: при г = О, Г= 0 и А = -пг —. 2 Я В результате для потока магнитной индукции через виток, используя (5.27), получаем (№ 12.21) Ф = Впг + Е1 = пг ~Во — аг+ 2,а ).
2 2 1 — е Я На самоиндукционный поток в витке наложен внешний поток поля. При переменном напряжении (1'= 1', сов о22) на обкладках конденсатора (например, в виде круглых дисков, находящихся на рас- 469 стоянии Ь) внутри возникает магнитное поле, которое из (12.1) и (! 2.5) равно н- 'Л'~"- и"" ' 2сЬ о 2сЬ Если внутри такого конденсатора находится проволочная прямоугольная рамка (2а. 2Ь), одна сторона которой (2Ь) совпадает с осью симметрии конденсатора, то по рамке будет идти ток.
Найдем силу тока!, предполагая, что омическое сопротивление рамки Я велико по сравнению с индуктивным (Л(о 12.!9). Из (7.1) а(10~ )гы)~а 7= = 2а~Ь)" созы†с Я с Я с ЬЬ Рассмотрим такой же конденсатор (два круглых диска площадью о), в который помещена квадратная проволочная рамка со стороной, равной а, причем одна сторона рамки совпадает с осью конденсатора, а две другие направлены по радиусу диска. Конденсатор заряжается от источника постоянной ЭДС до заряда Ц (постоянная времени т = Я,С).
Считая, что омическое сопротивление рамки А намного больше ее индуктивного сопротивления, найдем джоулеву теплоту, выделяющуюся в рамке при зарядке конденсатора (М 12.24). При изменении заряда конденсатора меняется электрическое поле в нем и в соответствии с (12.1) возникает меняющееся в зависимости от расстояния от оси конденсатора г магнитное поле Н = —.
2с ' Штрихом здесь и далее обозначены производные по времени. Поток магнитного поля через рамку а 3 Ф =)Най = Е' —. 4с ' Из (12.2) находим ЭДС в рамке, которая создает ток в ней 1Ф' з Е 7= — — =а —. с Я 4с~л Поле в конденсаторе равно 470 Для тока получаем 1=а2п 2 0" с2й,у Ток при зарядке конденсатора 1, = О', идущий через сопротивление Мп определяется (9.4) Я,Д'+ — = б'. 0 С Разделяем переменные и интегрируем да !2 22,/, — — — — О = е'С+Хе ". 0-кс яс В начальный момент заряд равен нулю, поэтому постоянная Х = -вС; Д = 11С(1 — е 4').
При г = Д = Д . Следовательно, Д = Ц,(! — е-Оч). Отсюда а-=- — '2 Е-". Для джоулевых потерь в рамке имеем гъ2 г~2 д,~ (12й рг 2 6 юО ( -2!д 12 2 6 1~0 4~2й 42 " 2 4~2д З' Эта энергия берется от батареи, заряжающей конденсатор. Пренебрегать индуктивным сопротивлением можно, когда а/т «с. Рассмотрим плоский конденсатор с обкладками в форме дисков радиусом Я (расстояние между ними равно )2), который заполнен диэлектриком (диэлектрическая и магнитная проницаемости е и 14) и через который идет переменный ток смещения 1 = 1, соз О2а Этот ток создает в конденсаторе магнитное поле.
Пренебрегая краевыми эффектами, вычислим электрическую и магнитную энергии, локализованные в конденсаторе, и найдем отношение максимальной магнитной к максимальной электрической энергии (М 12.2). По току смещения 1 находим изменение заряда 9 =) 14Й = — з1пе22 !О 471 и напряженность электрического поля Е=4я ~ . ЕЮ Плотность электрической энергии 2 з1пг ыг 2», = — = 27О э — 8я г„я4 а в объеме конденсатора 2 пЯгЬ» =2Я7ег э э О 2Я4' Для плотности тока смещения в конденсаторе имеем 7 2 = —. яЯ Поэтому из (5.7) и (12.1) магнитное поле Н =27 —, сЯ где г — расстояние от оси конденсатора.
Плотность магнитной энергии 2»м= =И41 2 4 ВН 2 Г а 8 2Я4 Магнитная энергия в конденсаторе л )' м г 2». 2к'2»4 г Н'2 О 2 О 4с Отношение максимальной магнитной энергии к максимальной электрической энергии равно Для справедливости условия квазистационарности, когда выполняются использованные ранее соотношения, должно быть ООЯ к с. Г!ри этом полученное отношение много меньше единицы. 472 Если бы была задана не сила тока в цепи, а переменное напряжение на обкладках этого коиденсатора 1'= Р' з)п о7г, то для тока смещения из (12.5) получаем 1 аю,дЕ7д! дГГд!' 4л д! 4л лл Из (12.1), пренебрегая краевыми эффектами, находим магнитное поле (М 12.6, 12.7) ди г н= — — = и, д! 2сЬ 2сЬ Найдем отношение электрической и магнитной энергий внутри длинного соленоида (длина 1, радиус Я), состоящего из Ф витков проволоки, заполненного веществом с диэлектрической и магнитной проницаемостями а и 14, по которому идет переменный ток 1= 1, сов ш! (М 12.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
