Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 65
Текст из файла (страница 65)
12.15 показаны направления векторов. Из (12.23) следует, что вектор Пойнтинга направлен по току и равен (М 12.30) з Я Яг 2 2 ./ иес Рассмотрим заряженный тонкостенный цилиндрический конденсатор с радиусом внешнего электрода Я, висящий в вакууме иа упругой вити с модулем кручения~в магнитном поле Н, параллельном нити и тонкому внутреннему электроду конденсатора. В соответствии с (12.24) система Рве. 12.15 499 обладает электромагнитным моментом количества движения М. Обо- значая заряд конденсатора Д его длину 1, из (1.16) находим электри- ческое поле в зависимости от расстояния от оси конденсатора г: Е= —. 7с Получаем М = 2И) 12пгг — Н = ОН— 4пс 1! )„) 2с ' Если конденсатор нагреть, то он быстро разряжается за счет термоэмнссин.
В результате электромагнитный момент быстро передается конденсатору, который приобретает кинетическую энергию вращения М ОгНг 2./ 4/сг где у — момент инерции конденсатора. Эта кинетическая энергия переходит в упругую энергию закрученной на угол сг нити г 2 Откуда ()ча 12.13) йг лг' 2с (,К) 2п ег =— Т (12.25) и волновое число, связанное с длиной волны, 2п 2п Х сТ (12.26) 500 В случае описания начальных или граничных условий гармоническими функциями (синусами и косинусами) решения волнового уравнения (12.17), т. е. функции 7; и /;, входящие в (12.18), также будут гармоническими. Рассмотрим подробнее гармонические бегущие волны.
Удобно ввести круговую частоту, связанную с периодом гармонической волны, Для волны„бегущей в положительном направлении оси х, имеем (12.27) Е = Асов(о» вЂ” йх). У Для магнитного поля из (12.21) , 1/г Н =( — ~ Асов(ш/ — хх). (12.28) Для скорости распространения фазы (фазовой скорости) получаем (12.29) Как видно из (12.19), фазовая скорость зависит от характеристик среды, по которой распространяется волна, и, в частности, эти характеристики определяются зависимостью сг(/г) — дисперсиопиым соотношением. При постоянной фазовой скорости говорят об отсутствии дисперсии.
Для волны, распространяющейся в пространстве в направлении вектора г с декартовыми координатами х, у и ~, вместо волнового числа в (12.27) надо использовать волновой вектор (или вектор распространения) к. В таком случае Е; = -А сов(ш/+ йх). (12.31) дг Н;-( — ) А ( в 3*). (12.32) Здесь использовано, что обозначенный на рис.
12.16 вектор к' = — к. В диэлектрике над проводящей поверхностью получаем Е + Е; = А(сов(ег/ — хх) — сов(ог/+/сх)] = 2Ав(п/сев(пег/; фг х1/г Н, +Н; = ~ — ) А(сов(огг — /сг)+сов(ег/+ ах)) = 2( — ~ Асов/сгсовогк и \,п 'аг = /~„х + /с у + Й,2. (12.30) Рассмотрим отражение бегущей волны (12.27) и (12.28) от бесконечной плоской поверхности идеального проводника, перпендикулярной к направлению распространения волны (рис. 12.16). Ось ~ направлена к читателю.
Для удовлетворения условия отсутствия электрического поля в идеально проводящей среде необходимо существование отраженной от плоскости х = 0 волны, бегущей в противоположном направлении: Рис. 12.17 Рис. 12.16 Это стоячие электромагнитные волны. При х = 0 имеем узел электрического поля и пучность магнитного. Внутри проводника магнитного поля нет. Изменение магнитного поля на границе (от величины в пучности до нуля) связано с токами проводимости вдоль границы. Аналогичным образом можно рассмотреть падение электромагнитной волны на плоскую поверхность идеального проводника под углом а (рис. 12.17).
Электрическое поле в волне направлено параллельно оси у, которая направлена к читателю. Уравнение падающей волны из (12.27) и (12.30) Е, = Асов(ыг — Й„х — Й г), (12.33) где х = 0; й„= )с сов а; /с, = /с яп а. Отраженную волну записываем в виде Е,', = А'сов(вг — 7г„'х — й;~+ <р). Условия при х = г = 0 требуют отсутствия электрического поля, поэтому А' = А, <р = я, непрерывность компоненты магнитного поля касательной к границе, поэтому угол падения равен углу отражения и, следовательно, 7с„= )с„' и /с, = -lс,'. Следовательно, Е', = -Асов((лг — й„х+ )г,~).
(12.34) Волна над проводящей стенкой представляет сумму (12.33) и (12.34) Е = Е, + Е', =-2Ав(п(к,г)в(п(ыг — к„х). (12,35) Для этой волны выполняется условие отсутствия электрического поля при г = О. Это же решение годится в случае установления 502 проводящей плоскости„параллельной плоскости ~ = О на расстоянии нескольких половин длин волны, определяемых 8, и равном г =-! =-и — '=-и — (и = 1, 2, 3, ...).
я (12.36) Отсюда для 8, имеем lс, =и —. (12.37) Из (12.30) и (12.29) в данном случае получаем Й,=[« -( -)] =[Н вЂ” 'Н], ((238( где с — фазовая скорость электромагнитной волны в вакууме, равная скорости света. Подставляя (12.37) и (12.38) в (12.35), получаем соотношение для волны, распространяющейся между двумя параллельными проводящими плоскими поверхностями, представляющими плоский волиовод: Е,(х, ~, г) = 2Аз(п[пл~~]з(п(тг — й„х). (12.39) Волна, соответствующая определенному и, называется «модой» волновода. Конфигурация электрического поля для каждой моды своя.
На рис. 12.18 показано распределение электрического поля между проводящими стенками для и = 1 (а) и для п = 2 (б). Распро- Рве. И.18 странение фаз в направлении х вдоль волновода происходит с фазо- вой скоростью (12.40) ~1 — и Л~~/(г!) ~ (о) /с — ы р/с ) г л, Л 1д > Ло. ар ~1 пз Лз/(г()з ~ (12.41) Для того чтобы происходило распространение волны, й„должно быть действительным числом, т. е. должно выполняться ( — ) >и( — ). (12.42) Критической (или граничной) частотой является ас Оо $ (12.43) Критическая длина волны Л = 2!. (12.44) Критическим условиям отвечает угол а = я/2.
Образуется стоячая волна. В отличие от безграничных плоских волн, о которых говорилось ранее, здесь электрическое поле меняется на конечном интервале. Вычисляя циркуляцию магнитного поля вокруг электрического, получаем, что при электрическом поле, имеющем только компоненту вдоль у, магнитное поле имеет компоненты вдоль г и к, т. е и в направлении распространения волны.
Если у электрического поля есть только компоненты, перпендикулярные направлению распространения электромагнитной волны, то такой тип волн называется 504 где Л, — длина волны в вакууме, Л, = гас/о5; значение а дано далее в (12.43). Из (12.40) следует, что фазовая скорость в волноводе больше скорости света в вакууме. Напомним, что в теории относительности для фазовой скорости нет ограничения. Для длины волны в волноводе получаем Е, = Ес з(п( — "«)з)п(аг — й,г). (12.45) Из (12.10) и (5.11) получаем 1 ЭН . дЕ„ЭЕ„ — — — = госЕ =1 —" — 1с — "; с аг аг ау ' 1ан, ае„.
1„у) — — — ' = —" = -Естес, яп( — )соз(вг — )г,~); с дг дг с с ( а ) — — ' = —" = Ез — соз( — ) яп (сог — lс,~). 1 ан, ае„ с дг Эу з а ( а ] Интегрируем, учитывая, что постоянных составляющих в волне нет, — Н = Ес — 'з(п( — ~яп(яг — lс г); 1~т 1лу1 с У ы (а) -Н =-Š— соз~ — ~соз(яГ-lс Г). ! л !лу1 сам (а) 505 поперечным электрическим (сокращенно ТЕ— ггапзчегзе-е1есгпс). Магнитное поле в волне такого типа имеет компоненту в направлении распространения волны. На рис. 12.18 показаны, а пунктиром, для примера, две силовые линии магнитного поля, лежащие в плоскости (х, ~). Если в электромагнитной волне магнитное поле У в ограниченном пространстве имеет только составляющие в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, то такой тип воли называется поперечным магнитным (сокращенно ТМ— [гапзуегзе-тайпейс). При этом у электрического поля есть составляющая и в направлении распространения волны.
Найдем вектор Пойнтинга, описывающий плотность потока энергии в волиоводе квадратного сечения (сторона квадрата равна а) с идеально проводящими стенками и вакуумным наполнением при распространении бегущей электромагнитной ТŠ— волны с минимальной частотой при заданном волновом числе /с, (№ 12.50). Ось ~ направлена вдоль волновода, вектор Е параллелен оси х, а амплитуда поля равна Е, (рис. 12.19). Из (12.39), учитывая минимальность частоты (и = 1) и переименование осей, для напряженности электрического поля в волне имеем Используя (12.23) и (5.10), находим $ = — (ЕН] =:(-1Е„Н2+ЬЕ,Н ) = Е,".я . Г у'~ 2 à — [2 — !г(2 — У2 2( 2 — 22) 22, 2 ( — ) ( 2 — 2,2)].
4яв~ 4а (, а) 22 Для частоты из (12.38) имеем 2 2 Рассмотрим волновод с металлическими стенками квадратного сечения со стороной а = 5 см, который возбуждается модулированными колебавиями Е,(г) = Еь(1 + соь йг) соь в,б где — = 4 МГц. 2х — ь = 3001 МГц; 2х Пренебрегая потерями бегущих волн в волноводе, найдем, по какому закону меняется поле Е,„„(г) иа выходе волиовода длиной Е.
Поле Е перпендикулярно оси волновода и параллельно одной из стенок (см. Рис. 12.19). Определим также, чему равна фазовая скорость волны с частотой вь (М 12.45). Из (12.43) следует, что граничной частотой для данного волновода является и = — '"' = — = 2998 МГц. "Р 2а 2а Имея в виду, что Е„(г) = Еь (1+ соь йг) соьаьг = Ео сох аьг+ Еь соь Ш соьвьг = ! 1 = Еьсоьаог+ Еосоь(12 во)г+ — Ео сов(й+в22)б 506 Из имеющихся в спектре модулированной волны гармоник (в, — Я, вь и вь + Я) проходят только две. Из (12.38) находим Е вы (г) = о сов(мог )со2)+ — Ео соз~(о)о+ а)г — /с„Ц), Из (12.40) фазовая скорость волны с частотой оо равна (! — (ас) ~(со а) ~ [1 — (со /о> ) ] Если волна с несушей частотой чо имеет амплитудную модуляцию с частотой ч„, то в соответствии с (11.12) появляются еше волны с частотами (ч — ч„) и (во + ч„). Прохождение волн через волновод определяется его размером.
Для волновода квадратного сечения со стороной, равной а = 5 см, из (12.43) (М 12.46) ч„~ = — = 2998 МГц. Если задана несушая частота 2995 МГц, то она не проходит. Тем более не проходит волна с частотой, равной разносги частот. Чтобы превзойти критическую частоту, частота модуляции должна быть больше 3 МГц. Для фазовой скорости из (12.40) при частоте модуляции 5 МГц получаем (1 — х„ /(оо + о„) ~ Рассмотрим распространение монохроматической волны сложной пространственной структуры в прямоугольном волноводе, изображенном на рис. 12.20. Электрическое поле Е в волне перпендикулярно широкой стенке волновода размером а. Такую волну можно представить как суперпозицию собственных мод волновода типа Но„, поле Е которых в плоскости ~ имеет вид: Е,(у, О, г) = ,'~ С„яп(тку )сов(он+а„).
Предположим, что для всех мод вы- х полнено условие в» 2а/Х„где Х, — длина волны в свободном пространстве. Докажем, что распределение амплитуды колебаний по поперечному сечению волновода Е(у, ~) воспроизводится (повто- О Е а у Рвс. 12.20 т. е. амплитуды боковых волн вполовину меньше, получаем поле на выходе из волновода ряется) через определенное расстояние Ь~, Е(у, с) = Е(у, с + М), и найдем Лт (М 12.69). Используя (12.41) и (12.45) для произвольного ~, имеем Е„(у, в, 1) = ~~ГС„з)п(тяу1соз(ррг — )г ~+а„), где 2я 2 Хр 2я 1 з Хо = — 1 — — т— Хр ~ 2 (2а) Разность фаз для некоторых двух мод т, и т равна ( ам вм2) 4( 2 !) р 2' а Для совпадения распределений амплитуд необходимо Ьрр = 2яи (где и — целое число) для любых т, и т,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
