Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Известно, что до помещения в магнитное поле В = В,сова!диаметр «блина» был равен А = 10 см. Найдем, какой должна быть амплитуда поля В„чтобы на частоте ч = 1 МГц диаметр блина уменьшился в два раза (№ 12.8). Используя (12.56), получаем толщину скин-слоя 6 = 0,005 см. Для вычисления высоты «блина» до помещения в магнитное поле можно воспользоваться решением, приведенным в книге 2, с. 342. Для оценки приравниваем давление за счет поверхностного натяжения на краях «блина» среднему давлению в капле. Откуда При коэффициенте поверхностного натяжения о = 0,465 Н/м = = 465 дн/см, р = 13,5 г/см и я = 980 см/с получаем Ь = 0,375 см. Из сохранения массы капли (и объема) высота возрастет в 4 раза Ь, = 1,5 см. Для равновесия Ь! 2а Во 2 РЯ вЂ” = — + —. 2 Ь, 16л' Отсюда В = 683 Гс.
Системой Лехера называют систему из двух параллельных проводов, для которой при распространении по ним переменных токов высокой частоты условие квазистационарности выполняется по отношению к поперечным размерам и не выполняется по отношению к продольному. Это значит, что расстояние между проводами должно быть мало по сравнению с длиной волны, а продольное расстояние (длина проводов) может составлять много длин волн.
Вследствие этого сила тока !и линейная плотность электрического заряда д существенно меняются вдоль проводов. На рис. 12.23 изображен участок системы (провода параллельны оси х, токи в них одинаковы по величине и противоположно направлены) с бесконечно малым элементом (отхдо х+ Их). Через конец А за время й внутрь рассматриваемого элемента входит электрический заряд 1(х)йб а через 1) выходит заряд !(х+ Вх)Вг. Обозначая изменение линейной плотности заряда со временем д' (производная по времени), получаем изменение (сохранение) заряда г!'Йхг(г = [1 (х) - 1 (х + ~йс)1В! = — — Ыхй. Таким образом, а! '1 = ах' Для электрического поля между проводами Е и разности потенциалов Р'имеем [ Ег!! = У(х+ г(х), ) ЕИ! = Р'(х); ЕВ! = У(х+ Вх) — У(х) = — Йг; ас+ ал ах Рие.
12.23 ло+са 517 где В!(х — суммарное сопротивление элементов проводов АР и СВ. Используя эти соотношения и обозначая магнитный поток, прони- зывающий контур АВСР, Ф= ) ВсЬ=А1, ввсо где Š— индуктивность единицы длины линии, из (12.2) получаем — +Я1 =- — Ф'=- — —. ах с,.г д!' (12.63) Вводя С = !7/и — емкость на единицу длины линии, из (12.62) имеем а7 аи — = -С вЂ”. ах аг' (12.64) При Я = О из (12.63) получаем аи с а~ дх сг дг (12.65) Из последних двух уравнений следуют волновые уравнения Фазовая скорость волн (Сг,)!/г ' (12.66) В бегушей волне напряжение и ток связаны соотношением, сходным с законом Ома: и=+ит.
(12.67) Здесь введено волновое сопротивление линии И =-1(~) (12.68) Сходство с законом Ома чисто внешнее, так как разность потенциалов берется не вдоль проводов, как в законе Ома, а между проводами. 5!8 дгГ сг аг1 — — — =О; д! Сь дх д'и с' д'и — — — — = О. агг сс ах' Для тонких цилиндрических проводов радиусом а на расстоянии Ь в среде с диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью и имеем 1,=4р!п( — ); С= Поэтому из (12.66) получаем с У1г . (12.69) 1; = %1,; г; = — И'1,; )' = И"'1 .
Минус показывает, что отраженная волна идет назад. Пользуясь правилом Кирхгофа для токов, имеем 1,+ 1„=1+1,. Напряжения между концами мостика можно записать х,1= Р;+ Р;= Р~. Выражая напряжения через токи, получаем У1= И'(1, — 1„), У1= И"1. 519 Эта фазовая скорость совпадает с фазовой скоростью электромагнитной волны в свободном пространстве. При распространении гармонической волны, как следует из (12.67) и (12.68), ток и напряжение колеблются в одинаковых фазах.
Так как в бегущей волне электрический и магнитный векторы перпендикулярны проводам, вектор Пойнтинга параллелен проводам и направлен от источника энергии. Соединим провода лехеровой системы в некоторой точке мостиком из последовательно соединенных катушки индуктивности, омического сопротивления и емкости (с импедансом мостика У).
Волновое сопротивление до мостика Ь'и после мостика И"' могут быть разными. Падающая на мостик волна может частично проходить, а частично отражаться. Найдем у мостика отраженную (1„) и прошедшую (1,) волны тока, а также ток через мостик 1, если ток падающей волны равен 1,. Напряжение в падающей г;, отраженной Р; и прошедшей 1' волнах у мостика: Решая эти уравнения вместе с уравнением для токов, находим /, И~И" + (и' — И")У ~~ 2ИУ, 7 2И~И' 7 а 7„ а 7, где Ь = И" И" + ( И'+ И')Е Для мостика, поставленного в конце линии, получаем в случае отсутствия прошедшей волны (И"' = ° ) При закороченной линии (У = О) и со свободными концами (У = ) в обоих случаях отражение полное, но с разными фазами в первом случае пучность, во втором узел. При чисто реактивном сопротивлении (У =!Х) отражение также полное ~1,) = ~1„~, а наличие реактивного сопротивления сказывается только на положении узлов и пучностей.
В стоячей волне, которая образуется при полном отражении, узлы тока являются пучностями напряжения, а узлы напряжения — пучностями тока. В узлах вектор Пойнтинга равен нулю. Электромагнитная энергия колеблется между узлами, не переходя через них. Отраженной волны нет, если (12.70) По системе распространяется только бегущая волна.
Такое сопротивление называется согласованным. Рассмотрим систему Лехера, в которой между проводами (диаметр 2а, расстояние между ними Ь) поставлен плоский лист проводящей пленки толщиной Ь с удельным сопротивлением р. Используя соотношения для индуктивности на единицу длины провода А = 4р1п( — ) и емкости на единицу длины провода С= 4 1л(Ь!а) при е = 1 и ц = 1, получаем для волнового сопротивления системы 520 При определении сопротивления из (4.23) емкость надо взять на расстоянии 8. В итоге имеем сопротивление между проводами Р 4ялС В случае отсутствия отраженной и проходящей волн У = В = )К Откуда (М 12.75) с Ь=р —, 4п' Если для передачи электромагнитной энергии от генератора высокочастотных колебаний к нагрузке используется длинная линия, состоящая из двух плоских шин (ширина их 1, расстояние между ними Ь), расположенных параллельно друг другу, то на единицу длины емкость равна С=; 2,=4л-, Ь 4пь' 1' так как для потока Ф = 4я1 — = 2,-.
Л 1 с1 с Из (12.66) фазовая скорость волны и = с. Для отсутствия отраженной волны должны выполняться (12.70) и (12.68), т. е. (М 12.67) 11 Ь У =- — =4 —. пс с1 Торец линии можно закрыть пленкой толщиной 8 из полупроводникового материала с удельным сопротивлением р. Найдем, при каком отношении р/Ь не будет отраженной и проходящей волн (М 12.74). Так как Я=р — =У, 81 то в соответствии с полученным ранее Р 4х Ь с На рис.
12.24 показана система Лехера, находящаяся в емкостной связи с генератором синусоидальных колебаний, который поддерживает между концами А и В переменное напряжение Ряс. 12.24 52! 1' соз аг ( Р' и а — постоянные), а концы С и Ю закорочены. Длина лехеровой системы АС = В2) = Б Найдем распределение напряжения 1'(х, г) между проводами как функцию координаты х и времени О предполагая, что колебания установились, а активное сопротивление всех проводов равно нулю (М 12.42). В системе установится стоячая волна, представляющая сумму волн, бегущих в противоположных направлениях, 1'(х, г) = — соз(аг — «х — Б)+ — соз(аг+ «х+ Б) = А А 2 2 = Асозонсоз(«х+Б).
При х = 1 напряжение должно равняться нулю, поэтому «1+Б= я'(п+ — ) при п=О, 1, 2, 11 Откуда Б = п(п+ — ) — И. Амплитуду колебаний находим из условия на АВ 1'(О, г) = «' созаг = Асозагсозб. Полностью ионизованная плазма состоит из электронов и тяжелых положительных ионов, которые можно считать неподвижными. Допустим, что плазма находится между двумя плоскостями (например, перпендикулярными оси х), заряд электронов е и число их в единице объема и. Если все электроны сместятся из положения равновесия на расстояние х, то возникнет электрическое поле Е = 4ппех.
Сила, действующая на электрон, Г = 4япезх. Обозначая производную по времени штрихом, получаем уравнение движения электрона тх" = — Е Это уравнение колебаний электрона с так называемой плазменной частотой а = 4пп— (12.71) Эта частота зависит от числа электронов в единице объема плазмы. Когда по плазме распространяется электрическое поле 522 Е = Е,е-» '-"">, то смещение электрона г описывается уравнением тг" = — еЕ.
Дважды интегрируя, получаем е еЕ -~(ш/-оА) г=еЕо тю2 „2' Из (3.8), (3.1) и (12.71) находим 2 2 е ыг е =! — 4ял — = 1 — —. 2 2' (12.72) Такое изменение диэлектрической проницаемости надо учитывать, например, при пропускании электронного пучка через пространство между пластинами конденсатора, заполненное диэлектрической средой (е = 1). Если конденсатор входит в колебательнгяй контур с резонансной частотой во, то она изменится. Найдем, во сколько раз изменится резонансная частота, предполагая, что пучок сечением Яс энергией электронов )г'и полным током 7идет параллельно пластинам конденсатора, полностью заполняя пространство между ними (М 12.56).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
