Учебник - Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм - Корявов В.П. (1238771), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Отсюда 8а Л~ = —, хр так как (т' — т,') — всегда какое-нибудь целое число и. В подобном прямоугольном волноводе со сторонами а и Ь на входном торце заданы колебания электрического поля, представляюшие суперпозицию мод типа Нм и Н, . Распределения поля Е показаны на рис. 12.21. В моде Нм поле Е (при ~ = О) имеет только хкомпоненту Е = Ер Яп~ЯУ1созгег, ь Е 0 а У 0 Е а Рис. 12.21 508 а в моде Ни — только у-компоненту Е = Ео о(п (я — ) соз юп Считая, что частота много больше критических частот обеих с с го » я —, я —, найдем, при какой минимальной длине волновода ориа Ь' ентация вектора Е в любой точке (х, у) выходного сечения совпадает с его ориентацией во входном сечении (в точке с теми же координатами х, у) (М 12.70). Как видно из (12.40) фазовые скорости мод типа Нм и Н„различны. Во входном сечении ~ = 0 моды в одинаковой фазе. Волна линейно поляризована.
При распространении волны происходит сдвиг фаз составляющих компонент. Они снова будут в фазе при условии сии = 1(1с,)ог — (1сг) ю)1 = 2я> где (1сс)о~ 1 г, ~1сг)~о 1 г Так как ог » я —, я — и, следовательно, Л «а, Ь, то совпадение с с а фаз произойдет при Ло1'( / = 2я. 4 о( г г/ Откуда и находим 1 Энергия, посылаемая через волновод к некоторой нагрузке, может частично поглотиться, а частично отразиться.
Обозначая коэффициент отражения амплитуды а через г, для амплитуды отраженной волны имеем аг. В результате отражения получаем подобие стоячей волны с отношением максимальной напряженности (в пучности) к минимальной (в узле) К= Если заданы посылаемая мощность Уо и поглощаемая в нагрузке Ф„, то, учитывая, что мощность пропорциональна квадрату амплитуды, имеем а г г 1Уо г г — =г г а Но Э то уравнение подставляем в предыдущее соотношение (№ 12.52). Волновод превращается в объемный резонатор, если вход в него и выход из него закрыты проводящими стенками. Найдем резонансные частоты двух наинизших мод объемного резонатора в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами а = 1 см, Ь = 2 см, ! = 3 см (рис. 12.22). Из (12.38), подставляя аналогично (12.37) /~„= тя/Ь и беря наименьшие значения и = 1 и т = 1, чтобы получить наименьшее значение ш, имеем (№ 12.68) (12.46) Здесь взяты наибольшие стороны (Ь и !), чтобы ю было меньше.
Следующая наинизшая мода соответствует тому, что на наибольшей стороне укладывается не половина длины волны, а целая длина волны Предполагая, что электрические параметры воздуха, заполняющего резонатор, не зависят от частоты, а потери энергии определяются удельной проводимостью р, найдем отношение добротностей резонатора при ю и ш, (№ 12.68).
Потери на джоулеву теплоту в единице объема за период Тпри плотности тока~' и напряженности электрического поля Е равны ЛИ" — 7 рТ вЂ” Š—. г зТ Р Запасенная энергия И" — Ез. Поэтому добротность Ер 1 Д вЂ” — — — — — — в. ДН' ЕзТ Т Тогда (2 и Й Волну в волноводе (12.45) можно записать в комплексном виде (12.47) Е„= Е яп (А у) ехр Яви — lг г)]. 510 В трехмерном пространстве волновое уравнение имеет вид д Е, д Е, д Е„ 1 д Е, + — +— ах2 ау2 д22 С2 а22 . Подставляя сюда (12.47) и учитывая, что Е„не зависит от х, т.
е. при изменении х не меняется, получаем — 2-/С2+й2, с (12.48) Е = е Ес яп[я — )яп[я — )созе22, . Г х1 . Г у1 где е, — единичный вектор в направлении оси х. Далее будут употребляться единичные векторы вдоль осей х и у е„и е . Из (12.10) получаем — = -сгогЕ = ан дг что согласуется с (12.37), (12.38) и (12.46). Найдем вектор Пойнтинга Б(6 х, у, х) как функцию координат и времени в резонаторе, который представляет собой кубик со стороной с, с идеально проводящими стенками и вакуумным наполнением и в котором возбуждена основная мода электромагнитных колебаний, причем электрическое поле с амплитудой Ес ориентировано по оси х (М 12.47).
Для основной моды электрического поля в данном резонаторе имеем Отсюда можно найти выражение для поля Н. Из (12.46) частота основной моды в резонаторе г„г „2 )У2 ф/2 Е2= С[ — + — ~ =СЯ вЂ”. [ 2 Используя (12.23), находим Я(г,х,у,х)= 2 = с — ~е„яп[2я — )з(п [к — )+е з2п [х — )яп[2я — )~яп2е26 Найдем максимальную напряженность Е, электрического поля в прямоугольном резонаторе с проводящими стенками объемом У, 51! добротностью Ц, в котором полностью поглощается энергия от генератора электромагнитного излучения мощностью Ф с длиной волны Х, настроенного на основную моду резонатора (№ 12.48). Учитывая связь эффективной напряженности с максимальной для энергии в резонаторе получаем ,г1, ЕО 1' 16а ' Так как из (9.27) Д=2я —, В' аи ' а потери ЛИ" = ЖТ= —, с то Ее = 8ДЮ вЂ”. ис' Если стенки резонатора изнутри покрыты сверхпроводником, то для избежания пробоя (достижения критического магнитного поля) электрическое поле всюду не должно превышать Е,.
Измерения для прямоугольного резонатора (в горизонтальном сечении, имеющем форму квадрата со стороной а и высотой Ь < а) на низшей резонансной частоте показали добротность ('„). Найдем, какую мощность Ф можно подводить непрерывно к резонатору на этой частоте, чтобы поддерживать колебания с максимально допустимой амплитудой (№ 12.49). Средняя энергия в объеме резонатора за период, учитывая гармоническое изменение напряженности поля и (3.69), а 11' = — Е~зй— 2 8а Из добротности (9.29) получаем для потерь за период =2п =Ею" э а (2 О Яа(2 ' 5!2 Частота определяется из (12.46) Откуда период 2а (2) Т= — =и —. О) с Подводимая мощность Ж= —. Т Волновод может быть заполнен слабо проводящей (удельная проводимость Х) диэлектрической средой (диэлектрическая проницаемость е).
Найдем добротность отрезка такого волновода с запаянными торцами (прямоугольного резонатора с ребрами а < Ь < 1) для самой низкой возможной резонансной частоты ч,.„, считая, что потери связаны только с проводимостью диэлектрика (М 12.44). Учитывая, что средняя энергия электрического поля за период Т равна половине И" , получаем о г Потери за период 0 и Добротность резонатора О 2яи так Период надо выразить через самую низкую возможную частоту в резонаторе.
Из (12.19) для фазовой скорости в диэлектрической среде имеем с/(е)'д. Подставляем ее вместо с в (12.46) с учетом необходимости получения наименьшей частоты. Период Т = 2я/е1. Оценим силы, оказываемые электромагнитным полем на стенки объемного резонатора, имеющего в плоскости ХО)" квадратное сечение со стороной л = 3 см, в направлении оси 02, сторона равна Ь = 1 см в условиях, когда СВЧ-генератор непрерывно подводит 513 к резонатору мощность Ф = ! Вт на наинизшей моде резонатора, добротность резонатора О = 1Ог (М 12.76). Из (12А6) ег =.г'2к —.
а Из (9.29) энергия в резонаторе за период )У =Д вЂ”. Потери за период Ь)У = ЬЧТ = Ф вЂ”. ОЭ ' Давление вдоль оси бранно Ьг = — = (с— У ыУ' гог Н = 4тсХ вЂ”. Е с Учитывая (12.7) и (12.50), находим (12.50) гоггогЕ= — — =-4к — —. гг дгоГН ИХ дЕ с дг ,г дг (12.51) Рассматрим однородный проводник с постоянными Х, и, е. Непосредственным вычислением в декартовых координатах можно получить гог гог Е = Егере д)т Š— ЧгЕ.
При отсутствии в проводнике свободных зарядов из (12.11) и (12.6) получаем ~7 Е=4к — —. иХ дЕ ,' дг Подобным же способом можно найти 5Г Н=4к — —. г 1йдН ,г дг ' (12.53) 5ы где объем У= агЬ. Рассмотрим распределение переменных токов по сечению проводников — скин-эффект. Так как в проводниках, по крайней мере в металлах, можно пренебречь токами смещения по сравнению с токами проводимости, то из (12.8) и (12.1) получаем Рассмотрим поля Е = Ео(х, У»)е'"', Н = Н (х, у, г)е'"". (12.54) Ч Ео = 4я — ггоЕо = —, г ~й . 2ГЕо г о= г (12. 55) где введено обозначение Ь= с (2яфио) ~ (12.56) Предполагаем, что проводник занимает полупространство ~ > О, так что его поверхность совпадает с плоскостью ~ = О, а электрическое поле, следовательно, и ток направлены по оси х параллельно граничной поверхности (Е, = Е, = О), причем напряженность поля зависит только от расстояния ~ рассматриваемой точки проводника от его поверхности, но не зависит от х и у.
Из (12.55) получаем г ч~Е д Ео 2, Ео» дг 'дг. (12.57) Общее решение этого уравнения Е„= Аег»+ Ве ~», где А и  — постоянные интегрирования; Š— корень уравнения: г 2!' Е »г ' т. е. (2 )ог бг бг Таким образом, Во„=Ае»йе"И+Ве "е ' '. (12.58) Отметим, что в соответствии с (12.56) 8 — вещественная величина. 5!5 Здесь амплитуды Е и Но могут быть комплексными векторами, но от времени не зависят. Подставляя (! 2.54) в (12.52) и сокращая на временнбй множитель, находим Для ограниченности решения надо считать А = О.
В результате Е Е гы В -т(» 1(ы-«/ь) о е (12.59) Опуская мнимую часть, получаем Е = Ве ™соз(аг — ~ ), (12.60) Для плотности тока находим 1„=).Е„= /,е овсов(ыг — ~), (12.61) Й = 2Я ыб где 7' = Х — амплитуда плотности тока на поверхности проводника. Таким образом, амплитуды напряженности поля и тока убывают в глубь проводника по экспоненциальному закону. Можно считать, что поле и ток сосредоточены в слое толщиной 6, который называют скин-слоем.
При достаточно больших частотах электрическое поле в проводник фактически не проникает. Воспользовавшись (12.53) и (12.54), то же самое можем получить и для магнитного поля. Это похоже на отсутствие проникновения в сверхпроводник. При этом поле на проводник оказывает давление, определяемое (7.12), с учетом того, что усреднение сох' аг дает !/2. Капля ртути на несмачиваемой горизонтальной поверхности стола похожа на «блин». Если эту поверхность, предполагая, что она из непроводящего и немагнитного материала, поместить в высокочастотное (но удовлетворяющее квазистатичности а! к с, где ! — характерный размер, а с — скорость света) магнитное поле, то на каплю, кроме поверхностного натяжения, будет действовать магнитное давление, и она окажется менее сплющенной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
