Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Отрезок 'сгР изображается отрезком О'Р'. Расстояния главных точек от соответствующих фокальных точек называются глааныии фокусными расстояниями системы. Фокусное расстояние в пространстве предметов будем обозначать через 7', в пространстве изображений — через Г"'. В соответствии с принятым нами правилом знаков фокусное расстояние считается положительным, если падающий свет идет й направлении от главного фокуса к соответствующей главной плоскости. Фокусные расстояния определяются формулами е... е' ес — ад ~=хи — хе= —, ~ =хн. — хе = —, = —. (11.9) $ И! ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЦЕНТРИРОВАННЪ|Х СИСТЕМ 79 Надлежащим выбором начал координат можно упростить формулы (11.1) и (11.2). Рассмотрим два важнейших случая.
6. С л у ч а й 1. Начала координат помещены в главные точки Н и Н'. Абсциссы в этих координатных системах будем обозначать через $ и Е', а ординаты — через т) и т!', Очевидно, т! = у, Ч' = у', а по самому выбору начал координат Ен — — $н = О. Поэтому из (11.8) следует: е = д, Ь = О. Формулы (11.1) преобразуются в ах $ =4+а Ч =4+ЫЧ Абсциссы фокальных точек, ввиду соотношений (11.6), будут $е — — — Йе, $е = а!е, а фокусные расстояния ! = д,1с, !' = — а!с.
Исключая с помощью этих соотношений коэффициенты а, с, е(, получим (1(А О) — Ч = 1"й ° !'Ч Первую пз этих формул можно записать также в виде — '+ Р, =-1. В 'В' (11.11) Но по теореме Лагранжа — Гельмгольца пЧа = п'Ч'а', а потому 1 У л л'' (11.13) Такова связь между фокусными расстояниями Г и !'.
Допустим, как зто обычно бывает, что среда по обе стороны оптической системы одна и та же. Если система -одержит четное число отражений (такая система называется диоптрической), то и = и', и следовательно, ! = — !'. В этом случае формула (11.11) переходит в формулу линзы: 1 ! ! 7 В' Т' (11.14) Если же система содержит нечетное число отражающих поверхностей (такая система называется католтрическоа), то и = — п', и следовательно, ) = ~'. Тогда формула (11,11) переходит в формулу зеркала: — '+ 4 =- — '. Т (' 7' (11.15) Как видно нз рис.
42, НА = — $п, Н'А' = — $'а'. Так как НА = Н'А', то $а = $'а'. Далее, нз уравнений (11.10) находим: Ж' = — !"Ч'$, так что ~Ча = — ГЧЪ' (11. 12) ао ГГОАТЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИ'1ГСКИХ ИЗОЕРАЖСИИП !ГЛ. П В дпоптрическнх системах направления распространения падаюпгсго и прошедшего света одинаковы, а в катоптрических противоположны. 7. С л у ч а й 2, Начала координатных систем помещены в главные фок)сы Р и Р'. Абсциссы в этих системах будем обозначать через Х и Х', а ордииаты через У и )'. Очевидно, Г' = у = т), )" =- у' = т!'. Кроме того, по самому выбору начал координат ХГ =- Х>" = — О. Следователыю, должно быть а = й = О, !>!с = )!", е,'с = 1, как в этом нетрудно убедиться с помощью формул (11.6) и (!1.9).
В результате формулы (!!.1) переходят в ХХ' = гг", (!1.16) Г Х (11.17) Эти прос~ые формулы были известны еще Ньютону, — правда, для частных случаев. 8. К кардинальным точкам, наряду с главными и фокальнымп, относят еще узловые точки. Они естественно появляются при рассмотрении углового увеличения системы.
Угловое увеличение есть отношение а'/а углов а' и а, образуемых с главной оптической осью проходящим и падающим лучами. Узловыми точкаяш называются две соарявкенные точки К и К', лежаи(ие на г,!авной оптической оси, которые отображаются друг в друга с угловым увеличением +1. Это значит, что всякий луч, проходящий через узлоную точку К, после прохождения через оптическую систему остается параллельным своему исходному направлению и проходит через вторую узловую точку системы К'. Для доказательства существования и определения положения узловых точек положим в формуле (! 0.6) а = а'. Это дает лу = и'у', или на основании формулы (!1.13) у'!у = — Н7'.
Сравнивая этот результат с формулами (11.17), находим абсциссы узловых точек относительно фокальных точек: Х,= — ), Х;= — 7, (! ! 18) пли на оснсгсппи определения фокусных расстояний ГК = Н'с', Р'К' = НР. (11.19) Это приводит к следующему правилу для нахождения узловых точек. Отрезки НР и Н'Г' надо перенести параллельно самим себе, !Тобы их начальные точки Н и Н' совпали с фокусами Р' и Р соотестствепно.
Тогда другие концы этих отрезков Г и р' укажут поло- 1,ение узловых точек К' и К (рис. 43). Если и' = п, то )' = — !. В этом случае узловые точки совпадают с главными. Узловые точки также могут быть использованы для построения оптических изображений в центрироваиных системах. Иногда к числу кардинальных точек относят обратные главные и обратные узловые точки.
Первые характеризуются линейным 81 ОБШНЕ СВОЙСТВА ЦЕНТРИРОВАННЫХ СИСТЕМ увеличением, равным минус единице; вторые — угловым увеличением, равным также минус единице. Доказательство существования и определение положения таких пар точек не представляют затруднений. 9. Отношение длины БХ' изображения бесконечно малого отрезка, параллельного главной оптической оси, к длине бХ самого отрезка называется осевым или продольным увеличением. Для этого увеличения из формулы (11.16) находим (11.20) Сравнение этих формул с формулами (11.17) показывает, что осевое увеличение в оби(ем случае не равно поперечному увеличению.
Отсюда следует, что изображение бесконечно малого объемного предмета в центрированной оптической системе, вообще говоря, не подобно самому предмету. Исключение составляет случай, когда предмет Рнс. 43. помещен в одной из узловых или в одной из обратных узловых точек системы. В самом деле, для изображения бесконечно малого объемного предмета с сохранением подобия необходимо и достаточно, чтобы осевое увеличение по абсолютной величине было равно поперечному увеличению, т. е. — ~ — ° й Г Х~ Х Отсюда Х = ~~'.
Формулы (11.17) и (11.13) дают У' / ч г' р и' После этого из теоремы Лагранжа — )ельмгольца (10.6) получаем и = -+-а', что и требовалось доказать. Если система диоптрическая (см. пункт 6), то знаки ) и 7' противоположны. В этом случае, как видно из (11.17), ЬХ и бХ' имеют одинаковые знаки.
Отсюда следует, что при перемещении предмета вдоль оптической осн его изображение перемещается в том же направлении. Напротив, если система катоптрическая, то при перемещении предмета вдоль оптической оси его изображение перемещается в противоположном направлении. А так как в диоптрических системах направления распространения света в пространствах предметов и изображений одинаковы, а в катоптрических противоположны, то для всех систем справедливо такое правило: 82 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИИ !ГЛ. Н Если предмет перемещается вдоль оптической оси в направлении распространения падающего света, то его изображение перемещается в направлении распространения проигедтего света, и наоборот. 1О. В случае телескопической системы с = О.
Но коэффициент й в нуль обращаться не должен, иначе формулы (11.1) потеряли бы смысл. Не должны обращаться в нуль также коэффициенты а и е, так как в противном случае из формул (11.1) мы получили бы х' = сопз(, у' = О, г' = О, т. е. любая точка изображалась бы всегда одной и той же точкой.
Такой случай в оптических системах не встречается, он имеет только формально-математический характер. Итак, для телескопической системы с = О, й~ О, ачь О, еФ О, Следовательно, должно быть также с' = О, й' ~ О, а' чь О, е' Ф О, как это видно из формул (11.3). Телескопическую систему можно рассматривать как предельный случай фокальной системы, обе фекальные точки которой удалены в бесконе шость (хр — — ~со, хе = -~-оь). Оба фокусных расстояния / и /' телескопической системы бесконечно велики, хотя их отнощение ///' = — и/п' и остается конечным.
Формулы (11.1) для телескопической системы принимают вид х'=Ах+С, у'=Ву, (11.21) где Л = а/й, В = е/й, С = б/й — постоянные. Отсюда видно, что всякий параллельный пучок света после прохождения через телескопическую систему остается параллельным. Постоянные Л и В не независимы. Действительно, формулы (11.9) для телескопических систем дают ее В' ал А' илн на основании (!1.!3) и' и А и'' (11.22) Если за начала координатных систем принять любую пару сопряженных точек оптической оси, то формулы (!1.21) упростятся и перейдут в х'=Ах, у'=Ву. (11.23) Таким образом, поперечное и осевое увеличения телескопической системы постоянны, т. е. не зависян1 от положения предмета. Постоянно также и угловое увеличение, так как по формуле (10.6) (11.
24) Для зрительных труб и любых систем, у которых и = и', (11.25) и $1Ц овщив своиствх цент»ивов»нных систем вз В этом случае угловое увеличение называют просто увеличением трубы, опуская прилагательное «угловое». Эта величина показывает, во сколько раз угол, под которым виден бесконечно удаленный малый предмет в трубу, больше угла, под которым он был бы виден невооруженным глазом. Согласно (11.25), угловое увеличение зрительной трубы равно обратному значению ее поперечного увеличения. Отсюда следует, что увеличение зрительной трубы численно равно отношению ширины падающего пучка лучей к ширине соответствующего выходящею пучка.
Поясним последнее утверждение на примере кеплеровой трубы, состоящей из двух топких собирающих линз — объектива О и окуляра О' (рис. 44). Задняя фокальная плоскость объектива совпадает с передней фокальной плоскостью окуляра. Пусть в трубу рассматривается бесконечно удаленный предмет. Объектив дает Рас. 45, Рис. 44. изображение гС этого предмета в общей фокальной плоскости объектива и окуляра. Допустим для простоты, что один из крайних лучей (луч АЕ) идет вдоль оптической оси трубы, а другой (луч ВС)— под углом а к ней. Проходя через оптический центр объектива, луч ВС не испьпывает преломления.
Угол а есть угол, под которым бесконечно удаленный предмет виден невооруженным глазом; угол а' — угол, под которым тот же предмет виден в зрительную трубу. Угловое увеличение а'!а, согласно рис. 44, численно равно отношению фокусного рассгпсяния объектива к фокусному рассгпоянию окуляра. Но это отношение в свою очередь равно отношению ширины падающего параллельного пучка лучей к ширине соответствующего выходящего пучка (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
