Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 15
Текст из файла (страница 15)
При отсутствии дисперсии все эти волны имели бы одну и ту же фазовую скорость, так что форма возмущения все время оставалась бы одной и той же. Возмущение в целом бежало бы вперед без изменения вида со скоростью, равной той же фазовой скорости. Не то будет при наличии дисперсии. Тогда монохроматические волны разных частот будут распространяться вперед с разными скоростями, вследствие чего форма всего возмущения будет непрврьоно деформироваться (исключение составляют только монохроматические волны, распространяющиеся по-прежнему без изменения формы). В этих условнях понятие скорости распространения утрачивает тот ясный смысл, какой оно имело при отсутствии дисперсии, При определенных условиях, однакр, можно сохранить представление о скорости распространения немонохроматических волн и в средах, обладающих дисперсией, Важнейшей после фазовой скорости является так называемая арупповая ряорость.
-2. Рассмотрим сначала в действительностц н() существующую непоглощающую среду, в которой фазовая скорость о выражается линейной функцией длины волны )Н о=а+И, (8.4) й следовательно, частота оз . - линейной функцией волнового числа ф (э = ай+ 2ПЬ, (84 Произвольное плоское возмущение, распространяющееся в среде, разложим на монохроматические волны, Их число, вообще говоря, будет бесконечно велико. Однако можно ограничиться случаем, Когда оно равно трем.
Это, *)Ган будет видно из дальнейшего; ня ~гл. г введение отразится на общности рассуждений и результатов. На рис. 29 представлены этн три синусоиды в какой-то момент времени. Форма результирующего возмущения зависит от их взаимного расположения. Не нарушая общности, можно принять, что в этот момент какие-то три гребня синусоид А, В, С пространственно совпадают друг с другом. Допустим ради определенности, что фазовая скорость о возрастает с возрастанием длины волны Л (если предположить противоположное, то рассуждения и окончательный результат не изменятся). Х л, Рис.
29. Таким образом, если Л, ) ЛЗ) Л„а о„о,„е, — соответствующие фазовые скорости, то гг ) ЕЗ ) о,. При распространении, например, вправо более длинные волны будут обгонять более короткие, что приведет к непрерывному изменению формы результирующего возмущения. Гребни А, В, С начнут расходиться, гребни А„В„С, разойдутся еще больше, а гребни А„В„С, будут сближаться. Если начало координат поместить в точку, в которой находились гребни А, В, С в начальный момент, то координаты гребней А„В.„ С, в произвольный момент времени 1 представятся выражениями ХЯ (1) = 011 Л11 ХЕ (У) — о21 — Р 2 ХСЗ (~) — ЕЗ~ ЛЗ.
В момент времени т, определяемый условиями о~т — Л~=пт — Л =от — Л, т. е. Л1 — ЛЗ ЛЗ вЂ” ЛЗ Л1 — Лз 3 Л 1 т — — ' 33 Ь' 31 32 32 32 31 32 гребни А„В„С, пространственно совпадут, так что первоначальное взаимное расположение синусоид, а с ним и форма всего возмущения восстановятся. Только роль гребней А, В, С перейдет к гребням А„ В„ С„ что, очевидно, никак не может отразиться на форме результирующего возмущения.
Полученный результат при линейном законе дисперсии (8А), имеет общее значение, т. е. справедлив для произвольного числа синусоид и произвольного начального расположения их. ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ определить скорость возмущения как отноше- и ние расстояния, проходимого возмущением за один «прыжок», к промежутку времени между а последовательными прыжками. Так определенная величина называется ерупповой скорость>о возмущения. В разобранном примере это будет отношение расстояния между дву- мя последовательными положениями макси- А мума возмущения к времени восстановлеРис. Зо. ния т. В момент времени Г = 0 координата максимума х„,„,(0) = О. В момент т координата такого же максимума будет х„,„, (т) = о,т — Л, =озт — Лз = озт Лз = от За время т максимум проходит путь х„,„, (т) — х„,„, (0) = от — Л.
Следовательно, групповая скорость будет и = о — Л!т, или и=о — Х вЂ” „ вз вл ' (8.6) Эта формула впервые была получена Рэлеем (1842 — 1919) и носит его имя. На' рис. 30 приведена графическая интерпретация этой формулы, принадлежащая П. С. Зренфесту (1880 — 1933). На нем в координатах Л, о представлен график АВ прямой (8.4). Так как и о — Л с(о/дЛ = а, то эта прямая отсекает на оси ординат отрезок ВО, длина которого равна групповой скорости и. Формулу (8.6) можно записать в виде ! Вс й /е) + Л ВО~Л) В(~~Х) (Л!' или всз и «'А ' (8.7) Легко также преобразовать (8.6) к виду и = — (1+ — — „).
(8.8) Таким образом, по истечении времени т = ГйЫо, наэзгваемоео временем восстановления, происходит периодическое восстановление формы возмуи(ения. Например, в рассмотренном нами случае трех синусоид в начале координат, где накладывались гребни А, В, С, в начальный момент времени был максимум возмущения. В точности такой же максимум появился через время т в другом месте пространства, где наложились гребни А„В„С,. Распространение возмущения носит как бы прыгающий характер, причем от прыжка к прыжку проходит время т.
Естественно ВВЕДЕНИЕ !гл. г ( 3. Полученные результаты строго справедливы при линейном законе дисперсии (8.4) (или (8.5)). Однако, если возмущение занимает небольшую спектральную область, то эти результаты остаются приближенно верными и в диспергирующих непоглощающнх средах. Возмущение такого типа называется группой волн. Точнее, группой волн называется волновое образование, занимающее столь узкую спектральную область, что в пределах втой области приращение грозовой скорости о с достаточной точностью может считаться пропорциональнылт соотвепгствуюи(ему приращению длины волны Х, а следовательно, приращение частоты оз — пропорциональным соответствующему приращению волнового числа й. Это значит, что в пределах рассматриваемой спектральной области обе зависимости о = о (й) н гь =- ы (я) могут быть аппроксимированы лннейнымн функциями й и й, а именно о=о(7.)+( Е,, (~-),), (8.9) ю = ы (йь) + '1 еь ) (й йь) (8.10) где Х, — какая-то длина волны, лежащая внутри спектральной области, занимаемой группой, а lгь = 2п/Х, — соответствующее ей волновое число.
При допустимости такой аппроксимации можно говорить и о времени приближенного восстановления формы возмущения т = Ж Яо, и о распространении возмущения с групповой скоростью и, определяемой выражением (8.6) или (8,7). На диаграмме Эренфеста в случае группы волн играет роль только малый участок кривой о = о (к), который можно и приближенно считать прямолинейным и заменить соответствующим отрезком касательной. Групповая скорость и представится длиной отрезка ОВ, отсекаемого этой касательной на оси ординат (рис. 31). 4.
Учет высших членов в разложении (8.9) или (8.10) приводит к следующему характеру распространения возмущения. р .зк Возмущение идет вперед, но его форма непрерывно изменяется. Однако по истечении времени т = Ю,Ыо возмущение принимает форму, почти совпадающую с исходной, причем за это время оно продвигается вперед на расстояние х = ит. Можно сказать, что происходит передача энергии возмущения с групповой скоростью и. По истечении последующего промежутка времени той же длительности произойдет то же самое, и т. д. Вообще, в любой момент 1+ т возмущение воспроизводит с малыми искажениями свою форму, какую оно имело в момент 1, перемещаясь за время т на расстояние ит. Но если возмущенве распространяется достаточно долго, то малые измене- 6 в1 ГРуппоэля скОРОсть ния, претерпеваемые им за следующие друг за другом равные промежутки времени длительностью т, будут накапливаться и могут настолько сильно исказить само возмущение, что его форма потеряет всякое сходство с исходной.
Чтобы оценить требующееся для этого время, дополним разложение (8.10) членом второй степени по (к — ио). С учетом формулы (8.7) можно написать; 1 гуи~ «о = о«о+но (и ио) + (К вЂ” )в )в о где нулнком обозначены значения соответствующих величин при А = й,, Пусть бй — максимальное значение разности й — й,. Тогда соответствующее максимальное изменение фазы, обусловленное 1 йи наличием квадратичного члена, будет — ~ — ~(бк)о. Если это изме2~йг пение мало по сравнению с величиной порядка ув, то оно мало скажется на относительной разности фаз между синусоидами, входящими в группу, и тогда форма возмущения будет мало искажаться наличием квадратичного члена. Таким образом, чтобы на интервале времени 1 происходило периодическое восстановление исходной формы возмущения, необходимо выполнение условия 2и ~ ~ ии/сй ~ (6«)о (8.11) Если перейти к длинам волн, то это условие преобразуется к виду Ло ~ ~ йи(УЛ / (6ЛР' (8, 12) Если же интервал времени 1 порядка или больше правой части этого неравенства, то о восстановлении исходной формы возмущения говорить не приходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
