Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 13
Текст из файла (страница 13)
С точностью до бесконечно малых высшего порядка отсюда получа. э ем !дл+ л Ж = О. По определению радиуса крн. А внзны ! йчр, где гр — угол между касательными С к лучу АС в точках А н С, равный углу между касательными к отрезкам АВ н СО а тех же точках. Оченндно, Ш вЂ” а~р, где а — длина отрезка АВ.
Прнращенне показателя преломления -дл пронсхохнт 1 ч / вдоль главной нормалн /1/, так что дл = (дл/ду) а. 1 ~ / Учитывая все это, получаем: Вр (дл/д/т) а — ло|р = О, С / откуда / 1 1 дл /р л дм' / что совпадает с формулой (4.1). (6,! 8) й 7. Принцип Ферма 1. Пьер Ферма (160! — 1675) выдвинул принцип, согласно которому свет при раслроРнс, ЗО, странении из одной точки в другую выбирает путь, которому соответствует наименьшее время распространения. Ферма руководствовался телеологическими соображениями, согласно которым природа действует целенаправленно: она не может быть расточительной и должна достигать своих целей с наименьшей затратой средств.
Подобные соображения, конечно, чужды науке и не могут служить обоснованием принципа Ферма. Но сам принцип (после введения некоторых уточнений) верен и может оказаться полезным при решении отдельных вопросов геометрической оптики. Зто было продемонстрировано уже самим Ферма, который с помощью своего принципа вывел закон преломления Снеллиуса и получил такое же выражение для показателя преломления, что и в волновой теории света. В частности, он пришел к заключению, что скорость света в более преломляющей среде меньше, чем в менее преломляющей. 2.
Для доказательства принципа Ферма допустим сначала, что показатель преломления среды меняется в пространстве непрерывно и достаточно медленно, так что условия применимости геометрической оптики выполнены. Пусть в среде распространяется волна вида (6.5), например порожденная точечным источником. Ей соответствуег система лучей, представленная на рис, 21.
Если зйконал Ф однозначная функция координат, то из уравнения (6.11) 48 введение 1гл, 1 следует, что циркуляция вектора пз по любому замкнутому кон. туру равна нулю, т, е. $п(зсУ) О, (7.1) где сУ вЂ” вектор элементарного смещения вдоль этого контура.
Возьмем две произвольные точки А и В, лежащие на одном из лучей. Соединим их произвольной линией АОВ. В силу (7.1) и (з сУ) ~ п (э сУ). лев лдэ Нс луче АСВ векторы э и сУ направлены одинаково, следовательно, (з сУ) = й. На линии же ЛОВ (э сУ) = сУ соз (в, сУ) ( Ж. Поэтому псУ~ ~ пй(. (7.2) лев лов Знак равенства относится только к случаю, когда кривая А.ОВ сама является лучом. Таким образом, если показатель преломРис. 21. ления меняется в пространстве непрерывно, то оптическая длина луча между любыми двумя точками меньше оптической длины макай другой линии, соединяюи1ей те же точки. Но это есть другая рормулировка принципа Ферма, так как оптическая длина луча пропорциональна времени распространения свата вдоль него. Приведенная формулировка принципа Ферма нуждается в уточнении. В некоторых случаях она может оказаться неверной. Рас.мотрим например, среду с сфериче=ки симметричным распределением показателя преломления вокруг центра О (рис.
22). Примером такой сре- Ю цы может служить планетная атмо=фера. Предположим, что показатель преломления меняется в пространстве еак, что световой луч, выйдя из ка- й кой'-либо точки перпендикулярно к радиусу,описывает окружность с цент- Рис. 22, ром в точке О. Пусть свет попадает из точки А в точку В по большой дуге АСВ этой окружности.
Но он чожет пройти из А в В и по дуге АРВ той же окружности, затрачивая на распространение меньшее время. Меньшее время потребовалось бы и в том случае, если бы свет избрал какой-либо другой путь, бесконечно близкий к дуге ЛОВ. Все это противоречит прин- типу Ферма в приведенной выше рмулировкее. ПРИНЦИП ФВРЫЛ 49 Причина противоречия состоит в том, что в приведенном примере вйконал Ф не есть однозначная функция координат, как это предполагалось при выводе. Действительно, если луч описывает окружность вокруг центра О, то он вернется в исходную точку с новым значением эйконала: эйконал Ф получит приращение и(, где 1— длина описанной окружности. Если окружность описывается т раз, то приращение эйконала будет 2тпй Это и значит, что функция Ф неоднозначна.
Для справедливости принципа Ферма необходимо наложить на выбор воображаемых путей распространения света такие ограничения, чтобы эйконал Ф вел себя как однозначная функция координат. В приведенном примере этого можно достигнуть, поставив перегородку вдоль меридиональной полуплоскости ООЕ и ограничиваясь только такими путями, которые не пересекают эту перегородку.
Подобным приемом можно воспользоваться и во всех остальных случаях, в которых эйконал Ф оказывается неоднозначным. Впрочем, в применениях принципа Ферма достаточно ограничиться только такими путями, которые проходят бесконечно близко от действительного пути света. В этом случае надобность во введении перегородок отпадает. 3. При наличии поверхностей раздела сред, на которых лучи могут испытывать отражение или преломление, в формулировку и доказательство принципа А Ферма надо ввести дополнения. Пусть луч, выйдя нз точки А (рис. 23), после отражений или преломлений в точках С, О, Е, ... попадает в точку В. Назовем ~Е' виртуальнылс путем света любую линию АС'0'Е'В между крайними точками А и В, которая получается из АСОЕВ в результате В бесконечно малого боково- Рис. 23. го смешения ее и отличается от нее бесконечно мало-по направлению.
Принцип Ферма утверждает, что оптическ я длина действительного светового пути (или пропорциональное ей время распространения) стационарна, Зто значит, что разность оптических длин действительного и виртуального путей света есть величина более высокого порядка малости, чем боковое смещение виртуального пути относительно действительного. Только эта стационарность, а не минимальность оптической длины луча и существенна в приложениях. При доказательстве достаточно ограничиться преломлением на одной границе. Случай отражения исследуется так же. Пусть 50 игл. г ВВЕДЕНИЕ ММ вЂ” граница раздела сред 1 и 2„ а АС — действительный луч, соединяющий течку А с точкой В (рис. 24). Вообразнмдва бесконечно узких пучка лучей: один в первой среде, исходящий из точки А, другой во второй среде, сходящийся в точке В.
За положительные направления лучей примем направления от А к В. Выберем в этих пучках два луча АС' и С'В, пересекающихся на границе раздела в точке С'. Кривую АС'В можно рассматривать как виртуальный путь света, так как луч С'В в общем случае отнюдь не возникает в результате преломления луча АС'. Обозначим через Фт н Фе эйконалы рассматриваемых пучков лучей, отсчитываемые от точек А н В соответственно. Тогда и йз = ~ л па + ~ п г(з = ~ п с(з — ~ и г(з = Фг (С) — Ф, (С).
АСВ АС СЕ АС ВС Вариация интеграла )л бз при смещении точки С в произвольную бесконечно близкую точку С' границы раздела будет б ~ и г(э = 6Ф, — 6Ф,. Если Ь Вн СС' — вектор смешения, то 6Ф, = (игам Ф, Ь ) = п,(Е,Ь ) и аналогично 6Ф, = и, (Е,Ь'), так что 6~ л Ь=(л1зг — лзз,) Ь". В силу закона преломления Снеллиуса вектор (л,з, — лез,) перпендикулярен к границе раздела сред в точке падения, а потому и к бесконечно малому смешению вдоль границы бг. Таким образом, в первом порядке по бг вариация оп- А тической длины луча АСВ обращается в нуль.
При доказательстве предполагалось, что виртуальный путь состоит из отрезков лучей АС' и С'В. Однако гг сР результат .не изменится, если зти отрезки заменить произвольными беско~т печно близкими к ним линиями, соединяюшими те же точки А и С', С' и В.
В самом деле, поскольку АС' и С'В— действительные лучи в первой и второй б средах, их оптические длины по доказан! ° ному выше минимальны. По этой приРис. 24. чине замена действительных лучей АС' и С'В бесконечно близкими к ннм линиями, соединяющими те же крайние точки, не меняет в первом порядке оптические длины соответствующих путей. Следовательно, вариация оптической длины луча АСВ останется равной нулю, каков бы ни был виртуальный путь света.
А к этому в рассматриВаемом скучав н сводится содержание принципа Ферма. ктг ПРИНЦИП ФЕРМА 4. В применениях иногда удобна следующая теорема, являющаяся непосредственным следствием принципа Ферма. Пусть А и В— произвольные точки луча АСВ (рис. 25). Проведем через точку В произвольную гладкую поверхность ВЕ, ортогональную к лучу АСВ в точке В. Пусть ВР— бесконечно малое смещение вдоль втой поверхности. Соединим начальную точку луча А с точкой 0 произвольной линией АНР, бесконечно мало отличающейся по направленшо от луча АСВ. Тогда варггаг)ия оптической длиньг при переходе от истинного пупги света А СВ к виртуальному ЛНР будет равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
