Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Плоскости равных фаз распространяются в направлении оси Х со скоростью о' = ый'. Она меньше скорости однородных волн с/)/е, поскольку й') го)г е/с, как это следует из(5.17). Амплитуда убывает в направлении оси Я. Когда г — н — оо, амплитуда неоднородной волны возрастает неограниченно. Поэтому плоские неоднородные волны в неограниченной среде существовать не могут; Но они могут при определенных условиях возникать вблизи границы среды.
Так, например, такие волны возникают в оптически менее ввкденин плотной среде прн полном отражеции света (см, $ 66), Поле неоднородной волны заметно лишь в пруррцичном слое, тйлщина коТорого порядка длины волны. По этой причина неоднородные волны называют также поверхностными волнами. ЗАДАЧА Оценить напряженность поля солнечного взлучэлвр вблизи земной поверхности, если величина саляечной постоянной состивляет ркола 2 кел см з мин х = =1,39.!О'эрг см 'с '. Солнечной постоянной извиняется количество энергии, попадэющей ат солнца (при его среднем удэленин бт Земли) зз един(и)гу времени нз единицу площади земной поверхности, перпендикулярной К излучению (при отсутствии абсорбции в атмосфере).
Р е щ е н и е. Волну, нзлучэемую Солнцем, у земной цовердивстн )яожно считать плоской. В такай волне Б Н, поскольку для вакуума з р = 1, с с Плотность патока энергии — ЕН Ез, Прирявнииея среднее внзчение этой 4п 4п величины знзчению солнечной постоянной, получим — Ее=1,39 10', откуда Ез=б,зб ° 10 ", Р Ее 0,024 СГСЭ=7,2 В/см. 4п В 6. Предельный переход от волновой оптики к геометрической 1. Геометрическая оптика является приближенным предельным случаем, в который переходит волновая оптика, когда длина световой волны стремится к нулю. Чтобы показать это, надо было бы исходить из уравнений Максвелла в неоднородных средах, Однако такой путь приводит к громоздким вычислениям.
Мы поступим иначе. Среду, в которой распространяется свет, будем считать прозрачной и однородной. Предполагая сначала, что она изотропна, исключим из уравнений (5.1) и (5.2) вектор гт. С этой целью первое уравнение (5.1) дифференцируем по г, а от обеих частей второго возьмем операцию го(, воспользовавшись при этом векторной формулой го1 го( Е = йгаб с()ч Š— ЬЕ т), (6.1) где А — оператор Лапласа н прямоугольной системе координат, т. е. д' д' д" (6.2) Из полученных таким образом соотношений легко исключить Н. В результате получится 1 д'Е АŠ— —,д, — — О, (6.3) ') Эту формулу легко получить, зэписев левую часть в виде (р(рр)) и рэс.
крыв по обычному правилу двойное векторное произведение. При этом надо толька помнить, что векторы Ч и Е нельзя переставлять, Таким путем получаем: 7 (ГЕ) — РзЕ, т, е, правую часть (б, Ц. вввдвнив 1гл. > что совпадает с (6.8), так как ! Ла ! ! дэа(дх' !. Пренебрегая в (6.6) последним членом, получим (ягаб Ф)' = и'. (6.10) Уравнения (6.10) н (6.7) н составляют систему уравнений геометрической оптики. Из их вывода ясно, что условием применимости геометрической оптики является малость изменения амплитуды волны и ее первых пространственных производных на протяжении длины волны.
В противном случае могут возникать заметные отступления от геометрической оптики. Это происходит, например, в следующих случаях: () на границе геометрической тени; 2) вблизи фокуса, т. е. геометрической точки, схождения лучей; 3) при распространении света в среде с резко меняющимся показателем преломления (например, в мутной среде); 4) при распространении света в сильно поглощающих средах (например, металлах). 3. Величину Ф Клаузиус (1822 — 1888) назвал эйконалом, а уравнение (6.10) — уравнением эйконала. Его можно записать в векторной форме: ягадФ=пв, (6.1 1) где в — единичный вектор нормали к фронту волны ь>1 — ксФ = сопз1, (6.12) проведенный в сторону ее распространения.
Уравнение эйконала определяет скорость распространения волнового фронта в направлении нормали в. Действительно, на основании определения градиента ьюжно записать (6.11) в виде дФ!дэ = и. С другой стороны, дифференцирование уравнения распространения волнового фронта (6.12) дает ый = кс йФ, или со дщ м и сь й( = — — йз = — и йэ = — с(э. с дс с Отсюда для нормальной скорости волнового фронта находим — — и дэ (6.13) т, е. эта скорость такая же, как у плоской волны. Этого и следовало ожидать, так как малый участок волнового фронта в малых объемах пространства должен вести себя как плоский, Полученный результат позволяет построить волновой фронт Р, в момент времени с + йг', если известно его положение Р, в момент й Для этого из каждой точки исходного волнового фронта Р, (рнс. 19) следует отложить в направлении нормали отрезок длиной о й.
Соединив концы всех таких отрезков, мы и получим волновой фронт Р в момент 1+ Ж. Вместо этого можно из каждой точки волнового фронта Рм как из центра, описать сферы радиусом ойг. Огибающая таких сфер и % «1 пРедельный пеРехОд к геометРическОЙ Оптике 45 будет волновым фронтом г«. Оба построения совершенно эквивалентны. Тем самым построение Гюйгенса (см. 9 3, пункт 4) распространяется и иа волны в неоднородных средах. 4. Второе уравнение геометрической оптики (6.7) теперь можно записать в виде йФ+ 2 (6. 14) Если определить луч как ортогональную траекторию к семейству волновых фронтов, или семейству равных фаз (6.12), то взятие про- Рис. 19.
изводпой по з можно понимать в смысле дифференцирования по длине луча в. Интегрируя уравнение (6,14) вдоль луча, придем к соотношению (6.16) где а, — амплитуда в «начальной точке» луча, от которой отсчитывается длина в. Формула (6.15) показывает, что для определения волнового поля во всех точках луча достаточно знать его значение в какой-либо одной точке того же луча. Но уравнения геометрической оптики ничего не могут сказать относительно изменения амплитуды поля при переходе от одного луча к соседнему. Они допускают любые изменения амплитуды от луча к лучу. Необходима только достаточная медленность такого изменения, чтобы волна, формально удовлетворяющая уравнениям геометрической оптики, могла быть реализована в действительности. Таким образом, в приближении геометрической оптики световое поле на всяком луче совершенно не зависит от полей других лучей.
Отсюда следует осяовное представлеяие геометрической оптики о распространении световой энергии вдоль лучей, точнее — вдоль «лучевых трубок», образованных лучами. Отсюда также следует, что прн нахождении волнового фронта построением Гюйгенса новый волновой фронт не выходит за пределы огибающей вторичных сферических волн Гюйгенса. Тем самым дано полное обоснование гипо- 46 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. ! тезы Гюйгенса об огибающей и показано, что эта гипотеза справедлива только в приближении геометрической оптики. К представлению о распространении света вдоль лучей можно прийти и другим путем. Умножая уравнение (6.7) на а и замечая, что ЛФ = д[н ета[( Ф = [)[н (пз), перепишем это уравнение в виде а» [1(н (пэ)+ 2а йга[1 а (пз) = О, б(н (па»з) = О.
или (6.16) 1 ~ Р",Х, (6.17) где Р— минимальный линейный размер диафрагмы, а 1 — расстояние от диафрагмы, измеренное вдоль луча. Оптической длиной линии в однородной среде называется произведение геометрической длины этой линии 1 на показатель преломленмя п. Если среда неоднородна, то оптическая длина определяется интегралом ~ п а(, взятым вдоль рассматриваемой линии, Если АВС— геометрическая длина линии, то оптическая длина ее обозначается через (АВС), т.
е. заключением в круглые скобки геометрической длины. Из построения Гюйгенса, изложенного в пункте 3 этого параграфа, следует, что оптические длины всех лучей между двумя положениями волнового фронта равны между собой. Полученное соотношение по форме совпадает с уравнением непрерывности [([н.г' = О для стационарного течения несжимаемой жидкости. Роль линий тока играют световые лучи, а плотности потока жидкости — вектор 7'= па'з, пропорциональный плотности потока световой энергии, Свет как бы течет вдоль узких «световых трубок», т. е.
трубок, боковые стенки которых образованы лучами. Через эти боковые стенки свет не проникает. Если а — поперечное сечение трубки, то вдоль нее величина па»а сохраняется неизменной, как это видно из уравнения (6.16). Можно выделить отдельную световую трубку, или физичеекпй световой луч, поставив на пути распространяющейся волны (6.5) узкую диафрагму. Только диафрагма не должна быть особенно узкой, а световая трубка слишком длинной. Дело в том, что на краях диафрагмы и вблизи боковых границ трубки амплитуда поля меняется резко, т.
е. условия применимости геометрической оптики не выполняются. Возникает дифракция света, приводящая к уширению светового пучка. Однако, если диафрагма ие слишком мала, а световая трубка не слишком длинна, эти эффекты малосущественны. Но они всегда скажутся на больших расстояниях от диафрагмы. В теории дифракции будет показано, что необходимым условием, при выполнении которого можно говорить о физическом световом луче, является неравенство 47 принцип фврмл В. Нетрудно получнть нз волновых представленнй н выраженне для кривизны луча в однородной среде, Для этого через бесконечно малый отрезок луча АС проведем соприкасающуюся плоскость (рнс. 20).
Она пересечет волновые фронты, проходящне через концы этого отрезка, вдоль кривых АВ н С/). Пусть ВО— бесконечно близкий луч, лежащий в той же плоскости. Так как лучи перпендн. кулярны к волновым фронтам, то все углы бесконечно малого криволинейного четырехугольника АВ!)С прямые. А так как оптнческне длины лучей между любыми двумя положениями волнового фронта одинаковы, то л! = (л+ дл) (!+ + Ш), где ! н !+ гп — длины отрезков АС н ВО, а л н л+ дл — соответствую. щне нм показатели преломления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
