Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Для доказательства возьмем пучок лучей, исходящих из точки А. Все А . м эти лучи ортогональны к волновому К фронту ВР, а их оптические длины и от точки Л до волнового фронта одинаковы. В частности, (АСВ) = (АМК). Е Но по принципу Ферма с точностью до бесконечно малых высшего порядка Рис, 25. (АМК) = (АНК). Далее, пойкдльку поверхности ВРЕ и ВКР касаются друг друга в точке В, длина луча КР будет бесконечно малой высшего порядка по сравнению с ВО. Поэтому оптическая длина АНР будет отличаться от оптической длины АСВ также иа величину высшего порядка малости по сравнению с боковым смешением ВР.
Это и требовалось доказать, 5. Если свет распространяется в однородных средах, граничащих между собой, то в каждой среде путь света будет прямолинеен. В этом случае задача сводится только к нахождению точек на поверхностяхх раздела сред, в которых происходит отражение и преломление светового луча. Поэтому нет необходимости вводить криволинейные виртуальные пути света. Достаточно ограничиться ломаными виртуальными путями, состоящими из отрезков прямых линий, причем изломы таких путей должны происходить на границах раздела рассматриваемых сред. Даже при таких ограничениях оптическая длина действительного светового пути может быть не только минимальной, но и максимальной или стационарной. Чтобы показать это в случае отражения света, возьмем эллипсоидальное зеркало, получающееся от вращения эллипса вокруг его большой оси Р,Р, (рис.
2б). Пусть Рх и Р, — фокусы эллипсоида, Если А — точка на его поверхности, то РгА + Р,А 2а, где 2а — длина большой оси эллипсоида, Поверхность зеркала делит все пространство на две части: внутреннюю, сумма расстояний каждой точки которой от фокусов Р, н Р, меньше 2а, и внешнюю, для которой эта сумма больше 2а, Пусть световой луч выходит из фокуса Рм Тогда после 52 Введение ~гл.
г отражения от эллипсоидального зеркала в точке А он пройдет через второй фокус Р„так как по известному свойству эллипса прямые Р,А и Р,А образуют одинаковые углы с нормалью к поверхности зеркала. При смещении вдоль поверхности зеркала сумма Р,А + Р,А, а с ней и время распространения света из Р, в Р, не изменяются. Вариация времени распространения при таком смещении равна нулю, Однако это время ни минимально, ни максимально — оно погтаянно. Именно по этой причине любой луч, вышедший из Ро обязательно пройдет через Р„в какой бы точке зеркала он ни отразился.
Убедиться в этом можно л, с помощью таких же рассуждений, какие были приведены в пункте 3. Вообразим теперь зеркало 5, касаю- щееся эллипсоида в точке А, обращенное ,вогнутостью в ту же сторону, что и эллипсоид, но имеющее большую кривизну. Световой луч Р,А после отражения от этого зеркала снова попадает в точРис. 26. ку Р,. Однако при смешении точки А по поверхности зеркала 5 длина ломаной Р,АР, уменьшается. Следовательно, время распространения света из Р, в Р, вдоль действительного пути максимально.
Наоборот, если взять зеркало 5', имеющее в точке касания меныпую кривизну, чем эллипсоид, или обращенное вогнутостью в противоположную сторону, то время распространения света вдоль действительного пути будет минимально. В частности, оно минимально при отражении от плоского зеркала. Допустим, наконец, что зеркало 5А5' имеет в А точку перегиба. Тогда при смещении точки падения луча по поверхности этого зеркала время распространения либо увеличится, либо уменьшится, либо останется неизменным, в зависимости от направления смещения. 6, Чтобы разобрать случай преломления, введем понятие анабгррационной поверхности. Пусть точка Р находится в однородной среде с показателем преломления и, а точка Р' — в однородной среде с показателем преломления и' (рис, 27). Поверхность АА', вдоль которойсредыграничатдругсдругом, называется анабгррационной, если любая точка А этой поверхности удовлетворяет условию и РА+и' АР'=С=сопз$.
Для случая преломления анаберрационная поверхность имеет форму так называемого картезианского овала (см. задачу 2 к 2 9). Он обращен вогнутостью в сторону более преломлявшей среды (и') и). Анаберрационная поверхность делит пространство на две части, обладающие следующим свойством. Если точка М расположена в менее преломлякнцей среде, то сумма и РМ + и' МР' ПРИНЦИП ФЕРМА больше С; если же она лежит в более преломляющей среде, то эта сумма меньше С. Докажем следующую теорему. Луч света, вышедший из точки Р, после преломления на анаберрационной поверхности обязательна пройдет через точку Р'. Действительно, пусть РА — падающий луч, а з — единичный вектор, направленный вдоль него.
Соединим точку А с точкой Р' и обозначим через з' единичный вектор, направленный вдоль прямой АР', По определению анаберрационной поверхности вариация оптической длины ломаной РАР'прн смещении точки А по анаберрационной поверхности будет равна нулю. Поэтому, применяя такие же рассуждения, какие были проведены в пункте 2, найдем, что А вектор пз — и'в' перпендикуляренн к анаберрационной поверхности в точке А. Отсюда следует, что АР' дает Р 0 р' направление преломленного и л' луча.
Доказанной теореме можно дать также следующую формулировку. Если АА'— Рис, 27. анаберрационная поверхность относительно пары точек Р и Р', то каждая из этих точек будет оптическим изображением другой при преломлении лучей на втой анаберрационной поверхности. При этом на угловую ширину пучка лучей не накладывается никаких ограничений. Вернемся к исследованию характера экстремума оптической длины луча при преломлении. Наши рассуждения ничем не будут отличаться от рассуждений, проведенных выше для эллипсоидального зеркала.
Допустим, например, что среды граничат друг с другом вдоль поверхности 5 (рис, 27), касающейся анаберрационной поверхности в точке А. Тогда падающий луч после преломления в точке А опять пройдет через точку Р'. Пусть поверхность Е обращена вогнутостью в ту же сторону, что и анаберрационная поверхность, и имеет в точке касания большую кривизну. Тогда при смещении точки падения вдоль 5 она окажется в менее преломляющей среде.
Следовательно, смещенный путь будет иметь меньшую оптическую длину, чем действительный: время распространения света вдоль действительного пути максимально. Напротив, когда кривизна поверхности Я в точке касания А меньше кривизны анаберрационной поверхности, а также тогда, когда поверхность 3 обращена вогнутостью в противоположную сторону, то время распространения вдоль действительного пути минимально. В частности, оно минимально при преломлении на плоской поверхности.
Вниде!!ив ЗАДАЧА !ГЛ г' Система лучей называется орязотомной, если все лучи этой системы ортогональны к одной и той же поверхности. Пользуясь принципом Ферма, доказать пыорему Малюга: орщощомная система лучей оспьмщся орщотомной яослв произ. вольного числа оглражгний ы преломлений. Р е ш е н н е. Пусть все лучи перпендикулярны к поверхности Р (рнс. 28). Проведем через каждую точку этой поверхности луч и отложим на нем отрезок постоянной (но произвольной) оптической длины Е.
Геометрическим местом концов таких отрезков будет какая-то поверхность Р'. Докажем, что все лучи рассматриваемой системы перпендикулярны к поверхности Р', каково бы нн было значение величины Е. Малые отрезки одного из лучей АС С ь"' и С'А' могут считаться прямолинейными. А Аг Возьмем соседний бесконечно близкий луч н притом такой, что длины АВ н А'В' бес. В Е конечно малы по сравненвюс АС и С'А'. Соединим В с С н С' с В' прямолннейнымн отрезками. По принципу Ферма с точно- Г Г стью до бесконечно малых второго нли Рис.
28. высшего порядков (ВЕВ') = (ВСС'В'), а по построению (ВВВ') = (АСС'А'). Таким образом, (ВСС'В') = (АСС'А'1. Вычитая отсюда общую часть (СС'), получим: (АС) + (С'А'] = (ВС) + (С'В ). Так нан по условию отрезок АС перпендикулярен к АВ, то с точностью до второго порядка малости АС= ВС, а следовательно, (АС) = (ВС), Поэтому с той жв точностью (С'А') = (С'В'), нли С'А' = С'В', откуда следует, что С'А' / А'В'. С точки зрения волновой теории теорема Мал!оса почти самоочевидна, Дей. ствительно, для ортотомной системы лучей поверхность Р есть одна из поверх. нослмй равной фазы (волновой фронт). Распространяясь по законам геометрической оптики, она продолжает оставаться поверхностью равной фазы, а совокуп.
ность лучей — оршогонпльной системой. Конечно, ортогональность может н не соблюдаться. Например, волны вида (6.5) прн соблюдении принципа суперпозицни распространяются независимо друг от друга. Каждой нз таних волн соответствует ортотомная система лучей. Однако совокупность лучей, соогветствующнх всем вогнал!, ортотомную систему, вообще говоря, не образует, $ 8. Групповая скорость !. До снх пор прн рассмотрении скорости распространения волн мы предполагали, что соблюдается принцип суперпозицнн и отсутствует дисперсия.
Прн несоблюдении принципа суперпознцнн н наличии дисперсии вопрос о скорости распространения волн становится очень сложным. Ниже предполагается, что принцип супер- позиции соблюдается, но имеется дисперсия. Сначала рассмотрим плоские волны, распространяющиеся в одном направлении, принимаемом за направление осн Х. Бегущую плоскую монохроматнческую волну запишем в виде Е=Е соз(шг — Ах+8), (8.)) где Е, и Ь вЂ” постоянные. Нрн рассмотрении таких волн дисперсия не играет роли, поскольку частота ю имеет единственное значение.
Э В1 ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ Для выяснения смысла скорости распространения рассмотрим уравнение а1 — ах+ б = сопз1, (8.2) Это есть уравнение плоскости, перпендикулярной к осн Х, на которой постоянна фаза волны. Дифференцируя его, получим: в й1— — й йх = О, откуда (8.3) Таким образом, ы/я есть скорость равпространвния поверхности постоянной фазы, ранее обозначавц1аяся через о, Она называется фазовой скоростью волны, С такой скоростью распространяется сннусоидальная волна типа (8.1) без изменения своей формы. Если бы среда не обладала дисперсией, то говорить о какой-либо другой скорости распространения волны пе было бы необходимости. Действительно, произвольное плоское возмущение, распространяющееся в направлении осн Х, согласно теореме Фурье можно представить в виде суперпозицни монохроматических волн вида (8.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
