Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Первая возможность не представляет интереса„ поскоаьку она соответствует тривиальному случаю, когда обе граничащие среды в оптическом отношении тождесгвенны. Вторая возможность и' = — и может быть реализовапа при отражении света. В этом слу. чае уравнение (9.!) переходит в г у' = 4дх (9.2! ) и представляет параболоид вращения с па- и' раметром Р = 24 (параболоидальное зеркало). Если д > О (рис. 34), то фокус Р' (на 1 рис. 34 — точка Р) мнимый, Если д < О Рг (рис. 33), то он действительный, Эти случаи ' ~ 1 угке были рассмотрены в тексте. Результаты решения этой задачи указывают способ построения идеальной линзы для пары сопряженных точек, из когорых одна 1 бесконечно удаленная.
Рассмотрим сначала линзу, ограниченную поверхностью эллипсоида вращения ОВ и а)мрической поверх- Рис. 38. пастью с центром в Р' (на рис. 37 эта поверхность изображена пунктиром). Эксцентриситет эллипсоида должен быть равен 1!л, где и — показатель преломления линзы относительно окружающей среды, Параллельный пучок лучей, падая иа поверхность эллипсонда, после преломления на ней превращается в пучок, сходящийся в точке Р'. Задняя — сферическая — поверхность линзы не меняет направления лучей, поскольку ее центр находится в точке схон<дения пучка Р'.
Таким образом, рассматриваемая линза собирает параллельный пучок лучей строго в одной точке Р'. Если точечный нсточвин поместить в Р', то после прохождения через линзу пучок лучей станет строго параллельным оптиче. ской оси. Рассмотрим далее линзу, ограниченную плоской поверхностью (на рис. 38 она изображена пунктиром) и гиперболоидом вращения с эксцентриситетом л. Параллельный пучок лучей, падающих на плоскую поверхность линзы, после праха кдения через эту поверхность не изменит направления, а после преломления на поверхности гиперболоида превратится в расходящийся пучок лучей, продолжения которых пересекаются строго в одной точке Р . 2. Найти уравнение картезианского овала (см.
5 7, пункт 6). Решен и е. Пусть Р(у, О) и Р'(у', О) — сопряженные точки, для которых поверхность, получающаяся от вращения картезианского овала относительно осн симметрии РР', анаберрационна. Поместим начало координат в точку пере. сечения овала с прямой РР', Тогда по определению анаберрационной поверхности и)' (х — ЯР+уз+л')г(х — д')э-)-уз=и'д' лу ТО ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЭОБРАЖЕНИЯ (ГЛ. П Освобождаясь от радиналов, получиы уравнение картезианского овала: (лз — л") (хе+уз)+ 4 (л' — л") (л"д' — лзд) (ха+уз) х+ + 4лп' (лв — л В') (пч' — л'Ч) (ха+ уз)+ 4 (лыд' — л»В)з хз+ + Зля' (и' — л) (лд — и'д') оу'х = О.
19,3) При определенных значениях параиетрон л, л', д, д' картезианской овал вырождается в поверхности второго порядка. Тогда получаются, в частности, уже ра. зобранные равее случаи, изображенные на рис. 32, ЗЗ, 34, 37 и 33, $10. Преломление на сферической поверхности. Сферические зеркала и тонкие линзы 1. Важнейшие из оптических инструментов илн их составные части относятся к так называемым центрированногм оптическим системам. Они представляют собой оптически однородные преломляющне или отражающие среды, отделенные одна от другой сферическими поверхностями, центры кривизны которых расположены на одной прямой, называсчиой главной оптической осью системы. Обычно, если это не может привести к недоразумениям, прилагательное «главная» мы будем опускать.
2. Начнем с простейшего случая одной сферической преломляющей поверхности, разграничивающей однородные среды с показа- телями преломления и и л п'. Можно предполагать л и' (хотя это и не обязательи и' но), что эта поверхность с« обладает симметрией вра- Р сз и(ения относительно одной из прямых ОС, проходящих через центр кривизна сферической поверхности Рис.
39. (рис. 39). Такая прямая и будет главной оптической осью. Примем ее за координатную ось.Х. Начало координат поместим в точке О, в которой главная оптическая ось пересекает сферическую поверхность. Ввиду симметрии вращения достаточно ограничиться рассмотрением хода лучей в координатной плоскости Хг', Совместим се с плоскостью рисунка. Абсциссы и ординаты будем отсчитывать от начала координат О. Если направление отсчета совпадает с направлением распространения света вдоль оптической оси, то соотнетствующая абсцисса считается положительной; в противоположном случае она считается отрицателаной. То же относится и ко всем другим направленным отрезкам.
Например, на рис. 39 абсцисса точки Р отрицательна, а точка Р' положительна. Ордината считается положительной, если соответствующая точка лежит вьппе оптической оси, и отрицательной, когда она расположена ниже. $ !О! пввломлвнив нл сьевичвскоя повввхности 7$ Допустим, что точечный источник света Р находится на оптической оси системы (рис.
39). Произвольный луч РА после преломления на сферической поверхности пойдет по пути АР', Обозначим длины АР и АР' через и и и' соответственно. Эти длины отсчитываются от точки А и считаются положительными, если направление отсчета совпадает с направлением распространения света, и отрицательными в противоположном случае. Из рисунка видно, что пл. РАС+пл. САР' =пл. РАР'. Так как и О, и') О, то для этих площадей можно написать: пл. РЛС=>у.,(РЛ ~ (АС(з!пер= — Ц,ийз!пЧ>, пл.
САР' ='!,и'й з!и!Р, пл. РАР' = — '7,ии' з1п (гр — !)>) = — >),ии' (з!и <р сов ч> — з!и !р соз !р). Здесь 7(> — радиус кривизны преломляющей поверхности. Он от- считывается от сферической поверхности к ее центру (на рнс. 39 радиус )г положителен), Таким образом, — ий з!и !р+ и')г з!и !р = — ии' (з!и !р соз >(> — з!и !р соз <р). По закону преломления з!и ч>гз)п ч> = и'>п, а потому — и'Рп'+ и'Рп = ии' (и соз гр — и' сов ф). Огсюда и и и с05 !р — и е05>!> (10.1) Положение точки Р' зависит от угла наклона а падающего луча к оптической оси.
Ограничимся, однако, малыми углами а и допустим, что углы !р и >р также малы. Лучи, удовлетворяющие таким условиям, назь>ваются параксиальныл!и (приосевылш) лрчшии. Для них можно принять созгр=созф=1, АР— ОР=х, АР' ОР'=х'. В этом приближении формула (10.1) переходит в и п' л — и' х х' й (10.2) Отсюда видно, что в рассматриваемом приближении положение точки Р' не зависит от угла а. Следовательно, все параксиальные лучи, выходящие из одной точки оптической оси, после преломления на сферической поверхности пересекутся приближенно в одной точке, лежащей также на оптической оси. Точка Р' будет поэтому оптическим изображением точки Р в паракеиальньх лунах.
Во всем дальнейшем предполагается, что все лучи, проходящие через центрированные системы, параксиальны. пРеломление ИА сьеРическоп повеРхности 73 5 101 оси к лучу . Если это направление противоположно направлению вращения часовой стрелки, то угол считается Положительным; в противоположнол1 случае его следует считать отрицательным (т<а рнс. 41 угол а положительный, угол а' отрицательный). Опустим нз точки А перпендикуляр АА' на главную оптическую ось. В приближении паракснальной оптики его длину можно представить в виде ! АА' ! = — ха = — х'а'.
Следовательно, ха = х'а'. Но из формул (10.4) следует х' л'у' х лу (10.5) а ио0ому иуа = и'у'и'. (10.6) х х, й1 Таким образом, величина луа не изменяется при преломлении параксиального луча на сферической поверхности. Эта величина называется ингариантом Лагранжа — Гельмгольца, а равенство (10.6) — теоремой Лагранжа — Гельмгольца, Теорема, очевидно, справедлива для центрированных систем, состоящих из какого угодно числа преломляющих и отражающих сферических поверхностей. Формулы (10.4) можно положить в основу геометрической теории любых центрированных систем в параксиальных лучах.
Применяя их к первой преломляющей поверхности сложной системы, найдем положение изображения, возникающее от преломления на этой поверхности. Полученное промежуточное изображение играет роль предмета для преломления на второй сферической поверхности. С помощью тех же формул (10,4) можно найти положение второго промежуточного изображения, возникающего от преломления на второй сферической поверхности, и т. д. В конце концов путем последовательного применения формул (!0.4) к каждой из преломляющих поверхностей можно найти положение окончательного изображения, даваемого всей системой.
4. В качестве примера рассмотрим тонкую линзу, ограниченную сферическими поверхностями с радиусами кривизны )т, и Рх. Относительный показатель преломления линзы обозначим через и„ приняв за единицу показатель преломления окружающего пространства. Пусть точечный предмет Р находится на главной оптической оси линзы. Толщиной линзы будем пренебрегать и поместим начало координат в ее центре. Обозначим через х абсциссу точки Р, через х, — абсциссу ее промежуточного изображения Р„возникающего от преломления лучей на первой поверхности линзы. Абсциссу х, можно найти с помощью формулы (!0.2), если в ней сделать замену п -ь 1, и' -+ и, х' -+ хо )с — )с,.
Это дает 74 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕИИЛ !ГЛ И (10.8) й 11. Общие свойства центрированных оптичесдих систем 1. Свойства цептрированных оптических систем в параксиальных лучах были систематически исследованы Гауссом (1777 — 1855) в 1841 г. Поэтому оптику параксиальных лучей часто называют гауссовой оптикой, При изложении относящихся сюда вопросов мы применим аналитический метод. Он менее нагляден, чем геометрический метод.
Зато аналитический метод отличается большей простотой и систематичностью. В случае одной преломляющей поверхности координаты х, у точки-предмета связаны с координатами х', у' точки-изображения формулами (10.4). В этих формулах используется одна и та же координатная система в пространствах предметов и изображений. Выберем теперь в этих пространствах разные системы координат, получающиеся из исходной системы параллельным переносом вдоль глзвной оптической оси. Начала координат этих систем лежат на главной оптической осн, но могут и не совпадать друг с другом, Промежуточное иэображение Р, будем рассматривать как предмет при преломлении света на второй сферической поверхности линзы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
