Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Изображение точки Р, возникающее при таком преломлении, и будет окончательным изображением Р', которое дает линза, Абсцисса х' точки Р' найдется из формулы (10.2), если в ней сделать замену и' -+ 1, х -! ЕТ, 14 -4-14,. Таким путем находим п 1 и — 1 х, х' Складывая это равенство с предыдущим, получим ! ! /1 !! — — —,= — (и — 1) — — — . (10.7) х х н,) ЭТО хорошо известная формула тонкой линзы ! ! ! х х' 1' Фокусное расстояние 7 определяется формулой — = (и — 1)~ — — — ).
! ! ! ! (10.9) ~л, г) Эта формула справедлива для всяких тонких линз: двояковыпуклых, двояковогнутых, плоско-выпуклых и т. д. Надо только придерживаться правила знаков, сформулированного в пункте 2 настоящего параграфа. Так, для двояковыпуклой линзы )т! О, Р, (О, а потому фокусное расстояние 7 положительно. для двояковогнутой линзы Р! (О, 77,) О, и фокусное расстояние 7 отрицательно. (В обоих случаях предполагается, что и ) 1.) $ И! ОБШИЕ СВОЙСТВА ЦЕИТРИРОВАНИЫХ СИСТЕМ При новом выборе координатных систем формулы (10.4) преобразуются в ах+ Ь, в х= —, у= — у, сх+ в сх+ в где а, Ь, с, й, е — постоянные.
Их легко вычислить, если известны положения начал координат и параметры преломляющей сферической поверхности. Этими формулами устанавливается соответствие между точками пространства предметов и пространства изображений. Оно называется коллинеарным соответствием (точнее— коллинеарным соответствием с осевой симметрией).
Допустим теперь, что после прохождения через первую преломляющую поверхность лучи испытывают преломление на второй сферической поверхности. Тогда получится второе нзображепие— точка Р" с координатами х", у". Они связаны с х', у' формулами такого же вида, т. е. с'х'+ В' ' у с'х'+ ь" у с новыми коэффициентами а', Ь', с', й', е'. Исключим из этих и предыдущих соотношений координаты х', у' промежуточного изображения Р'. Нетрудно убедиться, что таким путем снова получатся формулы коллинеарного соответствия: а"х+ Ь" „ е" с х + в с"х+ в причем коэффициенты а", Ь", с", й", е" могут быть выражены через десять коэффициентов а, Ь, ..., й', е'. Таким образом, два или несколько последовательно выполненных коллинеарных соответствий эквивалентны одному коллинеарному соответствию.
Следовательно, любая центрированная система в параксиальных лучах устанавливает коллинеарное соответствие между точками пространства предметов и пространства изображений. Его можно выразить формулами сх+В ' сх+ь' ' сх+В (1 1,1) Здесь добавлена формула для координат г и г'. Ввиду осевой симметрии, она совпадает с соответствующей формулой для у и у'. Коллинеарное соответствие определяется четырьмя параметрами, за которые можно принять отношения четырех из коэффициентов а, Ь, с, й„е к пятому.
Поэтому и произвольная центрированная система характеризуется также четырьмя параметрами. Разрешая уравнения (11.1) относительно х, у, г, получим с'х'+ж' у с'х' ж у ' г с'х'+в'г ' (11 ~) 7б ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЯ [ГЛ И причем Ь'=Ь, с'=с, а'= — й, й'= — а, е'= '," . (1!3) Обратное преобразование, таким образом, выражается также формулами коллинеарного соответствия, что, очевидно, является следствием обратимости светового пути (см. 3 10, пункт !). 2. Из формул коллинеарного соответствия вытекают следующие свойства оптических изображений в центрированных системах. 1) Каждая плоскость пространства предмел[ов изображается в виде плоскости.
Действительно, уравнение плоскости в пространстве предметов Ах+Ву+Сг+О=О после замены координат х, у, г их выражениями через х', у', г' по формулам (!1.2) переходит в уравнение вида А'х'+ В'у'+ С'г'+ 0' = О, которое представляет плоскость в пространстве изображений.
2) Каждая прямая пространства предметов изображается в виде прямой, так как прямую можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. 3) Каждая точка пространства предметов изображается в виде точки, так как всякую точку можно рассматривать как точку пересечения трех плоскостей. 3. Из формул (11.1) следует, что конечным значениям х, у, г соответствуют, вообще говоря, конечные значения х', у', г'. Исключение составляют точки плоскости сх+й=О. Каждая точка такой плоскости изображается бесконечно удаленной точкой. Это означает, что все лучи, вышедшие нз одной и той же точки плоскости (11.4), после прохождения через оптическую систему становятся параллельными.
Плоскость (11.4) называется фокальной плоскостью пространства предметов, или передней фокальной плоскостью оптической системы. Аналогично, плоскость с'х'+ й' 0 (!1.5) называется фокальной плоскостью пространства изображений, или задней фокальной плоскостью оптической системы. Параллельные лучи после прохождения через оптическую систему пересекаются в одной из точек этой плоскости.
Точки пересечения фокальных плоскостей с главной оптической осью называются фокальными точками, или главными фокусами оптической системы. Главный фокус пространства предметов (передний главный фокус) будем обозначать через г", а главный фокус пространства изображений (задний главный фокус) — через г"'. $ И! овпп!в свопствх цвнтгнговеппых спстсм 77 Согласно формулам (11.4), (11:5) и (11.3), абсциссы главных фокусов системы определяются выражениями: л, лу а хв= — —, хг = — —,= —. (11,6) с' е' е Система может и не иметь фокальных плоскостей.
Это будет, когда с = О, и следовательно, с' = О. Такие системы называются афокальными, илн телескопическими. Они являются предельными случаями обычных систем, когда обе фокальные плоскости сдвинуты в бесконечность. После прохождения через афокальную систему всякий параллельный пучок лучей остается параллельным, могут изменяться лишь ширина и направление пучка. Примером афокальной системы может служить зрительная труба (телескоп), установленная на бесконечность, В этом случае задняя фокальная плоскость объектива совмещается с передней фокальной плоскостью окуляра.
Рассмотрим сначала системы с конечными фокусными расстояниями. 4. Отношение у'!у называется поперечным увеличением, или просто увеличением системы. Согласно формулам (!1.1) нли (11.2), оно не зависит от у и г. Отсюда следует, что изображение плоского предмета, перпендикулярного к главной оптической оси, подобно самому предмету. Если увеличение положительное, то изображение прямое.
В противоположном случае изображение обратное. Две сопряженные плоскости, отображающиеся друг в друга с поперечным увеличением у'/у=+1, называются главными плоскостями оптической системы. Уравнения таких плоскостей можно получить, полагая в формулах (! 1.1) и (11.2) у' = у. Это дает сх+й — в=О, с'х'+й' — г' =О. (11.7) Первая плоскость называется главной плоскостью пространства предметов (пергднгй главной плоскостью), вторая — главной плоскостью пространства иэображений (эаднги главной плоскостью). Точки пересечения главных плоскостей с главной оптической осью называются главными точками цгнтрированной системы. Главную точку в пространстве предметов будем обозначать через Н, а в пространстве изображений — через Н'. Полагая в формулах (!1.1) и (11.2) у = у', находим абсциссы главных точек: хн= — Ф хн' = с, = ее е — л, е' — в' ьс+ а !е — л! (11 8) 5.
Главные и фокальные точки центрированной системы называются ее кардинальными точкалеи. Так как коллинеарное соответствие определяется четырьмя параметрами, то положение четырех кардинальных точек полностью определяет коллинеарное соответствие. Фокальные и главные точки полностью характеризуют 78 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИИ [ГЛ П оптическую систему в том смысле, что, зная положение этих точек, можно найти изображение любого предмета, даваемое оптической системой. Допустим сначала, что предмет Р точечный и не лежит на глав. ной оптической оси системы (рис.
42). Опустим из точки Р перпендикуляр Р9 на эту ось. Луч РА, параллельный главной оптической оси, или его продолжение в сторону пространства изображений встретит главные плоскости в сопряженных точках А и А'. Поэтому после прохождения через оптическую систему этот луч или его продолжение пройдет через точку А'. Кроме того, он должен пройти через задний фокус Р'.
Двумя точками А' и Р' положение луча в пространстве изображений определяется полностщо. Проведем теперь второй луч РР, проходящий через передний фокус Р. Он Рис. 42. иди его продолжение встретит переднюю главную плоскость в точке В. Проведя через В прямую ВВ'Р', параллельную главной оптической оси, найдем положение луча В'Р' в пространстве изображений. Точка Р', в которой пересекаются лучи А'Р' и В'Р', и будет изображением точки Р. При этом проекция 1~ точки Р на главную оптическую ось изобразится проекцией точки Р' на ту же ось. Это дает правило построения изображения точки и в том случае, когда она лежит на главной оптической оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
