Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 16
Текст из файла (страница 16)
5, Выше предполагалось, что плоские монохроматические волны, входящие в волновое образование, распространяются в одном и том же направлении. Рассмотрим теперь случай, когда такие волны занимают по-прежнему узкую область частот, но распространяются в разных направлениях, лежащих в пределах узкого конуса. Соответствующее волновое образование называется волновым пакетом. Его можно представить тройным интегралом «о«+и««««у+о«у «о«+в«о Е~г, 1)= ~ ~ ~ а(й)е'«и'-«ог(й И йй о« ~«««о в«у оо и«о или сокращенно Е (г, у) = ~ а (д) ецио — «о,(гг (8.13) Частоту «о следует рассматривать как функцию волнового вектора й.
Видом этой функции определяется закан дисперсии волн. Если среда 60 введения [гл. » изотропна, то функция в (й) может зависеть только от длины вектора К но не от его направления. Но в анизотропных средах, например кристаллах, необходимо учитывать и зависимость»» от направления й. Поэтому ниже вид функции ы (й) йе конкретизируется, а рассуждения проводятся в общем виде, Полагая ь» = а» + + Лы, й = й, + ЛК аппраксимируем Ло линейным выражением Л~='д» ЛЙ„+~~ Лйх+д» Лк,=(иЛи), (8.14) где через и обозначен вектор с компонентами дм дм до» и= —, и= —, и= —. (8!5) дх ' " д»»' * д»,' Сокращенно его записывают в символической форме; дм дй ' (8.16) После подстановки соответствующих значений в выражение (8.13) оно преобразуется в Е = А (г, !) е' ~'"и-"!, (8.17) где введено обозначение А (г, () = ~ а (й) е' <~"'-»»ы с(й = ) и (й) е' ьа — '>»» с(й.
Отсюда видно, что в точке М, движущейся со скоростью и по закону г = и! + г; (г; = сопз!), амплитуда А остается постоянной. В такой точке совершаются гармонические колебания Е Ае»!аи — »еч=Ае'н»ч — »~ю~ — »,»д с частотой о, — й,и. По истечении времени т фаза этих колебаний изменяется на (ы, — й»и) т. Если это изменение равно 2п, т. е. 2Л 2п (8.18) то вектор Е в движущейся точке М в любой момент времени г' примет то же значение, какое он имел в более ранний момент ! — т. Так как это справедливо при любом значении параметра г;, то происходит периодическое восстановление формы возмущения с периодом т, причем за это время возмущение перемещается вперед на расстояние ит.
В результате мы снова приходим к представлению о распространении возмущения с групповой скоростью и, опреде- ' ляемой выражением (8.16). В изотропных средах векторы и и )2 параллельны. В этом случае (8.18) легко преобразовать к прежнему виду т = ЮЩ. Однако в анизотропных средах векторы и и й, вообще говоря, не параллельны, и надо пользоваться более общими выражениями (8.16) и (8,18). ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ б! Конечно, и здесь из-за наличия членов высших степеней, отброшенных в разложении (8.14), за время т происходит не точное, а лишь приближенное восстановление формы возмущения.
За это время возмущение претерпевает малые, может быть едва заметные, искажения. Но на больших интервалах времени эти искажения накапливаются и исходная форма возмущения сможет претерпеть существенные изменения. 6. Изложенные соображения позволяют легко решить вопрос о скорости движения энергии или светового с гнала в диспергирующих средах в тех областях спектра, в которых применимо понятие групповой скорости (т, е. вдали от полос поглощения). Прежде всего заметим, что фазовая скорость не имеет ничего общего со скоростью движения энергии, Фазовой скоростью устанавливается только связь между фазами колебаний в различных точках пространства.
Связь такого типа в принципе может существовать и без передачи энергии, как это видно из следующего примера. Вообразим длинную цепочку спортсменов, расположенных вдоль прямой линии на равных расстояниях друг от друга. Пусть оии выполняют одно и то же гимнастическое упражнение, например периодическое движение руками, и притом так, что каждый впереди стоящий спортсмен начинает движение с некоторым запаздыванием по отношению к спортсмену, стоящему за ним. Пусть время запаздывания одно и то же для всех спортсменов.
При наблюдении со стороны будет казаться, что по цепочке бежит волна с определенной фазовой скоростью, значение которой зависит от расстояния между соседними спортсменами и от времени запаздывания, о котором говорилось выше. Наличие такой волны, конечно, ие означает, что каждый спортсмен приводит в движение впереди стоящего спортсмена, Так и возможность распространения в среде плоской монохроматнческой волны еще не дает оснований для заключения о переносе энергии с фазовой скоростью. Строго плоская моиохроматическая волна непригодна для наблюдения передачи энергии, поскольиу она не имеет ни начала, ни конца во времени и в пространстве. Сама постановка вопроса о передаче энергии требует отказа от такой идеализации. Необходимо перейти к волновому возмущению, ограниченному в пространстве по крайней мере с одного конца, т.
е. имеющему передовой фронт, перед которым возмущение отсутствует. Подходящим волновым образованием может служить группа волн. Если выполнено условие (8.12), то средняя скорость энергии, переносимой группой, совпадает с групповой скоростью. Действительно, форма группы, какую она имела в момент (, восстанавливается без заметного искажения в более поздний момент времени (+ т. При этом группа вместе с локализованной в ней энергией за время т перемещается вперед на расстояние х = ит.
Так как такое восстанов)!ение формы имеет место, каков бы ни был момент времени (, то движение энергии введения е групповой скоростью будет происходить на протяжении как угодно длинного промежутка времени, даже если за это время группа существенно изменит свою форму. Итак, в области, далекой от области сильного поглощения, скорость движения энергии в группе волн совпадает с групповой скоростью. То же самое приближенно справедливо и для скорости движения энергии в волновом возмущении, -занимающем сравнительно широкую спектральную область, если только в пределах этой спектральной области групповая скорость и = и ()) меняется мало. Если ширина спектральной области ЬХ, занимаемой группой, стремится к нулю, то группа в пределе переходит в монохроматическую волну.
Можно поэтому сказать, что средняя скорость переноса энергии в монохроматической волне совпадает с групповой скоростью. Это утверждение следует понимать нмеипо в приведенном смысле, рассматривая монохроматическую волну как предельный случай квазимоиохроматической. Нельзя ограничиться идеализированной плоской строго монохроматической волной, отвлекаясь от представления ее как предельного случая квазимонохроматической волны. При такой абстрактной постановке вопроса утрачивается связь с реальными явлениями, а потому с точки зрения физики она бессмысленна.
Прямые измерения скорости света сводятся к измерению расстояния, проходимого световым сигналом за определенный промежуток времени. Из изложенного выше следует, что этот метод практически дает групповую скорость. То же самое, как показывает подробный анализ, относится ко всем известным косвенным методам измерения скорости света.
Фазовую скорость, точнее — отношение фазовых скоростей в двух различных средах, можно определить по отношению показателей преломления, используя формулу волновой теории (3.7), в которую входят фазовые скорости света в рассматриваемых средах (см. 5 64). 7. Остановимся еще на вопросе о скорости распространения пергдсвого фронта волнового возмущения. Речь идет о волне, резко Ограниченной.
передовым фронтом, перед которым никакого возмущения нет. Скорость такого фронта точно совпадает со скоростью света в вакууме с. В этом легко убедиться, исходя из основных представлений электронной теории. Согласно этой теории, всякую среду следует рассматривать как вакуум, в который вкраплены молекулы и атомы вещества. Свет распространяется в вакууме между атомами и молекулами вещества, т.
е. всегда со скоростью с. Когда световое возмущение достигает какого-либо атома, электроны и атомные ядра приходят в колебания и сами становятся центрами излучения новых электромагнитных волн. Эти вторичные волны накладываются на первичную волну и тем самым определяют все волновое поле в среде. Но из-за инерции электроны и ядра не сразу приходят в колебания. Пока электроны и ядра не пришли $8) ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ в колебания, они не излучают вторичные волны, а потому не оказывают влияния на распространение возмущения. Поэтому ясно, что передовой фронт должен распространяться в среде с той же скоростью, что и в вакууме, Но почему же при измерении скорости света получается не с, а другая величина? Дело в том, что передовой фронт несет слишком малую энергию, а приемники света недостаточно чувствительны, чтобы ее обнаружить.
Количественные расчеты, выполненные впервые Зоммерфельдом (1868 — 1951) и более подробно Л. Бриллюэном (1889 — 1969), показали, что это действительно так. ГЛАВА П ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ 9 9. Понятие оптического изображения 1. Если пучок световых лучей, исходящий из какой-либо точки Р, в результате отражений, преломлений или изгибаний в неоднородной среде сходится в точке Р', то Р' называется оптическим изображением или просто изображением точки Р. Точку Р' называют также фокусом геометрического схождения лучей.
Изображение Р' называется действительнылц если световые лучи действительно пересекаются в точке Р'. Если иге в Р' пересекаются продолжения лучей, проведенные в направлении, обратном распространению света, то изображение называется мнимым. При помощи оптических присгюсоблений мнимые изображения могут быть преобразованы в действительные. Например, в нашем глазу мнимое изображение преобразуется в действительное, получающееся на сетчатке глаза. Если в некоторый момент времени изменить на противоположное направление магнитного или электрического вектора, то, согласно принципу обратимости (см. т.
П1, э 83, пункт 8), форма лучей остается без изменения, но направление распространения света изменится на противоположное. Точка Р' будет играть роль источника света, а Р— его изображения. Поэтому Р и Р' называются сопряженными илн взаил~но сопряженными точками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
