Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пусть Я вЂ” какая-то гладкая поверхность, а О— произвольная точка на ней (рис. 53а). Нормаль к поверхности Я в точке О обозначим через йг. Проведем через ттг плоскость П, пересекающую поверхность Я вдоль некоторой кривой 1. Если плоскость П вращать вокруг нормали 4т1 в пределах 180', то кривизна кривой 1., вообще гово- П ря, будет изменяться, достигая в каком-то Ф положении Ет максимума„а в другом положении ~.э — минимума. В дифференциальной геометрии-доказывается, что нормаль- с! ные сечения поверхности 5 максимальной и минимальной кривизны взаимно перпендикулярны.
Эти сечения называются главными нормальными сечениями поверхности 5, проходящими через точку О. Линии, по Рис Зва. которым они пересекают поверхность Я в окрестности точки О, называются линиями кривизны, а радиусы кривизны последних )с, и )кт — главными радиуса,ни кривизны поверхности Я. Если знаки )с и тст одинаковы, то линии кривизны обращены вогнутосгями в одну и ту же сторону; если разные, то в противоположные стороны.
Если в точке О )тг = ттз то эта точка называется точкой закругления поверхности. 3. Пусть теперь поверхность Я является волновым фронтом. Возьмем на ней какую-то элементарную площадку й5. Бесконечно узкий пучок лучей волнового фронта, проходящий через эту площадку, называется астигматическим, сслн главные радиусы кривизны )ст и гса не совпадают между собой. Луч, проходящий через центр площадки сЮ, называется главным '), Вообще говоря, две нормали к поверхности 5 не пересекаются в одной точке. Однако нормали, восстановленные в бесконечно близких точках, лежащих на одной и той же линии кривизны, пересекаются в одной точке (если пренебречь величинами высших порядков малости).
Заметив это„возьмем в качестве элемента 4(Я бесконечно малую площадку АВОС, имеющую форму криволиней- -') При отсутствии симметрии площадки понятие ее центра, строго говоря, теРяет смысл. Однако и в этом случае можно указать какую-то, хотя н не совсем четко определенную, точку в середине площадки, которую можно рассматривать как центр последней.
98 ГеометРическАя теОРия Оптических изОБРАжеттги ~гл и ного четырехугольника, сторонамн которою служат линии кривизны поверхности 5 (рнс. 536). Лучи, лежащие в главных сечениях элемента волнового фронта й5, проходящих через его центр, сходятся в различных точках р, и г„называемых гранильными глочкали; расстояние с",г, называется астигматинеской разностью элементарного лучка. Лучи, проходящие через противоположные стороны АВ и СР, пересекутся в точках М„и А', соответственно. Лучи, исходящие нз всякой промежуточной линии кривизны между сторонамн АВ и СР, сойдутся в какой-то промежуточной точке бесконечно малого отрезка М,У„проходящего через фокальную точку Г,. Аналогично, лучи, исходящие нз линийкрнвизны 17 нг Ряс.
Езб. между сторонами ВР и АС, пересекутся в какой-то точке друго. го бесконечно малого отрезка М,У„проходящего через вторую фокальную точку р,. Отрезки М,УГ и М,У, называются фокальными отрезками элементарного астигматического пучка лучеи, исходящих от элемента волнового фронта АВСР. Если элементарный астигматический пучок лучей исходит из светящейся точки, то фокальпыс отрезки М,У, н М,У, принято называть изображениями этой точки, даваемыми астигматическим лучком, хотя точечного изображения в этом случае и не существует.
Если элемент АВСР обладает симметрией прямоугольника, то отрезки М,У, и М,У, будут перпендикулярны между собой, а также к главному лучу пучка. В общем случае это может быть и ие так. При бесконечном уменьшении поперечных размеров пучка лучей отрезки МТУТ н М,У, стягиваются в фокальные точки г, и р,. Таким образом, в отличие от гомоцеитрического пучка, беско. печно узкий астнгматический пучок дает не одно, а два точенньй изобраткенил г, и Р светящейся точки.
Конечный пучок лучей $14] дстигмдтнческие пучки пучек Кдустикл 99 можно разложить на элементарные астнгматнческне пучки, каждому нз которых соответствует пара фокальных точек. Геометрическое место этих точек есть двухлнстная поверхность„называемая каустической поверхностью, нлн каустикой.
ЗАДАЧА Точечный источник света Р помещен в прозрачной однородной среде, ограннчекной плоскостью. Световые лучи, исходящие из Р, испытывают преломление на этой плоскости. Накти для них каустическую поверхность. Р е ш е и в е. Каустила преломленных лучей состоит из двух листов. Один из них есть геометрическое место фокальных точек амридконольлых лучей, т, е. лучей, лежащих в плоскости падения главного луча элемектариого астигма- В тического пучка. Другой — геометрическое места фокальных точек эхэаюо- В' Рплланьгх лучей т е лучей лежащих в перцендккулярной плоскости, „роходящей через главный луч элемен- лг,г-- Х тарного пучка.
Пусть л — показатель преломления э среды, в которой помещен источник Р. Показатель преломления пространства, с которым граничит эта среда, О~ примем за единицу, Введем прямоугольную систему координат с началом О, расположенным на границе сре- Х ды. За ось х примем нормаль к поверх- Р .54 ности среды, направив эту ось в сто- нс. 5 рону точки Р (рис. 54).
Ввиду осевой симметрии достаточно найти сечение каустической поверхности плоскостью, проходящей через ось Я. Прямую, вдоль которой эта плоскость пересекает границу среды, примем за ось Х, Найдем сначала каустнку для мерндиональных преломленных лучей, Уравнение преломленного луча АВ будет а= — с(йф (х — Ь (кф), где й — расстояние от точки Р до границы среды, ф — угол падения нз среды на эту границу, ф — угол преломления. Для бесконечно близкого луча РА'В' углы ф н ф получат приращения йф н с(ф. Приращение координаты г при одном и том же значении абсциссы х при этом будет равно х - Ь 19 ф „Ь с1К ф „ мпз ф ф созе ф нлн с использованием закона преломления з!п ф = п Мп ф: х — й(уф йс1кфсозф Б!Паф псОФф Координаты хы к зж точки Р„„в которой пересекаются продолжения бесконечно йлизких нерндиональных лучей АВ и А"В', найдутся отсюда, если приращение зх прирщщятв нулю, Этп дает хю )а ~(аф — — х — ), ааг Ь вЂ” х-.
ома айтфт коаэ ламэф )' аг лсщеф' (14; 1) ь 100 ГеОметРическАя теОРия Оптических изОБРАжений (Гл и ссеь ф "' псоззф' где 1 — расстояние от предмета Р до точки выхода А прш>омленного луча, а 1т — расстояние меридианального изображения Рт до той' же точки. Еше проще находится каустика для екеаториальньгх,лучей. Пусть РАВ— один нз лучей, нсходяшнх из точки Р (рнс. 54). Если этбт луч вращать вокруг перпендикуляра ОР к преломляюшей поверхности, то получится конус падающих н соответствующий ему конус преломленных лучей, Вершиной второго конуса будет точка Р„в которой продолжение преломленного луча АВ пересекает перпендикуляр РО. Бесконечно малые пучки падающих и преломленных лучей, лежащих на поверхностях указанных конусов, для которых луч РАВ является главным, будут, очевидно, расположены в плоскостях, перпендикулярных к плоскости падения луча РАВ. Значит, лучи этих Бучков будут зкеаториальными, а точка Р, — изображением в этих лучах.
Таким образом, все фокальные точкн экваториальных лучей расположатся на перпенднкуляре РО, т. е. каустика таких лучей выродится н отрезок этого перпендикуляра. Рассгоянне 1 точки Рь от точки выхода преломленного луча АВ будет Р,А = 1 з1п ф)з)п ф, т. е. 1ь и (14.3) Результаты вычислений представлены на рнс. 55 для и = 1,5 (стекло). Каустнка энваторнальных лучей представляется вертикальным отрезком ОР', длина которого равна А)п, Сечение каустики меридианальных лучей плоскостью Рис.
55. рисунка есть кривая ВР'А, лля которой Р' является тачкой еазералы. Продолжения преломленных лучей, изображенные на рисунке пунктнрнымн прямыми, касаются кривой ВР'А, Таким образом, есян начертить еще сечение волнового фронта вышедших преломленных лучей, то дня этого сечения кривая ВР'А будет ееолютой. Сама каустнка меридианальных лучей получится от вращения этой эволюты вокруг вертикальной прямой РО, Для паракснальвых пучков Зто я есть уравнение каустики для меридианальных лучей, Используя его, нетрудно вывести формулу (14.2) ' к151 ГВ1 геометпнческия Аверрхции фекальные точки меридиоиальиых и экваториальных лучей совпадают и получаются в Р'. Крайние точки А и В каустики меридиоиальиых лучей получаются от пересечения предельных лучей полного отражения РА и РВ с границей среды.
11реллагаем читателю начертить каустику меридиоиальиых и экваториальных лучей для случая и < К е 15. Геометрические аберрации центрйрованных систем 1. Геометрические аберрации в центрированных системах, т. е. отступления от паракснальной оптики, вызываются непараксиальными пучками лучей, участвуюшими в образовании оптических изображений. Дадим классификацию таких аберраций. Произвольньш луч в пространстве предметов можно задать, указав прямоугольные координаты у, г и Ч, Ь точек его пересечения с предметной плоскостью (т. е.
плоскостью, проходяшей через изображаемую точку Р перпендикулярно к главной оптической оси) н плоскостью входного зрачка. После прохождения через оптическую систему луч пересечет плоскость параксиального изображения в точке с координатами у', г'. Координаты самого параксиального иэображения (называемого в дальнейшем также параксиальным (йокусом) обозначим через у;, г,'.
Тогда разности Ьу' = у' — у,', Аг' = г' — г,' и можно принять за меру отступлений оптики реальной системы от предельного случая'параксиальной оптики. Координаты у', г' будут функциями аргументов у, г, т), ~: У'=~х(У, г, Ч, Ь), г'=Ух(У, г, Чэ О. Для классификации геометрических аберрацнй разложим этн функции в степенные ряды по своим аргументам. Линейные члены этих разложений, пропорциональные у и г, соответствуют параксиальной оптике.
Линейные члены по Ч н ь не войдут, так как в параксиальном приближении у' н г' не зависят от наклона лучей, выходящих нз точки Р. Не могут войти и члены четных степеней ввиду осевой симметрии оптической системы. Из всего этого следует, что разложения в степенные ряды отклонений Ау' = у' — у,' и Ьг' = = г' — г,' могут содержать только члены нечетных степеней по у, г, Ч, Ь, причем эти разложения могут начаться с членов, степень которых не ниже трех. Считая аргументы у, г, Ч, Ь малыми, сохраним в разложениях только члены третьей степени. Аберрации, вычисленные в этом приближении, называются первичными, или аберрациями третьего порядка. Члены пятой степени вызывают аберрации пятого порядка, и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
