Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 25
Текст из файла (страница 25)
д. Мы ограничимся только аберрациями третьего порядка, Переходя к векторным обозначениям, введем три вектора, перпендикулярных к главной оптической оси системы: Р=у/+Ф, Р'=у',/+гЪ, а=т)у+Р, 102 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОВРАЖЕННП 1ГЛ. !1 где т и Ф вЂ” единичные векторы, указываюшие направления координатных осей У' и У. Вектор г определяет положение точки-предмета Р в предметной плоскости, вектор г' — точки пересечения выходящего луча с параксиальной плоскостью изображения, вектор «т— точки пересечения падающего луча с плоскостью входного зрачка. Вектор Лг' = Ьу/+ ЬЕЪ можно разложить по векторам О и г. Ввиду осевой симметрии коэффициенты этих разложений могут зависеть только от «инварнантов врашения» а», (Ог) и г».
Поэтому с точностью до членов третьей степени включительно Лг' = [АО»+ В (пг) + Сг»1 о+ [Ра'+ Е (аг) + Рг»1 г, (15.1) где А, В, С, Р, Е, Р— постоянные коэффициенты, зависящие от устройства оптической системы н от положения предметной плоскости. В дальнейшем будем понимать под О раДнус входного зрачка, выделяя тем самым падающие лучи (или их продолжения), проходящие через точки окружности входного зрачка. Тогда вектор Лг' окажется разложенным по степеням радиуса входного зрачка. Назовем абвррачионнойкривой кривую, по которой плоскость параксиального изображения пересекает пучок лучей, проведенных из точки-объекта Р через окружность входного зрачка. Изображением точки Р в параксиальной плоскости изображения будет ие точка, а какое-то пятнышко, ограниченное аберрационной кривой.
Для наглядности можно представить, что в качестве апертурной взята нрисовая диафрагма, радиус которой можно непрерывно менять. Тогда разложение (!5. !) определит, как в рассматриваемом приближении будет меняться аберрационная кривая при изменении радиуса этой диафрагмы. Отступления от параксиальной оптики определяются, конечно, суммой (!5.!) в целом, а не отдельными слагаемыми, из которых она состоит. Однако при классификации аберраций имеет смысл рассматривать каждое слагаемое в отдельности и рассуждать так, как если бы остальных слагаемых не было совсем.
Тогда, в зависимости от степени О, все аберрации третьего порядка можно разбить на четыре группы, которые мы и рассмотрим. 2. Сферическая аберрация. Зта аберрация вызывается членом третьей степени Ао»п, так что при наличии одной только сферической аберрации ~ Лг' ~ = АО» = сопз!. Следовательно, аберрационной кривой будет окружность с центром в параксиальном фокусе и с радиусом АО'. Каждая точка будет изображаться в виде кружка рассеяния, радиус которого пропорционален кубу радиуса входного зрачка и не зависит от положения этой точки.
Освещенность кружка рассеяния быстро убывает от центра к краям. Происхождение сферической аберрации наглядно пояснено на рис. 56. Пусть точечный объект лежит на главной оптической осн системы. Выходящие нз него параксиальные лучи встречают пло- гаомвтгпчзскне АвеРРАпнн !03 скость паракснальных изображений в точке 6.
Лучи, проходящие через окружность выходного зрачка 00', сойдутся на оптической осн в точке М, которая может лежать как ближе, так н дальше 6. Лучи, проходящие через какую-либо окружность в плоскости выходного зрачка, концентрическую с окружностью 00', сойдутся на оптической осн между точками М н 6.
Расстояние Мб называется продольной сферической аберрацией. Если в плоскости параксиальных изображений АА' поместить экран, то на нем получится светлый кружок радиуса 6А. Радиус 6А называется поперечной сферической аберрацией. С точностью до членов третьего порядка включительно поперечная аберрация пропорциональна кубу апертуры 2и.
Отсюда следует, д' что продольная аберрация пропорциональна квадрату апер- 4 туры. Если экран перемещать от д плоскости АА ' по направлению гУ к М, то радиус кружка рассея- Я' ння сначала будет уменьшаться, а затем начнет увеличиваться. й Нетрудно показать, что наименьший кружок рассеяния получится, когда экран займет по- Рис. 56.
ложение ВВ' на расстоянии Ч,М6 от плоскости паракснальных изображений АА'. Однако плоскость ВВ', строго говоря, не будет плоскостью наилучшей отчетливости изображения. Прн нахождении последней необходимо учитывать не только размеры кружка рассеяния, но и распределение освеи1енности внутри этого кружка. Исходя из дифракцнонных соображений, можно показать, что при наличии одной только сферической аберрации плоскость наилучшей отчетливое!и изображения проходит посередине между точками М и 6.
Сферическая аберрация есть единственная нз геометрических аберраций, остающаяся и в том случае, когда точка-объект находится на главной оптической осн системы. Все прочие геометрические аберрации в этом случае исчезают. Это верно в любом приближении, а не только для аберраций третьего порядка. 3. К о м а. Если в разложении (15.Ц отличны от нуля только коэффициенты В и О, то соответствующая аберрация называечся комой. В этом случае Ле' = В (т'!а + 0о'г.
Отсюда легко получить ~Ьк'-~ О+ — Я а'к~ = ( — Фг ) . 104 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИИ [ГЛ. и Следовательно, аберрационной кривой будет окружнослть радиуса '/»Во»Г, центр которой смещен от параксиального фокуса в направлении вектора г на расстояние (Р + '/ В)п»г. Теперь легко получить представление о характере изображения точечного объекта при наличии одной только комы в отсутствие других вберраций. Для этого проведем в плоскости входного зрачка произвольную окружность, центр которой совпадает с центром зрачка. Лучи, исходящие из точечного объекта и проходящие через эту окружность, пересекут плоскость параксиального изображения также по окружности.
Совокупность таких окружностей и даст изображение рассматриваемого точечного обьекта в этой плоскости. Окружности имеют две прямолинейные огибающие, Пересекающиеся в параксиальном фокусе и составляющие Рис. Рз. Рис. 57. между собой угол а, определяемый соотношением Б1п (сс/2) = = В/(В + 2Р). Более подробное исследование, которое мы не приводим, показывает, что В = 2Р, а потому а = 60'. Направление вектора г является биссектрисой угла между огибающими (рис.
57). Изображение точки, таким образом, напоминает комету. Отсюда и произошло название скома». Происхождение комы ясно нз рис. 58. Она обусловлена косыми пучками лучей. 4. Астнгматизм косых пучков и искривление плоскости изображения. Эти аберрации удобно рассматривать совместно, так как обе они обусловлены членами первой степени по и и второй степени по г. Они возникают, когда оба коэффициента С и Е или один из них отличны от нуля. Если все прочие коэффициенты равны нулю, то формула (15.1) переходит в (15.2) Для определения формы аберрационной кривой ось У проведем через точку-объект Р. Тогда / = у/. Уравнение окружности входного зрачка запишем в параметрической форме т( = о соз ~р, ~ = ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ = о зт ~р, где ~р — центральный угол, рассматриваемый как пара- метр.
Таким путем из предыдущего соотношения получаем уравне- ние аберрационной кривой: Ьу' = (С+ Е) утт1 = (С+ Е) оу' соз <р, (15.3) Лг' = Су'Ь = Спут Рйп ~р. Это — эллипс, центр которого находится в параксиальном фокусе, оси параллельны координатным осям У и л, а их длины пропорцио- нальны радиусу входного зрачка н квадрату расстояния изображае- мой точки от главной оптической оси. Изображением точки будет светлое пятнышко, ограниченное аберрационной кривой, Это ука- зывает на то, что пучок лучей, дающий изображение, — астигмати- ческий. При параллельном смещении экрана, на котором получается изображение, вдоль оптической оси оно по-прежнему сохраняет форму эллипса, но форма и размеры эллипса изменяются.
Прн двух положениях экрана эллипс вырождается в прямолинейные отрезки, один из которых параллелен оси У, а другой — оси 3. Для доказательства поместим начало координат в центре выход- ного зрачка и будем характеризовать луч в пространстве изображе- ний точками пересечения его с плоскостью выходного зрачка и с плоскостью нараксиального изображения. Координаты первой точки будут (О, т1', ~'), второй — (х', у' + Лу', Ьг').
Если Х, У„ г — текущие координаты, то уравнение рассматриваемого луча запишется в виде х' к' Полагая здесь т1' = Ь' = Лу' = Лг' = О, найдем поперечные коор- динаты параксиального фокуса: ); = у'Х/х', 2, = О (продольная координата того же фокуса равна х'). Таким образом, )к — ) к=~1 — —,/т1 + —, ЬУ, Х1 ~ Х (1' 4) г-г,=(1 — — "„,)Г + Х, Лг.
В последних слагаемых в окрестности параксиального фокуса можно считать Х = х', так как это вносит ошибки высшего порядка малости, не учитываемые в рассматриваемом приближении. По той же причине в формулах (15.3) можно положить у = у'/()» г = г'/р» т/ = т('4т ь = ь"/Рт, где и, и р, — линейные поперечные увеличе- ния для объектов, лежащих соответственно в предметной плоскости и в плоскости входного зрачка, как они выражаются в параксиаль- ном приближении. Учтя еще, что у и Г' являются лишь различными обозначениями одной н той же ординаты, можем записать (15.3) в виде х' х' 1ОЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕИИН 1ГЛ П У вЂ” Уо — — — ", 1х' — Х+ (С'+ Е') У'1, 0 — к Я вЂ” Яь = —, (к' — Х + С'У'1.
(15.5) ЕСЛИ Х вЂ” к'=(С'+Е') 1", (15.6) то У' — 1; = О, т. е. эллипс вырождается в п(~ямолинейный отре- зок, параллельный оси Я, Зто есть фокальный отрезок, образован- ный меридиональными лучами. Аналогично, если Х вЂ” к' = С'У', (15.7) то 2 — ль = О, н эллипс переходит в другой фокальный отрезок, параллельный оси У. Он образуется экваториальными лучами.
От вращения кривых (15.6) и (15.7) вокруг главной оптической оси получаются две поверхности, касающиеся друг друга в общей точке пересечения их с главной оптической осью. Зти две поверхности и образуют каустику лучей, прошедших через оптическую систему. Вообще говоря, они имеют только одну общую точку. Каустика и есть та поверхность, в которую переходит плоскость изображения параксиальной оптики. Таким образом, имеет место не только астигматнзм, но и искривление поверхности изображения. 5. Д и с т о р с и я, Коэффициент Е не равен нулю, все прочие коэффициенты равны нулю. Поэтому из (15.1) получаем лг~ Егз Отсюда видно, что при наличии только рассматриваемой аберрации каждая точка изображается резко в виде точки, каковы бы нн были размеры диафрагмы, Однако отклонение изображения точки от соответствующего параксиального фокуса пропорционально кубу ее расстояния г от главной оптической оси. Поэтому происходит искажение (дисторсия) изображения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
