Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 29
Текст из файла (страница 29)
В качестве однородной иммерсии применяется кедровое масло (и = 1,515). В однородной иммерсионной системе Аббе фронтальная линза объектива состоит из стеклянного полушария, плоская сторона которого обращена к предмету (рис. 68). Предмет помещается на расстоянии ОР = )с!а от центра (Р— Рис. 68. радиус полушария). Так как лучи ° до выхода из фронтальной линзы не испытывают преломления, то Р будет апланатической точкой. Изображение предмета получается в сопряженной апланатической точке Р' на расстоянии ОР' = Ра от центра О.
Как видно из построения Вейерштрасса, линейное увеличение равно и'. Поэтому из (18.1) следует Гйп и'=(Б1п и)7п, так что угол наклона луча к оптической оси уменьшается. Амичи для получения большего увеличения и дальнейшего уменьшения углов наклона лучей к оптической оси предложил помещать за фронтальной линзой вогнуто-выпуклую линзу. Точка Р' должна находиться в центре кривизны вогнутой поверхности линзы. По отношению к преломлению на этой поверхности Р' будет апланатической точкой, совпадающей со своей сопряженной точкой.
Точка Р' должна одновременно находиться на расстоянии Р,lат от центра кривизны выпуклой поверхности второй линзы (и, — показатель преломления этой линзы, Д, — радиус кривизны ее выпуклой поверхности). Тогда по отношению к преломлению на этой поверхности Р' будет апланатической точкой; ее изображение получится в сопряженной апланатической точке Р".
Применив метод Амичи несколько раз, можно добиться какого угодно уменьшения углов наклона лучей к оптической оси. Прн этом для всей системы в целом будет выполнено условие синусов. Метод Амичи часто применяют при конструкции объективов микроскопов. Однако .таким методам конструирунпся в лучшем случае первые две линзы, так как иначе возникает сильная, ничем не компенсируемая хроматическая аберрация. УСЛОВИЕ СИНУСОВ 'АББЕ б. Аббе принадлежит простой способ испйгания объеятнвов на выполнение условия синусов. Т(опустим, что во второй впланатнческой точке объектива Р' (рис. 69) помещена малая диафрагма, через которую производится наблюдение. Ее сильно уменьшенное изображение, получающееся в сопряженной аплаиатнческой точке Р, будет входным зрачком системы.
Рассмотрим изображение конечного участка плоскости АВ, даваемое объективом, когда расстояние д этой плоскости от точни Р очень велико по сравнению с диаметром входного зрачка. Так как при перемещении объекта влево от аплаиатической точки Р его изображение перемещается также влево (см.. 9 11, пункт 6), то изображение плоскости АВ получится левее второй апланатической точки Р'. Когда расстояние д достаточно велико, то изображение А'В' плоскости АВ можно увидеть невооруженным глазом, если смотреть через днафрагму. Изображение получится сильно искаженным нз-за испол ьзованкя косых пучков лучей, наклоненных под большими углами к главной оптической оси.
Однако, ввиду исключительной малости входного зрачка, в разложении аберраций в степенные ряды можно пренебречь всеми степенями радиуса входного зрачка а, сохранив лишь член нулевой степени, В'/у,"д Рис. 69. пе содержащий о. Ииымн словами, достаточно ограничиться учетом одной глодало дисгпорспи. В этом приближении изображение А'В' будет расположено в плоскости параясиальных изображений. Поставям задачу найти в предметной плоскости АВ такое семейство кривых, чтобы его изображение в плоскости А'В' получилось в форме квадратной сетки.
Возьмем в предметной плоскости произвольную точку В с координатами у, г на расстоянии )' у~+за от главной оптической осн. Проведем луч ВР через пентр входного зрачка. Сопряженный луч В'Р' однозначно определится условием синусов юп и'/з)п и = А, где А = п//(п'1'), т. е.
для рассматриваемого объектива А — величина постоянная, и я и' — углы наклона падающего н прошедшего лучей к главной оптической оси. Положение изображения В' определится точкой пересечения луча В'Р' с плоскостью парансиальных изображений, Подставим вместо гбп и и з)п и' нх значения где д' — расстояние плоскости А'В' от апланатичесиой точки Р'. Учтем при этом, что точки В н В' лежат в одной плоскости, проходящей через главную оптическую ось, так что г'/у' = а/у. Тогда получим '1Аад'з — (1- А') у'з1 уз — у'а (1 — Ав) а' дзу'а, Возьмем теперь в плоскости А'В' семейство прямых, параллельных оси 2: у' Сз где ь' — параметр, который может принимать произвольные значения.
Уравнение кривых в преюастиой плоскости АВ, изображением которьак является это семейство, найлется нз предыдущего соотношении,.если в нем у' ааыеинть на С. Таким 122 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОВРАЖЕНИП !ГЛ. !! Путем получим ул гл — — — =1 Ьз (18.2) где узвэ дз аа , Ьл- 1 — (1 — Аз) вз ' 1 Азл (!8.3) а в — новый параметр, связанный с параметром С соотношением в = С/Ад'. (18 А) /(ля объективов микроскопов всегда А' < 1, так что при вл < 1/(1 — Ае) величина а существенно положительна. В этом случае (18.2) представляет семейство гипербол, осью которо~о является координатная ось 1'.
При в = 0 уравнение (!8.2) переходит в уз = 0 и изобраьтает ось 2. Значения вз > 1/(1 — Аз) надо исключить, так как в этом случае уравнение (!8.2) представляет семекство мнимых эллипсов и никакого оптического изображения не получается. Аналогично, семейство прямых г' = С прн тех же значенвях параметра в является оптическим изображением селлейства гипербол гз ул — — — =1, аз !и (18.5) получающегося из семейства (18.2) поворотом на 90' вокруг начала координат О. Оба семейства гипербол (!8.2) и (!8.5) пересекаются между собой, образуя криволинейную сетку, представленную на рис, 70. Прн переходе от одной гиперболы к соседней параметр в должен по.
Рис. 71. Рис. 70. ул — гл = Ь', а уравнение (!8.5) — в га — у' = Ьл. Обе эти гиперболы имеют асимптотами биссектрисы координатных углов. Следовательно, Ь есть расстояние от начала иоординат до веРшины той из гипербол, асимптоты которой совпадают с биссектрисами координатных углов. Для объективов микроскопов 4 — величина малаяч ивадратом которой по сравнению с единицей можно пре. иебречь. В этом приближении Ь ,7.
Это данг простой способ определения расстояния у, на котором следует поместить ряс, 70, чтобы его изображение получилось в виде квадратной сетки, 5 !91 ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ Теперь становится понятным метод Аббе нспытання объектнвов микроскопов на выполнение условия синусов. Аббе пользовался шаблоном, воспроизведенным на рнс. 71. Удалив окуляр микроскопа, следует поместить такой шаблон на расстоянии д перед передней апланатнчесхой точкой. Глаз наблюдателя помещается во вторую апланатнческую точйу. Зрачок глаза играет роль выходного, а его изображение, даваемое обьектнвом, — входного зрачка системы. Если нзображенне шаблона получается в виде сетки квадратов, то объектна удовлетворяет условию сннусов. Если изображение получается слишком мелкам, то можно применять вспомогательный микроскоп неболыпого увеличения, перед объек~нвом которого помещена лежалая днафрагл~а, расположенная во второй апланатнческой точке Р', Прн нспытаннн опнсанным способом большого числа объектнвов микроскопов, ранее изготовленных лучшими мастерами без всяких расчетов путем последовательных проб н подбора линз, Аббе обнаружил, что все хорошие объективы всегда удовлетворяли услоаню синусов.
9 19. Теорема косинусов. Стигматические изображения широкими пучками лучей 1. Обобщим результаты предыдущего параграфа на случай произвольных оптических систем. Среды, в которых распространяются световые лучи, здесь предполагаются нзотропнымн, но могут быть неоднородными, Таким образом, в общем случае световые лучи будут криволинейными. Пусть Р н Р' — две точки с радиусами-векторами г н г', лежащие на одном луче.
Оптическая длина луча, соединяющего зтн точки, рассматрпваемая как функция нх ноордннат, Г называется точечным зйканалам, нлн харахтериапгггческай функцией апюическай системы. Она была введена Гамнльтоном П805 — 1865) н оказалась весьма полез- Рг ной прн нсследовапнн оптических нзображеннй. Характернстнческую функцню сс' будем обозначать черю Н = Н (г, г'). Р А' й Фнкснровав положенне начальной точки Р, будем перемещать конечную г точку Р'. Вместе с точкой Р' будет перемешаться н луч РР', соеднняющнй ее с точкой Р.
В результате получится пучок Г лучей, нсходящнх в различных направленнях нз точки Р, кзкеслн бы она была источником света (рнс. 72). Пусть Р'Р'— волновой фронт, саответствующнй этому пучку, проходяшнй через начальное положение точки Р'. Прн смещеннн Р' в точку (), лежащую на луче РА'Ц', функция Н получает прнращенне АН = (РА'(1') — (РР'), нлн, ввиду равенства оптнческнх длин РР' н РА', АН = (РА'Я') — (РА') =(А'()'). Еслн смещение йг' = Р'4г бесконечно мало, то ЬН переходит в йН=п') йг') созга'=п'(з' йг'), где и' — угол между вектором йН н единичным вектором луча з' в точке Р', а и' — показатель преломлевня среды в этой точке.
Аналогично найдется бесконечно малое прнращенне функпнн Н, ногда конечная точка Р' остается неподвнжной, а начальная точна Р перемещается на йг. В этом случае прн вычислении надо жкпользоваться пучком лучей, сходящихся в точке (з (рнс. 73). В резуль. гаге получится йН = — я (з йг), где н, з н йг имеют такрй же смысл, что н в предыдущем случае, но относятся к начальной точке Р. Прн нзмененйв обоих 124 ГеометРическАя теОРия Оптических изОЕРАжеиии 1 (Гл 11 аргументов г и г' получим йН=п (3 йг ) — л(з йг). (!9.1) Докажем теперь следующую теорему, называемую теоремой косинусов; Луспль точка Р' (рис. 74] является стигматическим иэображением точки Р.
Соединим элли точки произвольным лучоли направлснил которого в Р и Р' апре. деляются единичными векплорами з и з'. Лиань (7 и (7' — две точки, бесконечно близкие к Р и Р'. Для того чтобы точка (7 была стигматическглл~ изображение,л точки (г в широких пучках лучей, необходилю и достаточно, чтобьл разность лэ гУ вЂ” л'а' й(' (19.2) где й1 = РЧ, й(' = Р'Ге', не эооисела от направления луча, соединяющгго Р с Р'. Для доказательства необходимости теоремы допустим, что О' является стигматичсским изображением точки О. Обозначим черсэ Н оптическую длину накого-либо луча, соединяющего сопряженные точки Р и Р', а через Н' — оптическую длину луча, соединяющего сопряженные точки (Е и Ц'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
