Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Б силу известного Рис. ?4. Рис. 73, свойства сопряженных точек величины Н и Н', а с ними и разность йН = Н'— — Н = и'з' й(' — лз сУ ие зависят от направлений лучей, соединяющих Р с Р', а (7 с ()'. Таким образом, выражение (19.2) не может зависеть от з, и необходимость теоремы доказана. Докажем теперь ее достаточность. Соединим точки () и (7' лучом Щ'. Кроме того, через () проведем произвольный луч ()У) и отметилл на нем тахую точку ()', чтобы оптическая длина (()(4 ) была равна оптической длине (О(;~').
Так как по условию теоремы Р' является стигматическим изображением точки Р, то из соображений непрерывности следует, что вектор Р'Ц" = й1" бесконечно мал, В таком случае по формуле (19.1) (У()") — (РР') л'з' сУ' — лз й(. По той же формуле Щ') — (РР') = п'з' сУ' — пз Л. Так как по построению(()()') = (Щ').
то з' сУ" = э' й(', причем по условиютеоремы зто соотношение должно выполняться для всех направлений вентора з'. Это возможно тогда и только тогда, когда ГУ = й(', т. е. когда точка (7' совпадает с ()'. Таким образом, любой луч, исходящий нз (ч, пройдет через О', что и доказывает достаточность теоремы. Чтобы конечная кривая изображалась стигмотически широкими луисами луый, необходимо и достапижно, чпюбы условия теоремы косинусов выполнялись для каждой пары сопряженных бесконечно малых отрезков этих кримвх.
2. Условие сниуснз являетсв следствием теоремы косинусов. Действительно, согласно этой теореме разность лрв — л'1'з' = л( 4(п и — л'1' юп и' не должна 125 9 19] ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ л1 соз и — и'!' сов и'=и1 — и'!', или л1 яп'(и/2) =л'!' з]пэ(и /2), (19.3) каковы бы ни были значения углов и и и', Это соотношение называется условием Гершеля. Пусть Р и Р' — сопряженные апланатическне точки. Если в бесконечно малых окрестностях этих точек су1цествует другая пара апланатических точек !9 и ()' (а следовательно, и бесконечное множество таких пар), то оптическая длина бесконечно малого линейвого обьекта, лежащего в окрестности точки Р, будет равна оптической длине его изображения, получающегося в окрестности точки Р'. Лействительно, так как Р и Р' — апланатическне точки, то по условию синусов отношение яп и сов(и/2) яп (и/2) яп и' сов(и'/2) яп (и'/2) не должно зависеть от и. С дру.
гой стороны, так кзк ]9 и ()'— также апланатические точки, то бесконечно малый отрезок Р]В оптической оси изображается в виде отрезка Р'(л' той же оси, шеля: отношение Рис. 75. Поэтому должво соблюдаться и условие Гери!пэ (и/2) з]пэ(и'/2) не должно зависеть от угла и. Оба условия могут быть выполнены одновременно тогда и только тогда, когда и = 1- и', т. Е. кОГда анпаиатиЧЕсКИЕ точки Р н Р' являются узловыми или обратиымн узловыми тачками системы. Но в таком случае, если отрезок 1 перпендикулярен к оптической оси, из (]8.1) следует: ! л! ] = ! л'1' (. Если же отрезок ! лежит на оптической оси, то из (19.3) также следует (л1] = ] и'!']. Таким образом, теорема доказана для двух частных случаев: когда отрезок ! лежит на оптической оси и когда он перпендикулярен к ней. Тем самым она доказана для отрезка ! произвольного направления.
Во всех центрированных системах, применяющихся на прантике, линейное увеличение, как правило, отлично от я/н'. Поэтому из доказанной теоремы следует, что для тахих систем апланатические пары точек, если они существуют, могут быть лишь изолировиняыми тачками оптической оси.
Это значит, что для каждой пары апланатических точек можно указать конечные интервалы оптической осн, содержащие эти точки, внутри которых нет другой пары апланатических точек. 1 В приближении параксиальной оптики условие синусов и условие Гершеля вынолняются всегда, Первое иэ них в унизанном приближении переходит зависеть от каправлення луча, соединяющего сопряженные точхн Р и Р' (рис. 75).
Но если луч идет вдоль оптической оси, то указанная разность обращается в нуль. В результате снова получается соотношение (!8.!), и притом не только как необходимое, но и нак достаточное условие. Допустим теперь, что отрезок ! = РВ лежит на оптической оси. Найдем условие, при котором он изображается стигматически широкими пучкамн лучей в виде отрезна !' = Р'В', также лежащего на оптической оси, В рассматриваемом случае при и = О я!в — л'!'в' = и! соз и — л'!' соз и' = и! — и'!'. Поэтому на основании теоремы косинусов должно быть 126 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОЕРАЖЕИИИ [ГЛ. И в теорему Лагранжа — Гельмгольца. Для доказательства второго из соотноше.
ний (!1.20), (11.17), (11.13), (10.6) находим 6Хь У Гз )' и'у'э и из 6Х 1 Хз 7 п уэ и'и'з а это при малых углах и и и' совпадает с условием Гершеля (19,3]. Таким абра. зом, )ьавенсгзо углов и и и', а следовательно, и равенство оптических длин н) и а!! не обязательны. Благодаря этому в параксиальной оптике поперечное и продольное увеличения могут принимать любые значевия, не обязательно равные пгл'. 3. Пусаш Р' является стигматическим изображением точки Р. Д.ш того тобы бесконечно мальщ злемент плоскости 5, проходящий через Р, изображс.кя стигматически в виде бесконечно малого злементи плоскости 5', проходящей через Р', необходимо и достаточно, чтобы еьтолнялось условие косинусов для двух бесконечно л;а ьых нелараллельнььх отрезков, лежащих в плоскости 5 и проходящих через точку Р. Необходимость теоремы очевидна.
Для доназательствз ее достаточности соединим Р и Р' произвольным лучом. Пусть Лг н Лз — два бесконечно малых веколлинеарных вектора, проходящих через точку Р, для которых удовлетворяется условие теоремы косинусов. Таким образом, по условию разности л'з' Л,'-йз й!ь=йН„ п'з' Л,' — пз Л, = йНз ие зависят от направления луча, соединяющего Р с Р'. Но они могут зависеть зт направлений вектороз Л, и Л,. Произвольный вектор Л, проходящий через сачку Р и лежащий в плоскости предмета, можно разложить по векторам Ль и Ль: Ц=аЛ,+уЛ„ чричем коэффициенты а и Ь не зависят от з, Введем вектор с(р=а Л,'+Ь д(,', ульножим соотношения (19А) на а и Ь и сложим.
Получим л'з' Л' — лз Л = дН, (19.3з) де Л) = а дНт+ Ь дНг. Отсюда видно, что разность (19.6) не зависит от з, г. е. условве теоремы косинусов выполняется для произвольного вектора Л, троходяшего через точку Р и лежащего в плоскости предмета. Следовательно, тредмет изобразится оптической системой стигматически, Вообще говоря, лзобрз>кеиие ие будет подобко самому предмету. Направления произвольных неколлииеарных векторов Л, и Л, можно при. тять за координатные оси У и 3 в плоскости предмета, направления оптически :опряженных с ними отрезков Л; и Л; — за координатнйе оси У' и 3' в плоскости гзображения, а сами точки Р и Р' — за начала координат соответствующих каор!ввозных систем. Тогда в окрестностях точек Р и Р' координатные оси У и 3 лзобразятся оптической системой координатными осями У' и 3'.
Координаты ьопряженных точек, бесионечно близких к Р и Р', будут связаны линейными :оотношениями у' = Ау, з' = Вг. (19.6) Координатная система У'3', вообще говоря, будет косоугольной, даже в том лучае, когда система УЕ прямоугольная. Однако если в плоскостях предмета ! его изображения ввести прямоугольные системы координат, то из соотношений '19.6) и из формул преобразования координат непосредственно следует, что трямоугольные координаты сопряженных точек будут связаны формуламн зинейного преобразовэния у' =Аыу+ Аьзг, а' Аязу+ Амг, (19.7) 127 4 !9! ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ Из свойств линейного преобразования следует, что в плоскости предмета существует пара взаимно перпендикулярных прямых, которой в плоскости изображения соответствует пара также взаимно перпендикулярных прямых. Если зти четыре прямые принять за координатные осн, то формулы преобразования снова примут вид (19.6), с тем отличием, что теперь обе координатные системы прямоугольны.
Вообще говоря, А м В. Поэтому изображение бесконечно малой площадки происходит с нарушением подобия: бесконечно малый круг изображается в виде эллипса. Только в частном случае, когда А = В, система дает подобные изображения бесконечно малых пяощадок, находящихся в окрестности точки Р. 4. Следуя Каратеодорн (1873 †19), говорят, что световой луч лежит в поле инструлынта, если он действительно проходит через диайзрагмы из пространсава предметов в пространство изображений. Товорят также, что отрезок кривой лежит тангенциально в поле инструмента, если есе лучи, кссающиесл этого отрезка, леэкат в поле инструмента. Пусть бесконечно малая площадка изображаепия оптической системой стигматически. Пусть, далее, Лг и Л, — бесконечно лгалые не параллельные отрезки, пересекающиеся в пределах площадки и лежащие в ее плоскости.
Если эти отрезки лежат тангенциально в поле инструмента, то рассматривиемал площадка изображается оптичгской системой с сохранением подобия. При этом оппитеская длина любого отрезка, лежащего на плои!адке, равна оптической длине сопряженного с ним отрезка. Рис. 76. По условию теоремы лучи, выходящие из Р (рис. 76) в направлениях Лг н Ле, лежат в поле инструмента. В пространстве изобрагкений онн пройдут в направлениях оптически сопряягенных отрезков Л; и Л;, Рассмотрим сначаяа изобрагкение отрезка Л,. Возьмем два луча, исходящих нз Р в направлениях Л и Лг. На основании теоремы косинусов пЛ,сова — и' й(',соэсе'=и й(г — и' й1'„ Аналогично, рассматривая изображение отрезка й(э, и Л, соэ и — и' Л,' сгн и' = и й(е — и' й1,'.
(19,9) Допустим, что й!, = Л,, 1(окажем, что тогда й1, '= Л,'. В самом деле, почлепное вы штаьше (!9.9) из (!9.8) дает и' Л;(1 — соза')=и' Л,'(! — соз а'), (!9.10) Разность 1 — сова' не мажет обращаться в нуль. Действительно, по предположению угол и ие равен нулю. Но заданием напрэвлення в какой-либо точке луч определяется однозначно. Если бы а' = О, т.
е. направления обоих рассматриваемых нами лучей в точке Р' совпадали, то онн совпадали бы и во всех других точках, в частности в начальной точке Р. Значит, было бы и = О, вопреки предположению. Поэтому, сокращая на и' (! — сова'), из (!9АО) находим Л,' = Л;, что и требовалось доказать, !28 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ [ГЛ, П Из доказанного следует, что отрезни й[, и й[з изображаются оптическойсистемой с одинаковым увеличением. Следовательно, в рассматриваемом случае в формулах ([9.6) А = В, т. е. увеличение любого отрезка в плоскости предмета не зависит от его направления, Отсюда следует, что изображение происходит с сохранением подобия, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
