Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 31
Текст из файла (страница 31)
является конйюрмным. Но изображение с сохранением подобия характеризуется также сохра. пением углов. Следовательно, а = а', и формула [[9.8) дает и д[т = и'д[;. Вообще, для всякого отрезка й[, лежащего н плоскости предмета, и д[ = и' д[', й[Пй[ = = п)п', и вторая часть теоремы доказана. Итак, стигматические изображения площадок, пшигенциольно лежащих е поле инструмента, могут происходить только с злолне определенным уееличением п1л'.
В частности, когда показатели преломления пространств предметов и изображений одинаковы, увеличение равно единице, Это утверждение перестает быть справедливым для площадок, не лежащих тангенциально в поле инструмента. Примером может служить преломление на сферической поверхности [рис. 67). Сфера В отображается на сферу В' стнгматнческн широкими пучками лучей. Однако линейное увеличение, как видно из построения, равно отношению квадратов показателей преломления, а не их первых степеней.
Причина этого в том, что ни одна из сфер 5 н 3' не лежит тангенциальпо в поле инструмента. Напротив, если линейный объект поместить в точку О, то, поскольку последняя является парой совпадающих узловых точек, линейное увеличение будет равна просто отношению показателен преломления в согласии с обсуждаемой нами обшей теоремой. Действительно, ввиду шаровой симметрии любой линейный объект, помещенный в центре О, лежит тангенциально в поле инструмента, Бесконечно малую часть конечной поверхности можно рассматривать как бесконечно малую плоскую площадку. Поэтому для стигматического изображения конечной лоеерхности необходимо и достаточно, чтобы стигматически изображались зсе бесконечно малые площпдки, на которые можно разбить эту поеерхносгпь. 5. Рассмотрим, наиоиец, стигматические изображения объемных объектов гцирокими пучками лучей.
Зтот вопрос может быть исследован в точности так же, как и аналогичный вопрос для поверхностных обьектов, В частности, может быть доказана следующая теорема: Пусть точка Р' язляется стигматическим иэображением точки Р. Для того чтобы бесконечно малый элемент объема е окргстности точки Р изображался стигматически, необходимо и достаточно, чтобы еыполнямкь условие теоремы когинусое для трех бесконечно маль~х отрезков, проходящих через точку Р и ие лежащих е одной плоскости. Новым по сравнению с изображениями элементов поверхностей является то, что а случае стигматического изображения элементов объема всегда сущест.
вуют три отрезка й[н д[„д[з, не находящиеся в одной плоскости и лежащие тангенциально в поле инструмента. Поэтому, повторяя рассуждения, приведенные применительно к изображениям элементов поверхности, приходим к заключению, что ~ти три отрезка изображаются с одним и тем же увеличением. Как следствие этого, получаем следующую теорему; Стигматическое изобрпжение элемеитог объема, юли оно осущгппвляется широкими пучками лучей, есегда коигрормно, т.
е. происходит с сохранением подобия. При этом линейное узеличение розно пlп', так что оптическая длина предмета всегда равна оптической длине иэображения. $ 20. Об абсолютных оптнческнх инструментах 1. С точки зрения геометрической оптики идеалом был бы оптический инструмент, изображающий стигматически широкими пучками лучей каждую точку пространства предметов в виде точки пространства изображений. Такой иистру. мент называется абсамотным. Обсудим вопрос о принципиальной возможмосхи абсолютных оотичесних инструментов и исследуем их свойства. ОБ АБСОЛЮТНЫХ ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТАХ л, л у' —,у, а' —,х, л' л' л х' — х, л' (20.1) справедливыми дчя всех точек пространства предметов и пространства изображений, а не только для окрестностей сопряженных точек 0 н 0'.
Из них непосредственно следует, что любая прямая изображается прямой. Таким образом, лри тютоянных л и л' абсолютный инструмент является телескопической системой. Докажем теперь, что лри настоянных л и л' абсолютный оптический инструмент вазмоягвл только лри л л'. Для доказательства заметим, что линейное увеличение л/л' не зависит от положения объекта.
Чтобы определить это увеличение, поместим бесконечно малый объект тангенциально на границе раздела сред. Тогда его изображение, возникающее как при преломлении, так и прн отражении, совместится с самим объектом. Отсюда следует, что л!л' 1, и наше утверждение доказано. Таким образом, показатели преломления сред должны быть одинаковы, и никакого преломления не будет. Остается исследовать только отражение, По теореме Каратеодори оптическая длина луча между сопряженными точками не зависит от положения.
объекта. Поместим точечный объект на границе раздела сред. Его изображение получится в той же точке. Поэтому оптическая длина луча между обьектом и его изображением должна равняться нулю, независимо от положения обьекта. При преломлении, когда оптические длины лучей на всех участках сохраняют знаки, вто было бы возможно только тогда, когда изображение совпадает с самим объектом. Но в этом случае, как мы видели, никакого преломления нет, и об изображении можно говорить лишь условно. Однако при отражении, если изображение получается мнимым, оптические длины лучей на разных участках могут иметь *ротивоположные знаки.
Тогда возможен и нетривиальный-случай, когда объект н его изображение находятся в разных местах, хотя оптические длины лучей Как доказано в предыдущем параграфе, изображения бесконечно малых объектов, даваемые абсолютным оптическим инструментом, всегда конформны. При этом оптическая длина любой линии равна оптической длине ее изображения. Отсюда следует, что в абсолютном оптическом инструменте оптическая длила луча между двумя сопряженными точками одинакова двя всех лар атряжвиных точек. Это 1юложенне называется теоремой Каратеадори. Для доказательства возьмем две пары сопряженных точек; Р, Р' и 1), О' (рис. 76), Через точку Р проведем пучок лучей во всевозможных направлениях.
Все эти лучи пересекутся в точке Р'. Один из них пройдет через точку 9. Возьмем другой произвольный луч РАР', В силу свойства сопряженных точен (РАР') = (РДР'). Луч РСТР', поскольку он проходит через точку О, должен пройти и через сопряженную ей точку ()'. При этом нрнвая Р'()' будет оптическим изображением кривой РД, а потому (РО) (Р'()'). Отсюда следует (()Р'()') = = (РОР'). Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем: (РАР') = ~ (ЯР'О'), что и требовалось доказать. 2. Допустим теперь, что пространства предметов и изображений однородны, т.
е. показатели преломления л и л' не зависят от координат. В этом случае любая прямая пространства предметов изабраэится абсолютным инструментом в виде прямой пространства изображении". В самом деле, проведем через произвольную точку О пространства предметов три луча, лежащйх в поле инструмента и не находящихся в одной плоскости.
В пространстве изображений сопря. женные с ними лучи пересекутся в сопряженной точке О'. Примем эти лучи за координатные оси в.пространствах предметов и изображений. Ясно, что коордипэтные оси одной координатной системы будут изображаться координатными осями другой координатной системы. При этом без потери общности можно принять, что одноименные оси являются сопряженными. Так как изображение происходит с постоянным увеличением л!л', то при надлежащем выборе поло. жительных направлений координатных осей координаты сопряженных точек будут связаны соотношениями !30 ГеометрическАЕ теОРия Оптических изОБРАжения (Гл !т между ними и обращаются в нуль. Прн этом формулы (20.1) переходят в к=к у=у а=а. (20.2) Такой случай осуществляется в плоском зеркале или в системе плоских зеркал, Это единственный абсолютный оптический инструмент, возможный при настоянных и и и'.
3. 7(етриеиальные абсолютные оптические инструменты, дающие изображения с увели«ением, отличным от единицы, возни»сны только с использованием неоднородных сред и криеолинейных лучей. Первый пример такого инструмента был приведен Максвеллам. В дальнейшем были приведены и другие примеры. Максвелл назвал свой инструмент «Рыбьим глазом», хотя никакого сходства с глазом рыбы у него нет, Более того, «рыбий глаз» Максвелла вообще трудно назвать инструментом в обычнои смысле этого слова. Действительно, ов представляет собой неограниченную неоднорОдную среду, пояазатель преломления кото.
рой меняется в пространстве таким образом, что любой луч в этой среде имеет форму окружности. К идее «рыбьего глаза» естественнее всего прнйтн с помощью геометрического построения, называемого стереографической проекцией. Такая проекция осуществляется следующим образом. Возьмем сферу Я, через центр которой проведем координатную плоскость Х)' (рнс. 77). Пусть Ф вЂ” точка вер«сечения этой сферы с осью 2. Соединим точку 1У с каждой точкой Рис. 77. К сферы прямой А(К и продолжим эту прямую до пересечения с плоскостью Х)» в точке Р, Точка Р и называется стереографической проекцией точки К на плоскость ХУ.
Легко показать, что координаты х, у, г точки К связаны с координатамн э, Ч соотношениями $=а —, Ч=а —, к у (20.3) а — х' а — г' 2аз -Ч з аР+ -" Б»+Чз+аз' у $э -1-т(з-1-аз' йз+т)»+аз где а — радиус сферы 5. Каждая окружность сферы Я при стереографической проехции преобразуется в онружность плоскости Х)' н обратно.
В самом деле, плоскость Ах-)« + Ву+ Сг+ Р = 0 пересекает сферу 5 по окружности. Если в уравнение втой плоскости подставить значения координат (20.4), то получится уравнении второй степени, в котором будет отсутствовать член с произведением $0, а квад- 4 ю) ОБ АБСОЛЮТНЫХ ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТАХ 181 раты зз и Чз войдут только в комбинации вз + т)з, Такое уравнение есть уравне. ние окружности. Про Ь-$ Ю~<-~ ~-Ю вЂ” ЬУ 5. Пй графической проекции он отобразится элементом длины пз рпйз-)-от)з на плоскости Ху. Пользуясь формулами (20,4), нетрудно показать, что эти элементы связаны соотношением 2 (20.5) 1 -)-(г~о)з где г' = за+ з)з.
Кривая кратчайшей длины, проведенная на какой-либо поверхности между двумя точками, называетси геодезической аияиед этой поверхности. Для сферы геодезическими линиями являются дуги больших кругов. Возьмем на сфере 5 любые диаметрально цротивоположиые точки К (х,, уз, га) и К' ( — хз — ум — гэ). Пусть Р и Р' — их стереографическне проекции на плоскость ХУ. Через прямую, соединяющую точки К и К', можно провести бесконечное множество плоскостей, пересекающих сферу Я вдоль больших кругов, проходящих через эти точки. При стереографической проекции эти большие круги изобразятся окружностями, соединяющими точки Р и Р' (рнс. 78).
Вдоль всех этих окружностей интеграл ) пз/(1+ге(аз) принимает одно и то же значение, как это непосредственно видно из соотношения (20.5). Вообразим теперь сферически симметричную- среду с центром в начйле координат О, показатель преломления которой определяется выражением и = 0 , (20.6) где ле — постоянная, а г — расстояние от начала координат. Тогда оптиче ские длины всех окружностей между точками Р и Р', изображенных иа рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
