Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Во сколько раз возрастет работа, если конечное давление будет p2′ = 100 атм ?РешениеИзменение объема как функции температуры и давления:⎛ ∂V ⎞⎛ ∂V ⎞dV (T , p) = ⎜⎟ dp⎟ dT + ⎜⎝ ∂T ⎠ p⎝ ∂p ⎠Tпри dT = 0 принимает вид:⎛ ∂V ⎞(5.42)dV = ⎜⎟ dp = − V χT dp .⎝ ∂p ⎠TС учетом полученного для dV выражения (5.42) работа силдавления воды:p2ΔA = ∫ pdV = − ∫ p V χT dp = −p1Работа внешних сил:ΔAex = −ΔA =()1V χT p22 − p12 .2()1V χT p22 − p12 ,2Mν, M = 18 г / моль , ρ = 1г/см3 .ρПодставляя численные данные, получаем (в системе СИ):где V =(5.43)125Гл.
5. Первое начало термодинамики. ТеплоемкостьAex =()MνχT p22 − p12 =2 ρ18 ⋅ 10−3 ⋅ 10=3()⋅ 48 ⋅ 10−11 252 − 12 ⋅ 1010 ≈ 0, 27Дж .2 ⋅ 10При увеличении конечного давления до 100 атм работаMν′ =χT p2′2 − p12 =Aex2 ρ(=)18 ⋅ 10−3 ⋅ 1032 ⋅ 10′ Aex ≈ 16 раз.т.е. возрастает в AexОтвет: Aex =()⋅ 48 ⋅ 10−11 1002 − 12 ⋅ 1010 ≈ 4, 32Дж ,A′MνχT p22 − p12 ≈ 0, 27Дж , ex ≈ 16 .Aex2 ρ()Задача 5.2.5. Сжатие идеального газа (гелия Не) происходит позакону V = ap −1/ 2 , где а =3 м3Па1/2 = const, от объема V1=10 л дообъема V2 = V1 2 . Нагревается или охлаждается газ? Определитьтеплоемкость и все составляющие энергетического баланса( ΔU12 , A12 , Q12 ) в этом процессе.РешениеИзобразим на р–V диаграмме кривую заданного процессаp = a 2 / V 2 и изотермы, проходящие через начальное и конечноесостояния (рис.
5.4). Как видно из рисунка, в данном процессе присжатии газ нагревается. Найдем зависимость T(V) в процессе.Рис. 5.4. Процесс сжатия V = ap −1/ 2гелия от объема V1 до объема V2 и изотермы Т1 и Т2 для начального и конечного состояний.126МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИЗапишем систему уравнений:уравнение процесса :p = a 2 / V 2 , ⎫⎪(5.44)⎬уравнение состояния : pV = νRT . ⎪⎭Решая систему (5.44), получаем уравнение процесса в параметрах T–V:a2T=,(5.45)νRVкоторое подтверждает, что в процессе сжатия (уменьшения V) газнагревается.Теплоемкость газа в данном процессе можно определить двумя способами.1 способ базируется на том, что процесс – политропический2pV = const с показателем политропы n = 2 .Из (5.37) получаем значение молярной теплоемкостиC = CVn−γ= CV (2 − γ ) = CV − R .n −1(5.46)Для одноатомного газа число степеней свободы одной молекулы i = 3 и CV = 3R / 2 , а C = R / 2 .2 способ вычисления теплоемкости – более общий и применимдля произвольного процесса в идеальном газе (не только политропического).
Он основан на определении теплоемкости (5.16) и полученном выше уравнении процесса в параметрах T–V (5.44).Из (5.45) находимdTa2=−.(5.47)dVνRV 2Для нахождения молярной теплоемкости в процессе подставим(5.47) в (5.16) при ν = 1 и получим:−1a2 ⎛ V 2 R ⎞R−= CV − R = .⎜⎟2V 2 ⎜⎝ a 2 ⎟⎠Составляющие энергетического баланса. Для удобства вычислений определим сначала все параметры начального и конечного состояний, основываясь на том, что каждое из состояний равновесного процесса удовлетворяет как уравнению состояния, так иуравнению процесса.⎛ dT ⎞C = CV + p ⎜⎟⎝ dV ⎠= CV +127Гл. 5. Первое начало термодинамики.
ТеплоемкостьИз системы уравнений, записанных для начального состояния 1:уравнение процесса p1 = a 2 / V12 ,уравнение состояния p1V1 = νRT1 ,получаем значения всех параметров начального состояния:{ p1 = a2 / V12 ,}V1 , T1 = a 2 /(νRV1 ) .Из системы уравнений для конечного состояния:уравнение процесса p2 =a2,V22уравнение состояния p2V2 = νRT2получаем неизвестные параметры конечного состояния:{ p2 = a2 / V22 ,}V2 , T2 = a 2 /(νRV2 ) .Изменение внутренней энергии:ΔU12 = νCV (T2 − T1 ) =a 2 CV ⎛ 11 ⎞ 3a 2−= 1350 Дж > 0 ;⎜⎟=R ⎝ V2 V1 ⎠ 2V1работа газа:A12 =V2∫V1pdV =V2a21 ⎞a22⎛ 1dV=a−=−= −900 Дж < 0 ;⎜⎟∫ V2V1 V2 ⎠V1⎝V1теплота (из первого начала термодинамики):a2= 450 Дж > 0 ,2V1или, используя полученное выше выражение для теплоемкости:Q12 = ΔU12 + ΔA12 =Q12 =T2∫ νCdT = ν(CV− R )(T2 − T1 ) =T1=a 2 (CV − R ) ⎛ 11 ⎞ a2−.⎜⎟=R⎝ V2 V1 ⎠ 2V1Графически зависимости от объема V изменения внутреннейэнергии и совершенной газом работы в процессе сжатия( V2 < V < V1 ) представлены на рис.
5.5.128МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИРис. 5.5. Изменение внутренней энергии ∆U гелия, совершаемая им работа A иподведенная теплота Q в процессе V = ap −1/ 2 сжатия газа от объема V1 = 10 л дообъема V2 =5 л.Ответ: Газ нагревается, C = CV − R =A12 = −R3a 2, ΔU12 ==1350Дж ,2V12a2a2= −900Дж , Q12 == 450 Дж .V12V1Задача 5.2.6. Кислород массой m = 24 г участвует в процессеp = p0 + aV 2 , где p0 = 0, 2 атм и а – положительная постоянная.
Вначальном состоянии газ занимает объем V1 = 5 л и при температуре T1 = 290 K , в конечном состоянии V2 = 2V1 . В рамках моделиидеального газа определите теплоемкость С(V) .Рис. 5.6. Процесс p = p0 + aV 2 расширения кислорода от объема V1 дообъема V2 и изотермы Т1 и Т2 (пунктирные кривые) для начального 1 и конечного 2 состояний. Затемненная площадь равна работе газа А12.129Гл. 5. Первое начало термодинамики.
ТеплоемкостьРешение1) Определение знаков составляющих энергетического баланса. Так как ΔV > 0 , то A12 > 0 – газ совершает работу. Графическоеизображение процесса (см. рис.5.6) и сравнение его с изотермическими процессами T1 = const и T2 = const позволяют заключить,что газ нагревается, то есть ΔU12 > 0 .
Следовательно,Q12 = ΔU12 + A12 > 0 – газ получает теплоту.Параметры в любой точке процесса удовлетворяют двум уравнениям:уравнению процесса : p = p0 + aV 2 , ⎫⎪(5.48)⎬уравнению состояния : pV = νRT . ⎪⎭Поэтому значение константы а в уравнении процесса можетбыть найдено подстановкой в систему (5.48) параметров начального состояния:p1 = p0 + aV12 , ⎫⎪(5.49)⎬p1V1 = νRT1.
⎪⎭Решая систему (5.49), получаем:⎛ T⎞ 1 νRT1 − p0V1a = ⎜ νR 1 − p0 ⎟ 2 =.V13⎝ V1⎠ V1(5.50)По известному процессу можно аналогично решению предыдущей задачи 2 способом определить теплоемкость. Решая систему(5.48), найдем сначала уравнение процесса в виде T = T (V ) :T (V ) =()1p0 + aV 2 V ,νRа затем производную (дифференциальную характеристику этогопроцесса):dT1=p0 + 3aV 2 .(5.51)dV νR()Подставляя (5.51) в (5.16), для молярной теплоемкости (приν = 1) получаем130МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ⎛ dT ⎞C (V ) = CV + p ⎜⎟⎝ dV ⎠−1= CV + Rp0 + aV 2p0 + 3aV 2=⎛2aV 2= CV + R ⎜ 1 −⎜p0 + 3aV 2⎝⎛2aV 2 ⎞Ответ: C (V ) = CV + R ⎜ 1 −⎟.⎜p0 + 3aV 2 ⎟⎠⎝⎞⎟.⎟⎠(5.52)Задача 5.2.7.
Идеальный газ в количестве ν молей расширяется политропически от объема V1 до объема V2 с показателем политропы n. Температура газа в начальном состоянии Т1. Известна теплоемкость CV = const . Определите составляющие энергетическогобаланса ΔU12 , A12 , Q12 в этом процессе.РешениеИспользуя уравнение состояния, находим параметры начального состояния:{ p1 = νRT1 / V1, V1, T1} .Константу в уравнении процесса TV n−1 = const в переменныхV, T выразим через параметры начального состояния. Тогда уравнение процесса принимает вид:TV n−1 = T1V1n −1 .Параметры конечного состояния удовлетворяют уравнениюсостояния и уравнению процесса:уравнение процессауравнение состоянияT2V2n−1 = T1V1,n −1 ⎫⎪⎬p2V2 = νRT2 .
⎪⎭Из записанной системы уравнений получаем параметры конечного состояния:n −1n −1⎧⎛ V1 ⎞ ⎫⎪νRT1 ⎛ V1 ⎞⎪,,pVTT==⎨ 2⎜ ⎟⎟ ⎬.221⎜V2 ⎝ V2 ⎠⎝ V2 ⎠ ⎪⎭⎪⎩Изменение внутренней энергии:Гл. 5. Первое начало термодинамики. ТеплоемкостьΔU12⎡⎛ V ⎞n −1 ⎤= νCV (T2 − T1 ) = νCV T1 ⎢⎜ 1 ⎟ − 1⎥ .⎢⎝ V2 ⎠⎥⎣⎦131(5.53)Для вычисления работы, совершаемой газом при расширении,требуется знание уравнения процесса в переменных p, V:pV n = p1V1n .Имеем:n −1νRT1 ⎡ ⎛ V1 ⎞ ⎤(5.54)A12 = ∫ pdV =∫ V dV = n − 1 ⎢⎢1 − ⎝⎜ V2 ⎠⎟ ⎥⎥ .V1V1⎣⎦На p–V диаграмме A12 – площадь под кривой процесса(рис.5.7).
Поэтому легко сравнить A12 для различных политропических процессов, если заданы, например, p1, V1 и V2 > V1 :V2p1V1nv2−nAp > AT > AS ; AV = 0 .Для вычисления теплоты, получаемой газом в политропическом процессе, можно, во-первых, воспользоваться первым началомтермодинамики, а во-вторых, использовать выражение для теплоемкости (5.4).В первом случае (см. (5.52) и (5.53)):n −1Q12 = ΔU12 + A12 = νT1 ⎡⎢(V1 / V2 )− 1⎤⎥ ( CV − R / (n − 1) ) ,⎣⎦Рис. 5.7. Работа газа при расширении от объема V1 до объема V2 численно равнаплощади, отмеченной вертикальной штриховкой – для изобарического процесса,горизонтальной штриховкой – для изотермического процесса и косой штриховкой –для адиабатического процесса.132МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИво втором:Q12 =T2∫ νCdT = νC (T2 − T1 ) =T1Ответ: ΔU12n −1= νT1 ⎢⎡(V1 / V2 )− 1⎥⎤ ( CV − R / (n − 1) ) .⎣⎦n −1= νCV T1 ⎡⎢(V1 / V2 ) − 1⎤⎥ ,⎣⎦νRT1 ⎡n −11 − (V1 / V2 ) ⎤⎥ ,⎦n − 1 ⎣⎢n −1= νT1 ⎢⎡(V1 / V2 )− 1⎥⎤ ( CV − R / (n − 1) ) .⎣⎦A12 =Q12Задача 5.2.8.
Идеальный газ с известной изохорической теплоемкостью CV = const находится в цилиндре под поршнем. Поршень вдвигается в цилиндр настолько медленно, что вследствиепотери теплоты сквозь стенки изменение температуры газа припродвижении поршня в течение всего процесса вдвое меньше, чембыло бы при адиабатическом перемещении поршня на такие жерасстояния (рис.5.8 а). Найти уравнение исследуемого процесса ивыяснить, является ли он политропическим.
Определить молярнуютеплоемкость газа в этом процессе. Параметры начального состояния V0, Т0 известны.РешениеОбозначим параметры для адиабатического процесса индексом1, медленного – индексом 2, начальные состояния в обоих процессах – индексом 0 (рис. 5.8).Проведем качественный анализ. Изобразим оба процесса на T–V (a) и р–V диаграммах (б) и сравним характеристики энергетического баланса для обоих процессов.Для процесса 1 имеемQ1 = ΔU1 + A1 = 0 ,ΔU1 = CV ΔT1 > 0 ,A1 = −ΔU1 < 0 (вертикально заштрихованная площадь нарис.5.7б).Для медленного процесса 2:ΔU 2 = ΔU1 / 2 > 0 ,133Гл. 5. Первое начало термодинамики.
ТеплоемкостьA2 < 0 (горизонтально заштрихованная площадь на рис.5.8б),AA1 > A2 > 1 .2Отсюда для теплоты в процессе 2 получаем:Q2 = A2 + ΔU 2 < A1 + ΔU1 = 0 .абРис. 5.8. Рассматриваемые в задаче процессы и изотерма Т0 на Т-V (а) и на р-V(б) диаграммах.Таким образом, в медленном процессе газ нагревается, отдаваятеплоту. Это означает, что теплоемкость в процессе 2 отрицательна.Уравнение медленного процесса 2 легко получить, используяизвестное уравнение адиабатического процесса 1 и условие задачидля отношения температур газа в этих процессах:1T0V0γ−1 = T1V γ−1 ⎫⎪γ−1⎬ → T2 = T0 ⎡⎣⎢1 + (V0 / V ) ⎤⎦⎥ .2T1 − T0 = 2(T2 − T0 ) ⎪⎭(5.55)Анализ уравнения (5.55) показывает, что процесс 2 не политропический.Продифференцируем (5.55)V γ−1dT21= − T0 ( γ − 1) 0 γ .2dVVДля теплоемкости получаем134МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ⎛ dT ⎞C2 = CV + p ⎜ 2 ⎟⎝ dV ⎠−1= CV −2V γRT⋅=V T0 ( γ − 1)V γ−10⎡ 2T= СV ⎢1 −⎢ T0⎣⎛V ⎞⎜ ⎟⎝ V0 ⎠γ−1 ⎤⎛V ⎞⎥ = −CV ⎜ ⎟⎥⎝ V0 ⎠⎦γ−1.Таким образом, в исследуемом процессе теплоемкость отрицательна и уменьшается по модулю с уменьшением объема.Можно получить зависимость С2 от температуры.
Используяуравнение процесса (5.55), находим:−1⎡ 2T ⎛ 2T⎞ ⎤1C2 = CV ⎢1 −−⎜⎟ ⎥=⎢ T0 ⎝ T0⎠ ⎥⎦⎣= CV +2V γT0 ( γ − 1)V0γ−1⎛ 2T⎞= −CV ⎜− 1⎟⎝ T0⎠−1<0.1γ−1Ответ: Уравнение процесса T (V ) = T0 ⎡⎢1 + (V0 / V ) ⎤⎥ , теп⎦2 ⎣лоемкость C (V ) = −CV (V / V0 )γ−1−1или C (T ) = −CV ( 2T / T0 − 1) .Задача 5.2.9. Для смеси идеальных газов (неон в количествеν Ne = ν1 = 0, 2 кмоль и водород в количестве ν H 2 = ν 2 = 0,5кмоль )определить удельную теплоемкость и отношение γ = C p CV .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
