Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Цилиндрический сосуд, имеющий длину = 1 м ,заполнен углекислым газом СО2 при температуре Т = 273 К идвижется с ускорением а = 20 м/с вдоль своей оси. Во сколько разотличается давление газа на противоположные торцы цилиндра?Ma⎡ Ma ⎤≈1+= 1,0004 .Ответ: p2 / p1 = exp ⎢⎥RT⎣ RT ⎦Задача 3.3.7. В однородном поле при температуре Т находятсячастицы, не взаимодействующие друг с другом (за исключениемабсолютно упругих ударов). Вдоль направления поля нарасстоянии h концентрации молекул отличаются в α раз.Определить силу, действующую на частицы со стороны поля.k TОтвет: F = B ln α .hЛитература1. Матвеев А.Н.
Молекулярная физика. М: Высшая школа,1981, §9.2. Кикоин А.К.. Кикоин И.К. Молекулярная физика. 3-е изд.СПб: Лань, 2007, §§8,9.3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.II. Термодинамика имолекулярная физика. М: Наука. 1990, §77.4. Миронова Г.А., Михеева Л.Ф., Попов В.В. Разработкасеминаров по молекулярной физике. М: Изд-во Московскогоуниверситета, 1988, с.67-79.5. Миронова Г.А., Брандт Н.Н., Салецкий А.М. Молекулярнаяфизика и термодинамика в вопросах и задачах.
М: Физическийфакультет МГУ, 2010, гл.4.6. Касандрова О.Н., Матвеев А.Н., Попов В.В. Пособие порешению задач молекулярной физики. М: Изд-во Московскогоуниверситета, 1974, раздел I.7. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. 9-е изд. СПб: Лань,2005, 2.3.95Гл. 4. Теорема о равномерном распределенииГлава 4ТЕОРЕМА О РАВНОМЕРНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИКИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ПО СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ.БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ4.1. Теоретический материалЧисло степеней свободы – число независимых переменных,которыми определяется состояние системы.Теорема о равномерном распределении кинетической энергиипо степеням свободы: в состоянии термодинамического равновесиясредняя кинетическая энергия в расчете на каждую степень свободы статистической системы равна k BT 2 .Броуновское движение – это хаотическое (беспорядочное) тепловое движение взвешенной в жидкости или газе броуновской частицы под действием ударов молекул окружающей среды.
Броуновская частица имеет размеры, значительно превосходящие размерымолекул среды (жидкости или газа), в которой она находится.Причина броуновского движения – флуктуации силы, действующей на броуновскую частицу со стороны молекул среды, возникающие в результате флуктуаций суммарного импульса, передаваемого молекулами среды, ударяющимися о броуновскую частицу. Вместе с молекулами среды броуновская частица образует единую термодинамическую систему.Броуновская частица движется как поступательно, так и совершает вращательное движения. Рассмотрим только поступательное движение, фиксируя положение центра масс частицы черезравные малые промежутки времени Δt .
Интервал Δt выберем таким, чтобы движение частицы в каждом интервале Δti не зависелобы от ее движения в предыдущем интервале Δti −1 .Смещение частицы за i-й отрезок времени Δt характеризуетсявектором Δri (см. рис. 4.1). Через N измерений, то есть через времяt = N ⋅ Δt , броуновская частица удалится от своего первоначальноNго положения на расстояние, равное длине вектора rN = ∑ Δri .i=196МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИРис.4.1. «Траектория» броуновской частицы изображена в виде ломаной линии,образованной векторами смещений Δri частицы за равные промежутки времениΔt (сплошная линия) и Δt 2 (пунктирная линия).Векторы Δri образуют ломаную линию, но эта линия не является траекторией броуновской частицы. Если бы фиксация центрамасс частицы проводилась через интервалы времени Δt 2 , то «траектория» получилась бы иной (см.
пунктирную линию на рис. 4.1).Общая картина броуновского движения описывается закономЭйнштейна для среднего квадрата смещения частицы Δx 2 вдольлюбого направления x. Если за время между двумя измерениямипроисходит достаточно большое число столкновений частицы смолекулами, то Δx 2 пропорционально этому времени t:Δx 2 = 2 Dt ,(4.1)где D — коэффициент диффузии, который определяется сопротивлением, оказываемым вязкой средой движущейся в ней частице.Для сферических частиц радиуса r он находится по формуле Стокса:97Гл. 4. Теорема о равномерном распределенииD=k BT,6πηr(4.2)где η — коэффициент динамической вязкости среды .Кроме поступательного броуновского движения, существуеттакже вращательное − беспорядочное вращение броуновской частицы под влиянием ударов молекул среды.
Для вращательногоброуновского движения среднеквадратичное угловое смещениечастицы Δϕ2 пропорционально времени наблюденияΔϕ2 = 2Dврt ,(4.3)где Dвр – коэффициент диффузии вращательного движения, равный для сферической частицы:Dвр =k BT8πηr 3.(4.4)4.2. Задачи с решениямиЗадача 4.2.1. Докажите, что средний квадрат расстоянияΔrt2, пройденного броуновской частицей пропорционален вре-мени t.
Используйте метод разбиения времени наблюдения t на независимые интервалы движения Δt .РешениеТак как движение частицы вдоль оси x равновероятно в обоихнаправлениях, то Δxi = 0 , и среднее смещение частицы вдольоси x за N интервалов Δt также равно нулю:ΔxN =NNi =1i =1∑ Δxi = ∑ Δxi = 0 .Средний квадрат смещения частицы вдоль оси x:2ΔxN⎛N⎞= ⎜ ∑ Δxi ⎟⎜⎟⎝ i =1⎠2=N NN Ni =1 j =1i =1 j =1∑ ∑ Δxi Δx j = ∑ ∑ Δxi Δx j .98МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИПоскольку движения частицы в разные интервалы времени независимы, то при i ≠ jΔxi Δx j = ΔxiΔx j = 0 .ПоэтомуN2ΔxN= ∑ Δxi2 = N ⋅ δ 2 ,i =1где учтено, что на всех интервалах времени Δxi2 = δ2 .Учитывая, что N = t / Δt , получаем:δ2⋅t .(4.5)ΔtФормула (4.5) аналогична формуле, полученной Эйнштейном:2ΔxN= Δxt2 =Δxt2 = 2 Dt ,(4.6)где D – коэффициент диффузии.
В данном случаеD=δ2.2Δt2222+ Δy N+ Δz N= 3 ΔxN, тоПоскольку ΔrN2 = ΔxNNΔrN2 = 3∑ Δxi2 = 3 N δ 2 = 3i =1δ2⋅ t = 6 Dt .Δt(4.7)Заметим, что формулы (4.5) и (4.7) справедливы для описанияхаотического (случайного) движения любой частицы при условиинезависимости ее движения на каком-либо интервале ∆ti от движения на предыдущем интервале ∆ti–1. Например, она применима дляописания движения одной из молекул жидкости.Ответ: ΔrN2 = 6 Dt .Задача 4.2.2. Броуновская частица находится в среде с коэффициентом сил вязкого трения b.
Температура системы Т. Определите коэффициент диффузии D, входящий в формулу (4.6). Хаотические силы, действующие на броуновскую частицу со сторонымолекул среды, можно представить как сумму сил: вязкого тренияи случайной силы f.99Гл. 4. Теорема о равномерном распределенииРешениеЗапишем уравнение движения броуновской частицы вдольоси x:mx′′ = −bx′ + f x ,(4.8)где m – масса броуновской частицы, bx′ – сила вязкого трения, fx –компонента случайной силы вдоль оси x.Для нахождения x 2 = Δxt2 умножим уравнение (4.8) на х иусредним по ансамблю броуновских частиц.
При этом учтем, чтоxx′′ = ( x 2 / 2)′′ − ( x′)2иxx′ = ( x 2 / 2)′ .Получаем уравнение (4.8) в виде:m ( x 2 / 2)′′ − m ( x′)2 = −b ( x 2 / 2)′ + f x x .Для x 2(4.9)используем формулу (4.6), а для среднего квадрата х-компоненты скорости ( x′)2– теорему о равномерном распреде-лении кинетической энергии: mv x2 / 2 = kBT / 2 . Поскольку координата х частицы и fx являются независимыми случайными величинами, то f x x = 0 .
В результате уравнение (4.9) принимает вид:0 − k BT = −bD + 0 . Таким образом,k BT.(4.10)bДля среднего квадрата смещения (4.7) броуновской частицыполучаем:6k T(4.11)rt2 = B t .bЗамечания1. Если представить броуновскую частицу шариком с радиусомr, то коэффициент силы вязкого трения в жидкости может быть вычислен по формуле Стокса f = 6 πηrv : b = 6 πηr . В этом случаеимеемk T(4.12)rt2 = B t .πηrD=100МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ЗАДАЧИИз (4.12) следует, что перемещение шарообразной броуновской частицы в жидкости за время t зависит от вязких свойств итемпературы жидкости, а также от радиуса частицы, и не зависитот ее массы.2. Формулы (4.11) и (4.12) соответствуют наиболее вероятномусмещению для ансамбля частиц. Число частиц в ансамбле, имеющих заданное среднеквадратичное смещение, описывается распределением Гаусса.k TОтвет: D = B .bЗадача 4.2.3. На невесомой нерастяжимой нити подвешен маленький шарик (рис. 4.2).
Длина нити 3 см, масса шарика 30 мг.Маятник может совершать колебания в одной плоскости. Найтисреднее флуктуационное отклонение маятника при температуре27°С.РешениеМаятник можно рассматривать как статистическую систему(броуновскую частицу), находящуюся в тепловом равновесии с окружающей средой при температуре T , имеющую однустепень свободы ϕ – отклонение маятника от положенияравновесия.
Смещение из положения равновесия ϕ – величина случайная, так какявляется результатом действия случайной силы, возникающей за счет беспорядочных случайных ударов молекул окружающей среды о маятник. В результате флуктуации этой силы возникаетРис. 4.2. В термостате при температуреТ на невесомой нерастяжимой нитидрожание маятника – колебаподвешен шарик. Масса шарика m, длительные движения. В среднемна нити A .ϕ = 0 , а в каждый фиксированный момент времени ϕ может отличаться от среднего значенияиз-за флуктуации:101Гл. 4. Теорема о равномерном распределенииσϕ2 =(ϕ −ϕ)2= ϕ2 ≠ 0 .Для определения флуктуационного отклонения маятникаϕ2используем теорему о равномерном распределении кинети-ческой энергии в статистической системе.
Энергия статистическойсистемы (броуновской частицы массы m ) равнаε=J ϕ 2ml 2 ϕ 2+ U пот =+ mgl (1 − cos ϕ) .22При малых отклонениях ( cos ϕ ≈ 1 − ϕ2 2 ) колебания гармонические. Учитывая, что средние значения кинетической и потенциальной энергий гармонических колебаний равны, и применяя теорему о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы, имеемmglϕ2ml 2ϕ 2k T== B ,222и окончательно получаем:ϕ2 =ϕ2 =Ответ:k BT,mglk BT≈ 2,2 ⋅ 10−8 рад ≈ 1,3 ⋅ 10−5 град .mglϕ2 = k BT / (mgl ) ≈ 1,3 ⋅ 10−5 град .Задача 4.2.4. Расстояние между атомами азота в молекуле N2равно A = 0,11нм . Считая атомы азота материальными точками,определить среднюю угловую скорость вращения молекулы азотапри комнатной температуре Т = 300К.РешениеИспользуя теорему о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы, можно записатьJ ω22=1k BT ,2(4.13)102МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ЗАДАЧИгде J – момент инерции молекулы азота, ω − средняя угловая скорость вращения молекулы, k B − константа Больцмана, T − температура. Момент инерции молекулы относительно оси, перпендикулярной линии, соединяющей атомы азота равенJ = mA 2 / 4 ,(4.14)M, N A − число Авогадро, М –где m − масса атома, равная m =NAмолярная масса атомарного азота.Учитывая (4.14), из (4.13) получаемω =1 2 RT1=A M0,11 ⋅ 10−9Ответ: ω =2 ⋅ 8, 31 ⋅ 30014 ⋅ 10−3≈ 5, 4 ⋅ 1012 рад / с .(4.15)1 2 RT≈ 5, 4 ⋅ 1012 рад / с .A MЗадача 4.2.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
