Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 11
Текст из файла (страница 11)
При термодинамическом равновесии температурагаза, находящегося в поле силы тяжести, постоянна по высоте. Смолекулярно-кинетической точки зрения кажется на первыйвзгляд, что температура газа (какпараметр, связанный со среднейкинетической энергией молекул)должна убывать с высотой, так каклетящаявверхмолекулазамедляется полем тяжести, алетящая вниз – ускоряется.Однакоотношениечислабыстрых и медленных молекул(определяемоерас-пределениемМаксвелла по скоростям) иРис.
3.4. Зависимость концентрациисредняя энергия (а значит, имолекул, обладающих скоростямитемпература) не меняются поv, от величины v на высоте Н1 надповерхностью Земли и на высотевысоте. Причина заключается вН2>H1.том, что с увеличением высотыконцентрациямолекулуменьшается.На рис. 3.4 изображены распределения молекул по скоростямна разных высотах: H1 (сплошная линия) и H 2 > H1 (пунктирнаяεпот ≈()77Гл 3.
Распределение Больцманалиния). Стрелками указаны возможные переходы частиц при ихперемещении вверх (с увеличением высоты), когда потенциальнаяэнергия увеличивается за счет уменьшения кинетической энергии.Максимумы кривых не смещены друг относительно друга, чтоозначает v1 = v2 или T1 = T2 .⎛ mgz ⎞n ( z ) = n (0) ⋅ exp ⎜ −⎟ ; 2. при низких⎝ k BT ⎠mgHтемпературах n(0) ≈ n ⋅→ ∞ , все молекулы собираются наk BTдне сосуда; в случае высоких температур плотность молекул на⎡ mgH ⎤ ⎡ mgz ⎤высоте z: n( z; T >> mgH / k B ) ≈ n ⎢1 +⎥ ⎢1 −⎥;⎣ 2k BT ⎦ ⎣ k BT ⎦1.Ответ:3. zc = H ⋅4.
εпотe a − (1 + a)aa (e − 1), a=mgH;k BT⎛ MgH ⎞ ⎡ MgH ⎤exp ⎜⎟ − 1+RT ⎠ ⎣⎢RT ⎦⎥⎝= k BT.⎛ MgH ⎞exp ⎜⎟ −1⎝ RT ⎠Задача 3.2.2. Идеальный газ,имеющийтемпературуТ,находитсявцилиндрическомсосуде, который вращается вокругсвоей оси с угловой скоростью ω(рис. 3.5). Радиус цилиндра R,высота H. Найти распределениедавления газа вдоль радиусацилиндрического сосуда, а такжедавление газа на боковую стенкуцилиндра. Число молекул газа в Рис. 3.5. Закрытый цилиндрическийсосуде N0. Масса одной молекулы сосуд, заполненный N0 молекуламиm. Силой тяжести пренебречь.идеального газа, вращается вокругсвоей оси с угловой скоростью ω притемпературе Т.РешениеВ неинерциальной системе отсчета, связанной с вращающимсяцилиндром, на молекулу идеального газа действует центробежная78МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ЗАДАЧИсила инерции, величина которой зависит от расстояния r молекулыдо оси вращения:f цб = mω2 r .(3.17)Энергия молекулы, находящейся на расстоянии r от осицилиндра, равна (по определению потенциальной энергии) работецентробежных сил при перемещении молекулы из данной точки r вточку r = 0, где ее потенциальная энергия равна нулю:001εпот = ∫ (fцб dr ) = ∫ mω2 r (− dr )(−1) = − mω2 r 2 .2rr(3.18)Вероятность обнаружить молекулу в элементарном объемеdV = 2πrHdr (тонкий цилиндрический слой с радиусами r и r + dr)определяется распределением Больцмана:⎛ mω2 r 2 ⎞⎛ ε ⎞dP ( r ) = A exp ⎜ − пот ⎟ d τr = A exp ⎜2πrHdr .⎜ 2k T ⎟⎟⎝ k BT ⎠⎝ B ⎠(3.19)Константу А находим из условия нормировки:R⎡⎛ mω2 r 2 ⎞ ⎤A = ⎢ 2 πH ∫ exp ⎜rdr ⎥⎜ 2k BT ⎟⎟ ⎥⎢⎣⎝⎠0⎦−1=aπHR2(ea − 1), (3.20)mω2 R 2.2k BTЧисло молекул, имеющих координаты в интервале (r , r + dr ) :где a =dN (r ) = N 0 dP(r ) .Концентрация молекул на расстоянии r от оси вращения:⎛ mω2 r 2 ⎞⎛ mω2 r 2 ⎞dN ( r )2= N 0 A exp ⎜=πnHRAexp⎜⎜⎟⎟ =0⎜ 2k T ⎟⎟kT2πrHdr2BB⎝⎠⎝⎠22⎛ mω r ⎞a(3.21)= n0 aexp ⎜,⎜ 2k T ⎟⎟e −1⎝ B ⎠N0где n0 =– средняя концентрация молекул в объемеH πR 2цилиндра.n( r ) =()79Гл 3.
Распределение БольцманаДавление на расстоянии r от оси вращения (рис. 3.6):⎛ mω2 r 2 ⎞p( r ) = n( r )k BT = N 0k BT ⋅ A exp ⎜=⎜ 2k T ⎟⎟⎝ B ⎠⎛ mω2 r 2 ⎞mω2 R 2 / 2= n0exp ⎜.⎜ 2k T ⎟⎟⎛ mω2 R 2 ⎞B ⎠⎝exp ⎜−1⎜ 2k T ⎟⎟B⎝⎠(3.22)Рис. 3.6. Зависимость давления газа p в сосуде от расстояния r (нормированногона R) от оси вращения при условии, что температура Т постоянна и определяетсяиз условия n0 k BT = 1 атм , где n0 = N 0 ( H πR 2 ) .
Кривые рассчитаны дляразличных а, соответствующих разным скоростям вращения: a1 = 1,5 ⋅ 10−2 ,a2 = 1,5 , a3 = 75 .Давление на боковую стенку:−1⎛ mω2 R 2 ⎞ ⎤mω2 R 2 ⎡(3.23)p( R ) = n0⎢1 − exp ⎜⎜⎟⎟ ⎥ .2 ⎣⎢⎝ 2k BT ⎠ ⎦⎥В предельных случаях имеем (см. рис. 3.6):1) При малых скоростях вращения (или при высокихmω2 R 2<< 1 , и можно пренебречь влияниемтемпературах) a1 =2k BTцентробежных сил:p( R ) ≈ n0mω2 R 2 k BT⋅= n0k BT .2mω2 R 280МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ЗАДАЧИ2) При высоких скоростях вращения (или при низкихmω2 R 2>> 1 , давление на2k BTбоковуюстенкусосудасоздаетсявсемимолекулами,собирающимися у стенки сосуда:температурах), т.е. в пределеp( R) ≈ n0a3 =f цбN0mω2 R 2mω2 R 2=⋅= N0,222SH πRгде S = 2πRH – площадь боковой стенки цилиндра.−1⎛ mω2 r 2 ⎞ ⎡⎛ mω2 R 2 ⎞ ⎤1−1 ,p( r ) = n0mω2 R 2 exp ⎜exp ⎜⎢⎟⎜ 2k T ⎟⎜ 2k T ⎟⎟ ⎥2B⎝ B ⎠ ⎣⎢⎝⎠ ⎦⎥Ответ:−1⎡⎛ mω2 R 2 ⎞ ⎤1p( R ) = n0mω2 R 2 ⎢1 − exp ⎜.⎜ 2k T ⎟⎟ ⎥2B⎢⎣⎥⎝⎠⎦Задача 3.2.3. Убедитесь, что в условиях предыдущей задачиεпот ≠ k BT 2 .РешениеВычисление средней потенциальной энергии приводит ксложной зависимости от температуры:1− εпот =mω2 r 2 / 2 dN ( r ) =N0 ∫()R⎛ mω2 r 2 ⎞2πrHdr == ∫ mω2 r 2 / 2 A exp ⎜⎜ 2k T ⎟⎟⎝ B ⎠0⎛ ae a⎞ mω2 R 2 ⎛ e a1⎞= k BT ⎜ a− 1⎟ =− ⎟.⎜a⎜ ( e − 1) ⎟2 ⎜⎝ ( e − 1) a ⎟⎠⎝⎠()Полученная зависимость потенциальной энергии от параметра1k BT=представлена на рис.
3.7.a mω2 R 2 2Впредельномслучаенизкихтемператур(приa=mω2 R 2>> 1 ):2k BT81Гл 3. Распределение Больцманаεпот ≈ −mω2 R 2;2при высоких температурах ( a << 1 ):εпот ≈ −Рис. 3.7. Зависимость εпотОтвет: εпот = −mω2 R 2.4от температуры от параметраmω2 R 22k BT1=∼T .a mω2 R 2 2⎛ ea1⎞mω2 R 2a=.,где−⎜⎜ a⎟⎟2kTa(e−1)B⎝⎠3адача 3.2.4. Два цилиндрических сосуда находятся на разныхвысотах в поле силы тяжести и соединены друг с другом тонкойтрубкой, объемом которой можно пренебречь по сравнению собъемами сосудов V1 и V2 (рис.3.8). Оси цилиндров вертикальны.Высота цилиндров H << h, где h – длина трубки, соединяющейсосуды.
Полное число молекул идеального одноатомного газа,заполняющего сосуды, равно N0. Температура Т.1) Не производя точных вычислений, нарисуйте примерныйграфик зависимости средней энергии E системы от температуры Т.2) Определите среднее значение полной энергии газаEвпределах очень низкой и очень высокой температур?3) Вблизи какой температуры Тк происходит переход энергииот низкотемпературной до высокотемпературной предельной82МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ЗАДАЧИзависимостей?4) Получите точное выражение для средней энергии Eсистемы.5) Определите отношение числа молекул N 2 / N1 в сосудах иотношение давлений газа в них p2 / p1 .Рис. 3.8. Два вертикальных цилиндрических сосуда расположены в поле силытяжести один над другим на расстоянии h и соединены тонкой трубкой, объемомкоторой можно пренебречь. Сосуды заполнены идеальным газом и имеют объемыV1 и V2.
Высота цилиндров H<<h.РешениеТак как температура газа в обоих сосудах одинакова, средняякинетическая энергия молекул в обоих сосудах также одинакова.Для одноатомного газа средняя энергия, приходящаяся на однумолекулу, равна εкин = 3k BT / 2 . Потенциальная энергия молекулв верхнем сосуде на mgh = Δ больше, чем в нижнем.
Такимобразом, полная энергия системы E зависит от распределениямолекул по сосудам. На это распределение оказывают влияние двафактора: температура и поле силы тяжести, стремящееся собратьвсе молекулы в нижнем сосуде. Поэтому характерным параметромв данной задаче является величинаmgha=.(3.24)k BTmgh>> 1 кинетическая энергияk BTмолекулы не позволяет ей преодолеть потенциальный барьерПри низких температурах a =83Гл 3. Распределение БольцманаΔ = mgh и перейти в верхний сосуд. Поэтому естественно ожидать,что энергия будет приблизительно линейно расти с температуройmgh≈1:вплоть до характерного значения температуры, когда a =k BTTk =mgh.kB(3.25)⎛⎞mgh<< 1⎟⎜a =k BT⎝⎠потенциальный барьер перестает оказывать влияние нараспределение молекул по высоте: молекулы свободно иравновероятно занимают все доступное пространство. В этойобласти температур полная энергия также приблизительно линейнорастет с температурой, но имеет постоянное, не зависящее оттемпературы слагаемое, равное потенциальной энергии молекул,находящихся в верхнем объеме: mgh ⋅ N 2 = mgh n V2 (рис.3.9).Точный расчет средней полной энергии системыВпределеоченьвысокихтемпературE = Eкин + Eпотсводится к вычислению средней потенциальной энергии(3.26)Eпот ,Eкин молекултак как для средней кинетической энергииодноатомного идеального газа можно использовать известноевыражение:3Eкин = N 0k BT .(3.27)2Рис.
3.9. Качественная зависимость средней полной энергии газа от температуры.84МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИРаспределение молекул по высоте z (вероятность нахождения вобъеме dV на высоте z) описывается распределением Больцмана:⎛ ε ⎞(3.28)dP ( z ) = A exp ⎜ − пот ⎟ dV .⎝ k BT ⎠Положим потенциальную энергию молекул, находящихся внижнем сосуде, равной нулю.Константа А находится из условия нормировки, которое вданной задаче принимает вид:ΔΔ ⎤⎡ − 0⎤⎡−−k BTk BTk BT ⎥⎢⎥⎢,1 = ∑ dP ( z ) = A ∫ edV + ∫ edV = A V1 + V2 e⎢⎥⎢⎥V1 ,V2VV2⎣1⎦⎣⎦−1Δ ⎤⎡−kA = ⎢V1 + V2e BT ⎥ .(3.29)⎢⎥⎣⎦Средняя потенциальная энергия одной молекулы определяетсяпо формуле средних значений:εпот0Δ⎡⎤−−k BTk BT⎢= ∫ εпот dP( z ) = A ∫ 0 ⋅ edV + ∫ Δ ⋅ edV ⎥ =⎢⎥V1 +V2V2⎣V1⎦= Δ ⋅ AV2eПодставляя значение константы А из (3.29), получаем:Δ ⋅V2 eεпот =−V1 + V2eГрафик зависимости εпотΔk BT−Δk BT.−Δk BT.(3.30)(3.30) от температуры представленна рис.
3.10 для случая V2 = 2V1 .Окончательно, для средней полной энергии системы получаем:E = N 0 ⎡⎣ εкин + εпотΔ⎡−k BT⎢3Δ ⋅V2 e⎤⎦ = N 0 ⎢ k BT +Δ−⎢2k BTV1 + V2e⎢⎣⎤⎥⎥.⎥⎥⎦(3.31)85Гл 3. Распределение БольцманаРис. 3.10. Средняя потенциальная энергия εпотодной молекулы в зависимостиот температуры при V2 = 2V1.⎛⎞Δ>> 1⎟ все⎜a =k BT⎝⎠⎛ ΔVεпот → Δ ⋅ 2 exp ⎜ −V1⎝ k BTПри низких температурахнаходятся в нижнем объеме,молекулы⎞⎟ → 0 (см.⎠рис. 3.10), иΔ ⎤⎡−3V3k2E ≈ N 0 ⎢ k BT + Δ ⋅ e BT ⎥ → N 0k BT .⎢2⎥2V1⎣⎦⎛⎞ΔПри высоких температурах ⎜ a =<< 1⎟молекулыk BT⎝⎠V2распределены равномерно по всему объему, εпот → Δ(см.V1 + V2рис. 3.10), и3E ≈ N 0 k BT + Δ ⋅ n V2 ,2N0– средняя концентрация молекул.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
