Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Оценим среднее число молекул азота(как основного компонента воздуха), ударяющихся о площадкуΣ = 1 см 2 при нормальных условиях. Средняя скорость молекулазота:8RT8 ⋅ 8,31 ⋅ 273vN 2 ==≈ 450 м/с .πM3,14 ⋅ 28 ⋅ 10−3Число ударов молекул азота о площадку Σ = 1 см 2 за одну секунду:11w ⋅ Σ = n0 v Σ = 2, 68 ⋅ 1025 ⋅ 450 ⋅ 10−4 ≈ 3, 0 ⋅ 1023 с −1 .4460МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИОтвет: w =n0 vk T= n0 B .42 πmЗадача 2.2.4.
Используя зависимость (2.19), найти давлениеp (T , n0 ) идеального газа при температуре Т и концентрации молекул n0 .РешениеДавление – это отношение нормальной составляющей силы Fn,действующей на площадку, к величине ее площади Σ. Импульс силы возникает из-за передачи молекулами газа импульса площадкепри упругих ударах молекул о площадку (см. pиc. 2.5).Направим ось x перпендикулярно площадке и рассмотримтолько те молекулы, которые имеют х- компоненту скорости в интервале (vx , vx + dvx ) . Одна молекула, имеющая х- компоненту скорости из диапазона (vx , vx + dvx ) при абсолютно упругом ударе оплощадку изменяет свой импульс на величину 2mvx .
Посколькучастота таких ударов dw(vx ) = vx n0 f (vx )dvx , то давление, оказываемое на стенку молекулами со скоростями (vx , vx + dvx ) , и равноепередаваемому площадке Σ = 1 м 2 импульсу за время Δt = 1 c , записывается в видеdp (vx ) = 2mvx ⋅ dw(vx ) = 2mvx ⋅ n0 vx f (vx ) dvx = 2mvx2 n0 f (vx )dvx .Учитывая все х- компоненты скоростей ( vx > 0 ), имеем∞p = ∫ 2mvx2 {n0 dP (vx )} = 2n00Поскольку=3+∞mvx2mvx2dPvn()=2. (2.20)0x∫ 22−∞mv 2ymv x2mv z2==, а следовательно,222mv x2, то (2.20) принимает вид:2mv 222p = n0= n0 εпост .323mv 2=261Гл 2.
Распределение МаксвеллаПолученное уравнение, связывающее макроскопический параметр – давление со средней кинетической энергией поступательного движения молекул, называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории.Используя связь кинетической энергии поступательного двиmv 23k T= B ,22жения молекул идеального газа с температуройполучаем уравнение состояния идеального газа – уравнение Менделеева – Клапейрона (в дальнейшем индекс 0 при концентрации неставится):p = nk BT .(2.21)Ответ: p = nk BT .Задача 2.2.5.
В сосуде, содержащем одноатомный идеальныйгаз при температуре Т, имеется небольшое отверстие (рис.2.6),площадь которого Σ. Как меняетсятемпература газа в сосуде по меревылета молекул? Снаружи сосудаподдерживается вакуум.РешениеПо мере вылета молекул энергиягаза в сосуде уменьшается на величину, равную энергии вылетевшихмолекул. А температура газа изменяРис.
2.6. В правой стенке сосуда,ется так, как изменяется средняя содержащего идеальный газ приэнергия ε in , приходящаяся на одну температуре Т, имеется небольшоеотверстие площадью Σ.частицу в сосуде. Для одноатомногогаза, находящегося в равновесии,3ε in = k BT . Поэтому следует вычислить среднюю энергию ε ex ,2приходящуюся на одну вылетающую частицу, и сравнить ее сε in .
Если ε ex = ε in , то температура в сосуде не меняется, еслиεex> εin– температура понижается, а если εпература повышается.Согласно (2.19) за единицу времени вылетаетex< εin– тем-62МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ⎛n ⎞⎛n ⎞dN ex = dwΣ = ⎜ v ⎟ dP (v)Σ = ⎜ v ⎟ f (v)dvΣ(2.22)⎝4 ⎠⎝4 ⎠молекул (поток молекул со скоростями (v, v + dv) ), каждая из кото-рых имеет энергию mv 2 / 2 (в соответствующем интервале значений).
Поэтому уносимая этими молекулами за единицу времениэнергия равна⎛ mv 2 ⎞ ⎛ n ⎞(2.23)dEex = ⎜⋅ Σ v f (v)dv .⎜ 2 ⎟⎟ ⎜⎝ 4 ⎟⎠⎝⎠В формулах (2.22) и (2.23) n – средняя концентрация молекул всосуде в момент времени, когда рассматривается вылет dNex молекул.Учитывая весь спектр скоростей у вылетающих молекул, получаем полное число молекул, вылетающих за одну секунду (полныйпоток молекул):N ex = ∫ dN ex∞∞1n⎛n ⎞= ∫ Σ ⎜ v ⎟ f (v)dv = Σ ∫ vf ( v )dv = n v Σ ; (2.24)4044 ⎠0 ⎝уносимую ими энергию (полный поток энергии):∞∞⎛mv 2 ⎞mn⎛n ⎞Eex = ∫ dEex = ∫ ⎜⋅ Σ ⋅ ⎜ v ⎟ f (v) dv = Σ⋅ ∫ v 3 f ( v )dv (2.25)⎟⎜ 2 ⎟8 0⎝4 ⎠⎠0⎝и среднюю энергию, приходящуюся на одну вылетающую молекулу:∞εex=EexN ex3⎛ 2k BT ⎞⎜⎟vmm⎝ m ⎠ = 2k T . (2.26)= 0∞==B2 1 ⎛ 2k BT ⎞ 222 v⎜⎟∫ vf (v)dv2⎝ m ⎠0∫vm3f (v)dv3Таким образом, по мере вылета молекул температура газа в сосуде понижается.Уравнение энергетического баланса имеет вид:33k BTN = k B (T − dT )( N − dN ) + 2k BTdN ,22где N – число молекул в сосуде в момент времени t.(2.27)63Гл 2.
Распределение МаксвеллаИспользуя уравнение энергетического баланса (2.27), найдемзависимость температуры от числа молекул в сосуде. Разделяя переменные3dT dN=TN(2.28)и интегрируя, получаем:1/3⎛ N ⎞T = T0 ⎜⎟ ,⎝ N0 ⎠где T0, N0 – температура и число молекул в сосуде в момент времени t = 0.Уравнение (2.28) позволяет найти зависимость температуры отвремени.
Учитывая, что число молекул, покидающих сосуд за время dt:ndN = − N ex dt , а N ex = Σ v ,(2.29)48k B T, получаем:где n = N / V и v =πmdN= −6α T dt ,(2.30)NRΣ kBΣгде 6α =– не изменяющаяся со временем вели=V 2πm V 2πμчина.Подставляя (2.30) в (2.29), получаем уравнение:3dT= −6α T dt ,Tрешение которого имеет вид:T0.(2.31)T (t ) =21 + α T0 ⋅ t(1л)Количественную оценку проведем для азота в сосуде объемомприТ0 = 300 К.ПустьΣ = 0,01 мкм2.Тогда(T (t ) = 300 / 1 + 5, 25 ⋅ 10−10 t)2, т.е.
температура уменьшится в двараза приблизительно через 25 лет.64МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИОтвет: Температура газа в сосуде по мере вылета молекулпонижается.Задача 2.2.6. Найти: 1) температуру, при которой скоростяммолекул v1 и v2 соответствуют одинаковые значения функции рас-пределения Максвелла f (v) ; 2) скорость v молекул, при которойраспределение Максвелла f (v) для температуры T0 будет такимже, как и для температуры в η раз большей. Масса молекул m.Решение1. Запишем плотность распределения Максвелла для скоростеймолекул v1 и v2 :3/2⎛ mv12exp ⎜ −⎜ 2k BT⎝⎞2⎟⎟ 4πv1 ,⎠3/2⎛ mv22⎛ m ⎞f (v2 ) = ⎜exp⎜⎜ −⎟⎝ 2 πk BT ⎠⎝ 2k BTИз условия задачи f (v1 ) = f (v2 ) находим⎞2⎟⎟ 4πv2 .⎠⎛ m ⎞f ( v1 ) = ⎜⎟⎝ 2 πk BT ⎠⎛ mv12exp ⎜ −⎜ 2k BT⎝или⎞ 2⎛ mv22⎟⎟ v1 = exp ⎜⎜ −⎠⎝ 2k BT() ⎞⎟ .(2.32)().(2.33)⎛ m v2 − v221= exp ⎜2⎜v2⎜ 2k BT⎝Прологарифмировав (2.32), имеемv1222⎛ v 2 ⎞ m v2 − v1ln ⎜ 12 ⎟ =⎜v ⎟2k BT⎝ 2⎠Из (2.33) получаем:T=(⎞ 2⎟⎟ v2 ,⎠m v22 − v12⎟⎟⎠) = m (v22 − v12 ) .⎛ v2 ⎞2k B ln ⎜ 12 ⎟⎜v ⎟⎝ 2⎠⎛v ⎞4k B ln ⎜ 1 ⎟⎜v ⎟⎝ 2⎠(2.34)65Гл 2.
Распределение Максвелла2. Запишем плотности распределений Максвелла для двухтемператур T0 и ηT0⎛ m ⎞f1 ( v ) = ⎜⎟⎝ 2 πk BT0 ⎠3/2⎛ mv 2 ⎞exp ⎜ −4 πv 2 ,⎜ 2k BT0 ⎟⎟⎝⎠3/2⎛mv 2 ⎞exp ⎜ −4 πv 2 .⎜ 2k BηT0 ⎟⎟⎝⎠⎛⎞mf 2 (v) = ⎜⎟⎝ 2πk BηT0 ⎠Из условия задачи fT0 (v) = f ηT0 (v) находим3/2⎛ m ⎞⎜⎟⎝ 2 πk BT0 ⎠откуда получаем3/2⎛ mv 2 ⎞ ⎛⎛⎞mmv 2 ⎞exp ⎜ −=exp−⎜⎜⎟⎟ ,⎜ 2k BT0 ⎟⎟ ⎜⎝ 2 πk BηT0 ⎟⎠η2kTB0⎝⎠⎝⎠⎛ mv 2 (1 − 1 η) ⎞(2.35)η3 2 = exp ⎜⎟.⎜⎟2kTB0⎝⎠Прологарифмировав левую и правую части (2.35), получаем⎛ η−1⎞mv 2 ⎜⎟3⎝ η ⎠.ln η = −22k BT0откуда следует3ln ηk BT0η.v=m ( η − 1)Ответ: 1) T =(m v22 − v12) ; 2) v =⎛v ⎞4k B ln ⎜ 1 ⎟⎝ v2 ⎠3ln ηk BT0ηm ( η − 1).Задача 2.2.7. Найти среднее значение обратной скорости моле-кул идеального газа1, находящегося при температуре Т, еслиvмасса каждой молекулы m.
Сравнить полученную величину с обратной величиной средней скорости1.〈v〉66МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИРешениеиспользуем формулу для вычисленияДля определения 1 vсредних значений:∞11= ∫ ⋅ f ( v ) dv ,vv−∞(2.36)3/2⎛ mv 2 ⎞exp ⎜ −4 πv 2 – функция распределения⎜ 2k BT ⎟⎟⎝⎠Максвелла по абсолютным значениям скоростей.Интегрируя (2.36), получаем⎛ m ⎞где f (v ) = ⎜⎟⎝ 2 πk BT ⎠1=v∞12⎛ m ⎞∫ v ⋅ 4πv ⎜⎝ 2πkBT ⎟⎠−∞Из (2.12) следует, чтот.е.32⎛ mv 2exp ⎜ −⎜ 2k BT⎝⎞⎟⎟ dv =⎠2m.πk BT1πm=,〈 v〉8k BT114:= .v 〈 v〉 πОтвет:1=v2m;πk BT114= .:v 〈 v〉 π2.3.
Задачи для самостоятельного решенияЗадача 2.3.1. Определите какая доля молекул идеального газа1) имеет скорость в интервале (v, v + dv) и движется под углом(θ, θ + d θ) к оси z и под углом (ϕ, ϕ + d ϕ) к оси x;2) имеет скорость в интервале (v, v + dv) и движется под углом(θ, θ + d θ) к оси z.Ответ:1)n( v, θ, ϕ) ⎛ m ⎞=⎜⎟n0⎝ 2 πk BT ⎠2)n( v, θ) ⎛ m ⎞=⎜⎟n0⎝ 2πk BT ⎠3/23/2⎛ mv 2exp ⎜ −⎜ 2k BT⎝⎛ mv 2exp ⎜ −⎜ 2k BT⎝⎞2⎟⎟ ⋅ sin θd θd ϕ v dv ;⎠⎞2⎟⎟ 2 π sin θd θ v dv .⎠67Гл 2. Распределение МаксвеллаЗадача 2.3.2. Идеальный газ имеет молярную массу М и находится при температуре Т. Найти средние значения: 1) х-компоненты скорости vx , 2) модуля х-компоненты скорости vx .∞0Ответ: vx = 0 , vx =∫ (−vx ) f (vx )dvx + ∫ vx f (vx )dvx =−∞0∞= 2 ∫ vx f (vx ) dvx =02 RT.πMЗадача 2.3.3. Запишите функциюплотности вероятности, с которой скорость молекулы идеального газа вдольвыделенного направления (например,x) имеет значение vx , а модуль скорости в перпендикулярном направлении –v⊥ .
Температура газа Т, масса молекулы m. Какова доля молекул газа, скорости которых в перпендикулярном на- Рис. 2.7. Направления скоростимолекул идеального газа и ееправлениилежатвинтервалепроекции на оси x и y.(v⊥ , v⊥ ± δv⊥ ) ?Ответ: (см. рис.2. 7)⎛ m ⎞f ( v x , v⊥ ) = ⎜⎟⎝ 2πk BT ⎠δN ( v⊥ , v⊥ ± δv⊥ )=N0∞3/2⎡ mv 2 + mv⊥2 ⎤exp ⎢ − x⎥ 2 πv⊥ ,2k BT ⎥⎦⎢⎣∫ ( f (vx , v⊥ )δv⊥ )dv x =−∞⎡ mv⊥2 ⎤mexp ⎢ −⎥ v⊥ δv⊥ .k BT⎢⎣ 2k BT ⎦⎥Задача 2.3.4.
Найти долю молекул идеального газа, скоростикоторых отличаются от наиболее вероятной скорости не более чемна α = 1%.ΔN 0,08αОтвет:=≈ 0,017 .N0e πЗадача 2.3.5. При какой температуре плотности вероятностидля скоростей молекулы кислорода v1 = 300 м/с и v2 = 600 м/содинаковы?68МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИОтвет: T =M ( v22 − v12 )≈ 380 K .4 R ln( v2 / v1 )Задача 2.3.6. Во сколько раз должна изменится температура,чтобы максимум функции плотности распределения молекул идеального газа по скоростям уменьшился в α раз?Ответ: увеличиться в α 2 раз.Задача 2.3.7. Чему равно отношение числа молекул азота, хкомпонента скорости которых лежит в интервале (315 ± 0,3) м/с, кчислу молекул с х-компонентой скорости в интервале(515 ± 0,5) м/с при температуре Т = 280 К?⎡ M (vx21 − vx22 ) ⎤ Δvx1ΔN1Ответ:= exp ⎢ −≈ 0, 22 .⎥2 RTΔN 2⎣⎢⎦⎥ Δvx 2Задача 2.3.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
