Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Системагде n =V1 + V2стремится к равномерному распределению частиц по объемуV1 + V2 :86МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИN1 → n V1 ,Число частиц в сосудах:N 2 → n V2 .N1 = N 0 P (V1 ) = N 0 Ae−0k BTV1 = N 0 AV1 ,N 2 = N 0 P(V2 ) = N 0 Ae−Δk BTV2 .Отношение числа частиц в сосудах:ΔN 2 V2 − kBT= e.N1 V1Отношение концентраций молекул в сосудах:Δ−n2= e kBT .(3.32)n1Отношение давлений определяется отношением концентраций:⎡ Δ ⎤p2 n2 k BT n2=== exp ⎢ −⎥.p1 n1k BT n1⎣ k BT ⎦(3.33)Ответ: 1) см. рис. 3.9;2) При низких температурах ( a = Δ ( k BT ) >> 1) все молекулынаходятся в нижнем объеме,температурах(a = ΔE( k BT ) << 1)равномерно по всему объему,→ (3 2) N 0k BT .
При высокихмолекулыраспределеныE ≈ (3 2) N 0k BT + Δ ⋅ n V2 , гдеn = N 0 (V1 + V2 ) – средняя концентрация молекул;3) Tk =mgh;kB−1Δ ⎡Δ ⎤−−3k BT ⎢k BT ⎥;V +V e4) E = N 0k BT + N 0 Δ ⋅ V2 e⎢ 1 2⎥2⎣⎦Δ⎡ Δ ⎤NV −pn5) 2 = 2 e k BT , 2 = 2 = exp ⎢ −⎥.N1 V1p1 n1⎣ k BT ⎦87Гл 3. Распределение Больцмана3адача 3.2.5. Будем считать, что температура воздуха неизменяется с высотой (изотермическая модель атмосферы), авоздух представляет собой смесь идеальных газов.1. Определить изменение состава воздуха с высотой припостоянной температуре Т.2.
Найти среднюю потенциальную энергию εпот молекулыгаза в изотермической земной атмосфере при условииоднородности поля силы тяжести.3. Оценить полное число молекул в изотермическойатмосфере.4. Оценить высоту изотермической атмосферы, т.е. толщинуизотермического слоя атмосферы при постоянной плотностивоздуха, равной плотности воздуха n(0) у поверхности Земли.РешениеНаправим ось z перпендикулярно поверхности Земли вверх,начало отсчета z = 0 выберем на поверхности Земли (рис. 3.12).Рис. 3.12.
Ось координат z направлена перпендикулярно поверхности Земли (RЗ –радиус Земли). Темной полоской толщиной dz выделен слой атмосферы.Врамкахприменимостимоделиидеальногогазараспределение молекул, массой m, по высоте не зависит от наличиямолекул другой массы. Распределение молекул по высоте zописывается распределением Больцмана:⎡ mgz ⎤dPm ( z ) = A ⋅ exp ⎢ −⋅ 4 π( RЗ + z )2 dz ,(3.34)⎥⎣ k BT ⎦где 4π( RЗ + z )2 dz – объем сферического слоя атмосферы навысоте z, RЗ – радиус Земли.88МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИЕсли полное число молекул с массой m обозначить N 0m , то навысоте z находится dN m ( z ) ≈ N 0 m dPm (z ) молекул, а их сконцентрация равна⎡ mgz ⎤dN m ( z )nm ( z ) =NAexp=m0⎢− k T ⎥ =4π( RЗ + z )2 dz⎣ B ⎦⎡ mgz ⎤= nm (0) exp ⎢ −(3.35)⎥.⎣ k BT ⎦Коэффициент nm (0) перед экспонентой равен концентрациимолекул с массой m у поверхности Земли:nm (0) ≈ N 0 m ⋅ A .(3.36)1.
На рис. 3.13 представлены зависимости от высотыконцентрации молекул, имеющих разные массы m1 < m2 (см. (3.10)и (3.11)):⎡ m gz ⎤⎡ m gz ⎤n1 ( z ) ≈ n1 (0)exp ⎢ − 1 ⎥ ,n2 ( z ) ≈ n2 (0)exp ⎢ − 2 ⎥ .⎣ k BT ⎦⎣ k BT ⎦Рис. 3.13. Изменение с высотой z концентрации молекул, имеющих разные массыm1 < m2 , при температуре Т.Изменение отношения концентраций ξ( z ) частиц с высотойсвязано с Δm = m2 − m1 :ξ( z ) =⎡ Δm gz ⎤n1 ( z )=ξ(0) ⋅ exp ⎢⎥.n2 ( z )⎣ k BT ⎦(3.37)89Гл 3.
Распределение БольцманаПри постоянной Т с увеличением высоты происходитобеднение воздуха тяжелыми молекулами. Оценим высоту z ∗ , накоторой концентрации молекул азота N 2 и гелия Не могли бы бытьодинаковы, если у поверхности Землиn2 (N 2 ,0) ≈ 78% , n1 (He,0) ≈ 5, 2 ⋅ 10−4 % :ξ( z ∗ ) = 1 =⎡ ΔMgz ∗ ⎤n1 (He,0)⋅ exp ⎢⎥,n2 (N 2 ,0)⎢⎣ RT ⎥⎦(3.38)где ΔM = N A Δm .Из (3.38) получаемn (N , 0)RTln 2 2≈ 124км .ΔMg n1 (He, 0)Прежде чем определить значение константы А в распределениимолекул, обратим внимание на степень экспоненты враспределении Больцмана:mgz ⎛ mgRЗ ⎞ z=⎜.⎟k BT ⎝ k BT ⎠ RЗz∗ =Для средней молярной массы молекул воздуха M = 29г/моль ипри температуре Т = 273 К получаемmgRЗ zMgRЗ z29 ⋅ 10−3 ⋅ 9,8 ⋅ 6400 ⋅ 103 zz=≈≈ 800.8,31 ⋅ 273k BT RЗRT RЗRЗRЗЭто означает, что вероятность имеет существенные значениятолько для z << RЗ , и в этом случае можно положить:( RЗ + z )2 ≈ RЗ2 .Распределение (3.34) принимает вид⎡ mgz ⎤2dPm ( z ) ≈ A ⋅ exp ⎢ −⎥ ⋅ 4 πRЗ dz .kT⎣ B ⎦∞Константа А находится из условия нормировки∫ dPm ( z ) = 1 :0A ⋅ 4 πRЗ2∞k BT − xe dx = 1 ,mg ∫0(3.39)90МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ЗАДАЧИmgA=.k BT 4 πRЗ2Окончательно для вероятности получаем:⎡ mgz ⎤mgdPm ( z ) ≈exp ⎢ −⎥ dz ,k BT⎣ k BT ⎦(3.40)(3.41)а для концентрации –⎡ mgz ⎤n( z ) ≈ n(0)exp ⎢ −⎥.⎣ k BT ⎦2. Среднюю потенциальную энергию одной молекулы можнонайти по формуле для средних значений при известной функциираспределения∞∞00εпот = ∫ mgz ⋅ dPm ( z ) = ∫ mgz⎡ mgz ⎤mgexp ⎢ −⎥ dz =k BT⎣ k BT ⎦∞= k B T ∫ xe − x dx = k B T .03.
При вычислении полного числа молекул N0 визотермической атмосфере будем считать все молекулыодинаковыми со средней молярной массой М. Тогда можновоспользоваться полученным ранее соотношением (3.36) с учетом(3.40) или вычислить N0, используя распределение (3.35) дляконцентрации:∞N 0 = ∫ n ( z )4 π( RЗ + z )2 dz =0∞⎡ mgz ⎤= ∫ n(0) ⋅ exp ⎢ −4π( RЗ + z )2 dz ≈⎥⎣ k BT ⎦0≈ n(0)4πRЗ2∞⎡ mgz ⎤ ⎛z⎞∫ exp ⎢⎣ − kBT ⎥⎦ ⎜⎝ 1 + 2 RЗ + ... ⎟⎠ dz ≈ n(0)4πRЗ z0 , (3.42)20где n(0) – концентрация всех молекул воздуха у поверхностиЗемли.
При вычислении (3.42) использовалось разложение( RЗ + z )2 ≈ RЗ2 (1 + 2 z / RЗ + ...) ,(3.43)91Гл 3. Распределение Больцманасправедливое при z / RЗ << 1 , и было введено обозначение:k BT RT== z0 .mg Mg4. По физическому смыслу z0 –это высота, на которойконцентрация молекул n( z0 ) в е раз меньше n(0) . Посколькуz0 =RT8, 3 ⋅ 273≈≈ 8, 0 км << RЗ ≈ 6 400 км ,Mg 30 ⋅ 10−3 ⋅ 9,8(3.44)то сделанные упрощения (3.43) справедливы.Численная оценка полного числа молекул:N 0 ≈ n(0)4πRÇ2 ⋅ z0 ≈ 2,7 ⋅ 1025 ⋅ 4π(6, 4 ⋅ 106 )2 ⋅ 8 ⋅ 103 ≈ 1044 .Из (3.42) следует, что z0 – это толщина слоя воздуха,окружающего Землю, в котором собрались бы все молекулы припостоянной по высоте температуре и постоянной концентрациимолекул, равной концентрации у поверхности Земли.⎡ mgz ⎤Ответ: 1.
n( z ) ≈ n(0)exp ⎢ −⎥ ; 2. εпот = k B T ;⎣ k BT ⎦3. N 0 ≈ n(0)4πRЗ2 z0 ;RT8, 3 ⋅ 2734. z0 =≈≈ 8, 0 км .Mg 30 ⋅ 10−3 ⋅ 9,8Задача 3.2.6. Молекулы идеального газа находятся притемпературе Т в однородном вертикальном потенциальном поле,dU ( z )для которого= const , где U ( z ) - потенциальная энергияdzодной молекулы, находящейся на высоте z.
Концентрации молекулна высотах h1 и h2 ( h2 > h1 ) отличаются в η раз. Вычислить силу,действующую на частицу со стороны поля.РешениеСила, действующая по оси z на частицу в потенциальном полеравнаdU ( z )F =−.dz92МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИВ однородном поле эту силу можно записать в видеU ( h2 ) − U ( h1 ).(3.45)F=h2 − h1Согласно распределению Больцмана концентрации частиц n1 иn2 на уровнях h1 и h2 равны соответственно⎛ U ( h1 ) ⎞⎛ U ( h2 ) ⎞(3.46)n1 = n0 exp ⎜ −⎟ и n2 = n0 exp ⎜ −⎟.⎝ k BT ⎠⎝ k BT ⎠Поскольку плотность частиц больше там, где меньше ихпотенциальная энергия, то n1 n2 = η .
Из отношения концентраций(3.46) находим⎛ U ( h1 ) ⎞exp ⎜ −⎟⎝ k BT ⎠ .η=(3.47)⎛ U ( h2 ) ⎞exp ⎜ −⎟⎝ k BT ⎠После логарифмирования (3.47), получаемU ( h2 ) − U ( h1 ) = k BT ln η .Тогда искомая сила (3.45) равна:k TF = B ln η .h2 − h1k TОтвет: F = B ln η .h2 − h13.3. Задачи для самостоятельного решенияЗадача3.3.1.Ввертикальномтеплоизолированномцилиндрическом сосуде, имеющем высоту Н и площадь торцевыхповерхностей S, находится идеальный газ под давлением р.Молярная масса газа М. Температура газа линейно возрастает отзначения Т1 у нижнего торца цилиндра до значения Т2 у еговерхнего торца. Определить изменение плотности газа с высотой имассу газа в сосуде.pM ( SH ) ln(T2 /T1 )pMH, m=Ответ: ρ( z ) =.R(T2 − T1 )R ⎡⎣T1 ( H − z ) + T2 z ⎤⎦93Гл 3. Распределение БольцманаЗадача 3.3.2.
Используя модель изотермической атмосферы,определите давление воздуха на высоте 1 км над поверхностьюЗемли и в шахте на глубине 1 км под поверхностью Земли.Изменением состава воздуха пренебречь. Давление и температурана поверхности Земли нормальные.⎡ Mgh ⎤Ответ: p (+ h) = p0 exp ⎢ −⎥ ≈ exp ( −0,125 ) ≈ 0,88 атм ,⎣ RT ⎦p (−h) ≈ exp ( +0,125 ) ≈ 1,13атм .Задача 3.3.3.
Потенциальная энергия молекул идеального газазависит от расстояния r как U ( r ) = ar , где а – положительнаяпостоянная, r = 0 – центр поля. Температура газа Т. Определитьфункцию плотности вероятности нахождения молекулы наудалении r от центра поля, наиболее вероятное расстояние rнв исреднее значение потенциальной энергии U , приходящейся наодну молекулу газа.31 ⎛ a ⎞ − ar /( k BT ) 22k TОтвет: f ( r ) = ⎜r , rнв = B ,⎟ e2 ⎝ k BT ⎠aU = 3k BT .Задача 3.3.4. Дисперсная система представляет собойколлоидные частицы, находящиеся в растворителе. Коллоидныечастицы обособлены и участвуют в тепловом броуновскомдвижении.
Дисперсная коллоидная система находится ввертикальномцилиндрическомсосуде,вращающемсяотносительно своей оси с угловой скоростью ω. Радиус сосуда а.Плотность растворителя ρ0, плотность коллоидных частиц ρ.Температура системы Т. Отношение концентрации коллоидныхчастиц у стенок сосуда r1 = a и на расстоянии r2 = a/2 равно α.Вычислите молярную массу коллоидных частиц.Примечание. Коллоидными частицами называются частицы,имеющие размер от 1 нм до 1 мкм.8RT ρ ln α.Ответ: M =3(αω) 2 (ρ − ρ0 )Задача 3.3.5.
Дисперсная коллоидная система находится в полесилы тяжести при температуре Т. При подъеме на высоту ∆h94МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИконцентрация коллоидных частиц уменьшается в α раз. Плотностьрастворителя ρ0, плотность коллоидных частиц ρ. Определитьрадиус r0 коллоидных частиц.1/3⎡ 2k BT ln α ⎤Ответ: r0 = ⎢⎥⎣ 4π(ρ − ρ0 ) g Δh ⎦.Задача 3.3.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
