Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Найти среднеквадратичную круговую частотувращения молекулы кислорода при температуре 50 °С, если ее момент инерции относительно осей x и y, перпендикулярных оси z,соединяющей атомы, равен J = 1,9 ⋅ 10−46 кг ⋅ м2 .РешениеИспользуя теорему о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы, можно записать:J ω2x2гдеω2=J ω2y2=1k BT ,2(4.16)— среднеквадратичная угловая скорость вращения мо-лекулы.Из (4.16) получаемω2 =Ответ:k BT1,38 ⋅ 10−23 ⋅ 323=≈ 1,5 ⋅ 1012 рад/c .−46J1,9 ⋅ 10ω2 =k BT≈ 1,5 ⋅ 1012 рад/c .J103Гл.
4. Теорема о равномерном распределенииЗадача 4.2.6. На вертикально подвешенной кварцевой нити укреплено зеркальце, повороты которого (броуновское движение)регистрируются. Модуль кручения нити D = 9,4⋅10–16 Н⋅м. Температура окружающего воздуха 300 К.
Найти средний квадрат амплитуды колебаний ϕ2 .РешениеПо теореме о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы для средней кинетической энергии вращательного движения зеркальца имеем:J ϕ 2 / 2 = k BT / 2 ,(4.17)где J − момент инерции зеркальца относительно оси вращения.В то же время для гармонических колебаний средние значениякинетической J ϕ 2 / 2 и потенциальной Dϕ2 / 2 энергий равны другдругу:J ϕ 2 / 2 = Dϕ2 / 2 .(4.18)Из (4.17) и (4.18) получаем:k T 1, 38 ⋅ 10−23 ⋅ 300ϕ2 = B =≈ 4, 4 ⋅ 10−6 радиан .−16D9, 4 ⋅ 10Ответ: ϕ2 =kBT≈ 4, 4 ⋅ 10−6 радиан .D4.3. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 4.3.1.
Сравните среднеквадратичные скорости движения капельки водыvк2и молекулы водяного параvm2 , нахо-дящихся в воздухе при температуре Т = 17оС. Радиус капелькиr0 = 0,05 мкм, плотность ρ = 1г/см3.3RT3 k BT≈ 0,15м/с .Ответ:vm2 =≈ 630 м/с , vk2 =2 πρr03MЗадача 4.3.2. Коэффициенты диффузии молекул формамида(НСОNH2) при комнатной температуре в воде и в сахарозе равны,соответственно, D1 = 1, 6 ⋅ 10−9 м 2 /с и D2 = 0, 3 ⋅ 10−9 м 2 /с .
Определите среднеквадратичное смещение молекулы формамида за104МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ∆t = 10 минут. Полагая форму молекулы формамида шарообразной,оцените ее радиус. Коэффициент вязкости воды η1 = 1,0мПа ⋅ с .Ответ: r1 = 2 D1Δt ≈ 14 ⋅ 10−4 м = 1,4 мм ,r2 = 2 D2 Δt ≈ 0,6 мм , R ≈k BT≈ 0,14 ⋅ 10−9 м =1,4 Å.6πη1D1Задача 4.3.3. В молекуле воды существует три типа колебательного движения атомов со следующими частотамиω1 = 3, 0 ⋅ 1014 рад / с , ω2 = 6, 9 ⋅ 1014 рад / с и ω3 = 7,1 ⋅ 1014 рад / с .Приравнивая среднюю энергию тепловых колебаний и энергиюкванта колебательного движения =ω , оцените температуру, прикоторой возбуждаются колебания всех трех типов. Какой тепловойколебательной энергией обладал бы один моль воды при этой температуре?Ответ: T = =ω / k B ≈ 5 ⋅ 103 K , W = 3RT ≈ 120 кДж .Задача 4.3.4.
Предел чувствительности пружинных весов ограничивается тепловым движением пружины. Вычислить ту малуюмассу m, которая может быть определена при однократном взвешивании на пружинных весах при температуре Т, если жесткостьпружины равна χ .Ответ: m =χk BT.gЛитература1. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М: Высшая школа,1981, §§12,13.2. Кикоин А.К.. Кикоин И.К.
Молекулярная физика. 3-е изд.СПб: Лань, 2007, §7.3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.II. Термодинамика имолекулярная физика. М: Наука. 1990, §§62,63.4. Миронова Г.А., Брандт Н.Н., Салецкий А.М. Молекулярнаяфизика и термодинамика в вопросах и задачах. М: Физический факультет МГУ, 2010, гл.3.5. Касандрова О.Н., Матвеев А.Н., Попов В.В. Пособие по решению задач молекулярной физики. М: Изд-во Московского университета, 1974, раздел I.Гл. 5. Первое начало термодинамики. Теплоемкость105Глава 5ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ. ТЕПЛОЕМКОСТЬ5.1. Теоретический материалТермодинамическая система – система, состоящая из стольбольшого числа частиц (структурных элементов), что ее равновесное состояние можно описывать усредненными макроскопическими параметрами (такими как давление, концентрация и др.).
Существуют два основных подхода к изучению термодинамических систем. Первый – это феноменологический подход, основанный наначалах общей термодинамики, подход, при котором система рассматривается как сплошная среда и описывается экспериментальноопределяемыми параметрами. Второй – это статистический подход,рассмотренный в предыдущих главах.Термодинамическое (тепловое) равновесие – состояние системы, не изменяющееся во времени и не сопровождающееся переносом через систему (или между отдельными частями (подсистемами) системы) энергии, вещества, заряда, импульса и т.п., то естьсостояние, при котором отсутствуют любые градиенты и связанныес ними макроскопические потоки, и система не может совершатьработу.Локальное термодинамическое равновесие – это равновесие вкаждом физически бесконечно малом объеме (малом, но макроскопическом объеме, то есть содержащем большое число частиц), когда температура, плотность и другие термодинамические параметры являются локальными и зависят от времени и пространственнойкоординаты.Параметры состояния (функции состояния) – это параметрысистемы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия.
Например, для жидкости и газа с фиксированным числом частиц N к параметрам состояния относятся р (давление), Т (температура), V (объем).Замечания.1) Изменение функций состояния в результате каких-либо процессов определяется только параметрами начального и конечногосостояний и не зависит от пути, по которому проходил процесс.106МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ЗАДАЧИ2) Параметры состояния в равновесии не являются постоянными, их значения флуктуируют около статистических средних значений.Экстенсивным (аддитивным) параметром называется параметр, пропорциональный числу частиц системы, то есть параметр,значение которого для всей системы равно сумме значений этогопараметра для подсистем данной системы. Например, объем системы V, число частиц N, энтропия S,…Интенсивным параметром однофазной системы называетсятакая величина, значение которой в состоянии термодинамического равновесия одинаково для системы и ее подсистем.
Интенсивный параметр не зависит от числа частиц в системе. Например,температура Т, давление р,…Уравнение состояния (термическое) для жидкостей и газов сфиксированным числом частиц – это функциональная зависимостьp = p(V , T ) (в более общей записи: f ( p, V , T , N ) = 0 ) для системы,находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Например, для идеального газа pV = νRT . Уравнение состояния ваналитическом виде не может быть получено из законов термодинамики. Оно или находится опытным путем, или выводится методами статистической физики.Уравнение состояния (калорическое) определяет внутреннююэнергию системы.В общем случае внутренняя энергия является функцией температуры T, объема V, давления p и количества частиц N, образующих систему.
Поскольку эти четыре параметра связаны уравнениемсостояния (например, для идеального газа: pV = νRT ), то независимыми являются только три из них. А если в системе остается неизменным и число частиц, то независимых переменных только две.В этом случае внутренняя энергия является однозначной и непрерывной функцией: U = U (T ,V ) , U = U (T , p ) , или U = U (V , p ) .Стационарное состояние – состояние системы, не изменяющееся во времени, но при этом через систему может осуществляться перенос энергии или вещества (заряда, импульса и т.п.).Изолированная система – система, не обменивающаяся с окружающей средой ни веществом, ни энергией (в форме теплоты( δQ = 0 ) и работы ( δA = 0 )).Гл.
5. Первое начало термодинамики. Теплоемкость107Адиабатная (теплоизолированная, или адиабатически изолированная) система – система, не обменивающаяся теплотой с другими системами.Закрытая система – система, не обменивающаяся веществомс другими системами.Открытая система – система, имеющая возможность обмениваться частицами с окружающей средой, система с переменнымчислом частиц.Идеальный газ – абстрактная модель, описывающая газ как совокупность материальных точек, не взаимодействующих друг сдругом (за исключением абсолютно упругих соударений молекул,необходимых для установления равновесия в системе). Возможно идругое определение: идеальным называется газ, уравнение состояния которого описывается соотношением pV = νRT . Реальный газможно считать идеальным газом (и описывать его состояние уравнением pV = νRT ), если среднее расстояние между молекуламизначительно больше размеров молекул.Термодинамический процесс – изменение состояния системы(хотя бы одного ее параметра состояния) со временем.Равновесный процесс – непрерывная последовательность равновесных состояний системы, которая может быть представлена налюбой диаграмме (например, р-V, V-T, T-p и др.) в виде некоторойкривой процесса.
Обратимые процессы – абстрактная модель, таккак реальные процессы необратимы. Однако реальные процессыможно считать обратимыми, если они происходят достаточно медленно, так что в каждый данный момент времени система находится в состоянии, близком к состоянию термодинамического равновесия.Обратимый процесс – процесс перехода термодинамическойсистемы из одного состояния в другое, который может протекатькак в прямом, так и обратном направлении через те же промежуточные состояния. Равновесный процесс описывается уравнениемпроцесса и некоторыми производными вдоль кривой процесса(дифференциальными характеристиками).Уравнение процесса – функциональная зависимость какоголибо параметра системы при изменении другого параметра в ходеравновесного процесса.
Например, p = a + bV 2 , где а и b – константы.108МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИПримером изопроцессов, в которых один из термодинамических параметров остается неизменным, являются:изобарический процесс – p = const ;изохорический процесс – V = const ;изотермический процесс – T = const .Для проведения изотермического процесса вещество помещается в термостат.
Термостат – большая термодинамическая система, параметры которой не изменяются при взаимодействии с исследуемым телом.В основе общей термодинамики лежат три фундаментальныхпринципа, установленные в результате обобщения экспериментальных данных и называемые началами (или законами) термодинамики.Прежде всего, дадим определения некоторых энергетическиххарактеристик термодинамической системы.Внутренняя энергия – функция состояния системы, экстенсивная (аддитивная) величина. Если в системе не происходит химических превращений, то внутренняя энергия – это энергия хаотического теплового движения: кинетическая энергия движения молекул, потенциальная энергия их взаимодействия, кинетическая энергия движения атомов в молекулах и потенциальная энергия ихвзаимодействия.Для системы, находящейся в состоянии термодинамическогоравновесия, внутренняя энергия имеет определенное значение, независящее от того, каким путем система пришла в это состояние.Изменение внутренней энергии при бесконечно малых изменениях параметров состояния системы есть полный дифференциалdU, а при переходе из состояния 1 в состояние 2 ΔU12 не зависит отпути процесса, а определяется только значениями внутренней энергии в конечном и начальном состояниях:2ΔU12 = ∫ dU = U 2 − U1 .1Элементарная механическая работа сил давленияδA = pdV(5.1)– это работа, совершаемая системой при бесконечно малом изменении объема dV (например, при расширении) против сил внешнего давления.Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
