Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Численный расчет провести для изохорического и изобарическогопроцессов.РешениеТеплоемкость C0 смеси в любом произвольном процессе можетбыть выражена через молярные теплоемкости С1, С2 отдельныхкомпонентов (расчет которых был дан в предыдущих задачах). Всилу аддитивности теплоты, входящей в общее определение теплоемкости, имеемδQ + δQ2= ν1C1 + ν 2C2 ,C0 = 1dTпоэтому удельная теплоемкость смеси для произвольного процесса:Гл. 5. Первое начало термодинамики. ТеплоемкостьC0 =135ν1C1 + ν 2C2.ν1M1 + ν 2 M 2С учетом (5.15) для изохорического процессаC0V =R ν1i1 + ν 2i2,⋅2 ν1M1 + ν 2 M 2и с учетом (5.17) для изобарического процессаC0 p = C0V +R (ν1 + ν 2 ).ν1M1 + ν 2 M 2Отношение γ равноγ=CpCV=C0 pC0V=1+ 2ν1 + ν 2.ν1i1 + ν 2i2Заметим, что в общем случае γ зависит как от числа степенейсвободы, так и от соотношения числа молей компонентов смеси.Численный расчет.
Для неона: М1 = 20 кг/кмоль, i = 3; для водорода M2 = 2 кг/кмоль, i2 = 5 (при 85 К < T < Tc = 6 400 K).Удельные теплоемкости и отношение γ для смеси газов равнысоответственно8, 31 0, 2 ⋅ 3 + 0, 5 ⋅ 5C0V =⋅≈ 2, 6 кДж / (кг ⋅ K) ,2 0, 2 ⋅ 20 + 0, 5 ⋅ 2C0 p = 2, 58 +8, 31 ⋅ 0, 7≈ 3, 7 кДж/(кг ⋅ К) ,0, 2 ⋅ 20 + 0, 5 ⋅ 20,7= 1, 45 .3 ⋅ 0, 2 + 5 ⋅ 0,5ν C + ν 2 C2ν + ν2= 1, 45 ,Ответ: C0 = 1 1, γ =1+ 2 1ν1M1 + ν 2 M 2ν1i1 + ν 2i2γ =1+ 2C0V ≈ 2, 6 кДж / (кг ⋅ K) , C0 p ≈ 3, 7 кДж/(кг ⋅ К) .Задача 5.2.10. Оценить температуру Дебая для свинца ивольфрама (см. табл.
5.2) и сравнить для них температурный ходтеплоемкости.136МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИТаблица 5.2Значения молярной массы, плотности и модуля Юнгадля свинца и вольфрамаВеществоСвинец PbВольфрам WМолярная масса,г/моль207,2183,9Плотность,103 кг/м311,319,1Модуль Юнга EY,1010 Н/м21,639Экспериментальные данные теплоемкости Ср [Дж/(моль⋅К)]при атмосферном давлении для свинца и вольфрама представленыв табл.
5.3.Таблица 5.3Экпериментальные значения теплоемкости Ср (Дж/(моль⋅К)) свинца ивольфрама для различных тепературT° ,KСр(Pb)Ср(W)204080150250400600100011,00,319,63,323,712,825,320,526,423,727,525,129,425,829,427,2РешениеПо формуле (5.27) вычисляем температуру Дебая:ETD (Pb) ≈ 1,9 ⋅ 10−3 1/3 Y 2/3 ≈ 86 K ,ρ MTD (W) ≈ 1,9 ⋅ 10−3EY1/3ρM 2/3≈ 404 K .Экспериментальные значения: TD (Pb) ≈ 105K , TD (W) ≈ 310 Kдостаточно хорошо согласуются с полученными оценочными значениями температур Дебая.Значительное различие температур Дебая для свинца и длявольфрама связано, прежде всего, с различием значений модулейЮнга, которое объясняет также и различие в скорости звука дляэтих веществ:EYEYc(Pb) =≈ 1190 м/с , с(W) =≈ 4520 м/с .ρρНа рис.
5.9 представлены температурные зависимости теплоемкости для свинца (сплошная линия) и вольфрама (штриховая линия).Значения температур Дебая отмечены пунктирными прямыми.Гл. 5. Первое начало термодинамики. Теплоемкость137Рис. 5.9. Температурные зависимости теплоемкости для свинца (сплошная кривая)и вольфрама (штриховая кривая). Температуры Дебая отмечены пунктирнымипрямыми.Ответ: TD (Pb) ≈ 1,9 ⋅ 10−3TD (W) ≈ 1,9 ⋅ 10−3EY1/3ρM 2/3EY1/3ρM 2/3≈ 86 K ,≈ 404 K .Задача 5.2.11. Для солей KCl и NaCl температуры Дебая равнысоответственно TD (KCl) ≈ 227 K и TD (NaCl) ≈ 281 K . Рассчитайтеудельные теплоемкости солей при T = 300 K .РешениеПоскольку температура, при которой вычисляются теплоемкости, выше температуры Дебая для обоих веществ, то для вычислений можно использовать закон Дюлонга и Пти. Энергия одногоатома (как трехмерного осциллятора в узле решетки) равна 3k BT , аэнергия двухатомной молекулы соли – 6k BT , следовательно, энергия моля соли равна 6 RT .
Таким образом, удельная теплоемкостьдвухатомной солиC = 6R / M .(5.56)Используя значения молярных масс:M (KCl) = M (K) + M (Cl) = 74, 5 г/моль ,M (NaCl) = M (Na) + M (Cl) = 58, 4 г/моль ,для удельных теплоемкостей получаем:138МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИC (KCl) = 670 Дж/(кг ⋅ K) ,C (NaCl) = 850 Дж/(кг ⋅ K) .Ответ: C (KCl) = 670 Дж/(кг ⋅ K) , C (NaCl) = 850 Дж/(кг ⋅ K) .5.3. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 5.3.1. Оцените внутреннюю энергию воздуха в комнате, имеющей размеры ( 5 × 4 × 2, 5 ) м3 . Давление атмосферное.
Воздух считать смесью идеальных газов с показателем адиабаты γ=1,4.pVОтвет: U == 12, 5 МДж .γ −1Задача 5.3.2. В цилиндрическом сосуде, открытом с одногоконца, под поршнем находятся ν молей идеального газа (рис. 5.10).Стенки сосуда теплопроводящие.Температура и давление окружающей среды постоянны и равныТ0 и р0. Какую работу должны совершить внешние силы, чтобыобъем газа под поршнем медленно(квазистатически) увеличился в аРис. 5.10.
Открытый с одного конца раз?цилиндрический сосуд с поршнем.Ответ: ΔAex =aV0∫ ( p0 − p ) dV = νRT0 ( a − 1 − ln a ) .V0Задача 5.3.3. Цилиндрический сосуд расположен горизонтально и разделен поршнем на два равных объема. Длина цилиндра 2A ,площадь сечения Σ (рис.5.11). Стенки сосуда теплопроводящие.Температура окружающего воздуха постоянна и равна Т0. В обеихчастях цилиндра находится по ν молей идеального газа. Поршеньначинают медленно перемещать. Найдите зависимость работывнешней силы Аex как функцию координаты поршня х.
Трениемпоршня о стенки цилиндра пренебречь.Гл. 5. Первое начало термодинамики. Теплоемкость139Рис. 5.11. Цилиндрический сосуд, разделенный поршнем на два равных объема.⎡ x ( 2A − x ) ⎤Ответ: (см. рис. 5.12) Aex ( x) = −νRT0 ln ⎢⎥A2⎣⎦Рис. 5.12. Зависимость работы внешней силы Аex от координаты поршня х.Задача 5.3.4.Теплоизолированный цилиндрический сосуд расположен горизонтально и разделен теплопроводящим поршнем надва равных объема.
Длина цилиндра 2A , площадь сечения Σ(рис.5.13). В обеих частях цилиндра при температуре Т0 находитсяпо ν молей идеального газа, показатель адиабаты которого γ. Поршень начинают медленно перемещать. Найдите зависимость Т(х)температуры газа Т от координаты поршня х. Трением поршня остенки цилиндра можно пренебречь.Рис. 5.13. Цилиндрический сосуд, разделенный поршнем на два равных объема.140МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ЗАДАЧИОтвет:ИзdU = δAex ,гдеdU = 2νCV dT ,δAex =1⎤⎡ 1= ( p2 − p1 )( dxΣ) = νRT ⎢− ⎥ dx , получаем (см. рис.5.13):⎣ 2A − x x ⎦T = T0A γ−1⎡⎣ x ( 2A − x ) ⎤⎦( γ−1) / 2Рис. 5.13. Зависимость температуры газа Т от координаты поршня х.Задача 5.3.5. В закрытом сосуде объемом V = 20 л находитсяаммиак NH3 при атмосферном давлении. Какое количество теплотыследует отвести от газа, чтобы понизить его температуру отТ1 = 300 К до Т2 =240 К (239,8 К – температура кипения аммиакапри р = 1атм).
Как при этом изменится внутренняя энергия аммиака? Показатель адиабаты γ=1,31.pV (T2 − T1 )Ответ: Q = ΔU = −≈ −1,3кДж .T1 ( γ − 1)Задача 5.3.6. Идеальный газ, находящийся при температуре Т1изобарически сжали так, что его объем уменьшился в α раз. Послеизотермического расширения объем газа стал равен первоначальному. Определить теплообмен ∆Q газа.
Число молей газа ν, показатель адиабаты γ.νRT1Ответ: ΔQ =⎡( γ − 1) ln α − γ ( α − 1) ⎤⎦ .α( γ − 1) ⎣Задача 5.3.7. Покажите, что работа А идеального газа в политропическом процессе пропорциональна изменению его внутреннейэнергии ∆U. Найдите отношение A/∆U, считая известными показатели политропы n и адиабаты γ.141Гл. 5. Первое начало термодинамики. ТеплоемкостьОтвет: A / ΔU = ( γ − 1) / (1 − n) .Задача 5.3.8.
Изобразите графически на (рV) - диаграмме про2цессы в идеальном газе а) p = p0 + a / V 3 , б) p = p0 e − aV и определите максимально возможные температуры в этих процессах. Вуравнениях процессов р0 и а – положительные постоянные, V –объем одного моля газа.1/ 33 ⎛ ap 2 ⎞Ответ: а) T = ⎜ 0 ⎟R ⎜⎝ 4 ⎟⎠, б) T =p0R 2ae.Задача 5.3.9. В теплоизолированном цилиндрическом сосудедлиной 2A и площадью основания Σ может свободно перемещатьсялегкий теплоизолирующий поршень.
Первоначально поршень находится в центре сосуда (рис. 5.14), а в обеих частях сосуда – по νмолей идеального газа под давлением р0. Затем газ в первой частисосуда стали нагревать (достаточно медленно, процессы можносчитать квазистатическими). Определите зависимости температурыгаза в обеих частях сосуда и его теплоемкости от координатыпоршня х (см. рис.5.14). Показатель адиабаты газа равен γ.Рис. 5.14. Теплоизолированном цилиндрическом сосуде длинойоснования Σ.Ответ: T1 =C1 = νRp0 A γ Σ (A + x)p0 A γ Σ1⋅T,,=⋅2γνR (A − x )νR (A − x) γ−12γ⎡ γ − 1 + ( γ − 1)2 x / A ⎤⎣⎦22A и площадью, С2 = 0.Задача 5.3.10. При изобарическом расширении m = 280 г азотаему сообщили Q = 11,24 кДж теплоты. При этом температура азотаувеличилась от T1 = 100 К до T2 = 140 К.
Найти величину γ = Cp/CVазота, характерную для данного интервала температур.142МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИОтвет: γ =Q≈ 1, 42 .Q − R (T2 − T1 ) m / MЗадача 5.3.11. Большой сосуд имеет открытое горлышко в видеузкой вертикальной цилиндрической трубки, в которую вставленпоршень, способный перемещатьсявдоль трубки без трения (рис. 5.15).Радиус цилиндрической трубки r. Масса поршня m. Под поршнем в сосуденаходится идеальный газ.
Над поршнем давление атмосферное p0. В равновесии объем, занимаемый газом, равен V0. Измеряя период τ малых колебаний поршня, можно определить γдля газа в сосуде (метод Рухардта).Найдите зависимость γ(Т). Процесс вгазе считать адиабатическим.Рис. 5.15. Большой сосуд сузкой вертикальной цилиндрической трубкой.Ответ: γ =4V0 mp0 τ2 r 4.Задача 5.3.12. Выразите разность удельных изобарической иизохорической теплоемкостей С р − СV через коэффициенты теплового расширения α p и изотермической сжимаемости χT призаданных температуре Т и плотности вещества ρ.
Используйте соотношение C p − CV = T ( ∂p ∂T )V ( ∂V ∂T ) p для разности молярныхтеплоемкостей.Ответ: C p − CV =T α 2pρχT.Задача 5.3.13. При каких значениях α в процессе p ~ T α теплоемкость идеального газа отрицательна Сα < 0? Показатель адиабаты газа γ.143Гл. 5. Первое начало термодинамики. Теплоемкость⎡ γ⎤γ− α ⎥ ; Cα < 0 при α >.Ответ: Cα = R ⎢γ −1⎣ γ −1⎦Задача 5.3.14. Температурные зависимости молярной теплоемкости идеального газа для двух процессов имеют вид: а)βCa = CV + αRT и б) Cb = R .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
