Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 21
Текст из файла (страница 21)
6.3.На рис. 6.2 представлена зависимость yi = 102 C p T от T. Областьтемператур от 100 К до 1000 К разбиваем на интервалы, например,ΔTi = 50 K . Определяем значение yi, соответствующие серединаминтервалов. Например, для затемненного на рис. 6.2 интервалаT5 = 325Kсоответствуетзначениесреднейтемпературеy5 = 102 C p (T5 )/T5 = 3, 66 Дж/(моль ⋅ K 2 ) .Пусть при T0 = 100 K значение энтропии равно S0 .
Тогда значение энтропии при T1 = 150 K будет отличаться от S0 на величину, численно равную площади под кривой в интервале температурΔT1 = (150 − 100)K :150 KΔS (150) = S (150) − S0 =∫y (T )dT ≈ y1 (T1 = 125)ΔT1 =100 K= 1,8 ⋅ 10−2 ⋅ 50 = 0, 9 Дж ( моль ⋅ К ) .Гл. 6. Энтропия. Второе и третье начала термодинамикиРис. 6.2.функции157Зависимостьy = 102 C p / Tдля аморфного бора оттемпературы Т.
Разделение области температур от100 К до 1000 К на небольшие интервалы ∆Тпроведено для графическогоинтегрированияфункции.Суммируя последовательно площади прилегающих «прямоугольников», получаем зависимость ΔS (T ) (рис. 6.3). Как видно изграфика, при нагревании от 100 К до 1000 К молярная энтропиябора возрастает на 26,6Дж/(моль⋅К).Рис. 6.3. Изменение энтропииΔS = S (Т ) − S0аморфногобора, рассчитанное графическим интегрированием функции Ср/Т (рис. 6.2) в интервале температур от 100 К до1000 К.158МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИЗамечание.
Изменение энтропии (по порядку величин), можнооценить, считая, что значение теплоемкости равно ее среднему значению в рассматриваемом температурном интервале:1C p ≈ (25 + 1) = 13 Дж / ( моль ⋅ К ) =const .2TТогда ΔS1− 2 ≈ C p ln 2 = 13ln10 = 29, 9Дж / ( моль ⋅ К ) .T1Задача 6.2.5. Для некоторой термодинамической системы известна зависимость внутренней энергии от энтропии и объема:⎡ S − S0 ⎤U ( S ,V ) = CV V 1−γ exp ⎢⎥,⎣ CV ⎦(6.38)где CV = const – изохорическая теплоемкость, γ = C p / CV = const .Найдите термическое ( f ( p,V , T ) = 0 ) и калорическое ( U = U (T ,V ) )уравнения состояния системы.РешениеИз dU = TdS − pdV следует, что T = ( ∂U ∂S )V .
Дифференци-руя (6.38), получаем:U+ const .CVВводя постоянную U 0 , находим калорическое уравнение состояния: U (T ) = CV T + U 0 . Полагая U (T = 0) = 0 , окончательно получаем:U (T ) = CV T .T=Аналогично находим p = ( ∂U ∂V ) S . Дифференцируя (6.38),получаем: p = ( γ − 1)U V + const . Используя для U калорическоеуравнение состояния U (T ) = CV T , находим термическое уравнениесостояния:( γ − 1) CV T.p=V( γ − 1) CV TОтвет: p =, U (T ) = CV T .VГл. 6. Энтропия. Второе и третье начала термодинамики159Задача 6.2.6.
Определить изменение энтропии одного моляидеального газа при его расширения от объема V1 до объемаV2 = 2V1 по закону V = aT 3 , где а – постоянная величина. Молекулы газа обладают i = 5 степенями свободы. Сравните изменениеэнтропии в данном процессе с изменениями в процессах изобарического, изотермического и обратимого адиабатического расширения.РешениеУравнение процесса V = aT 3 позволяет определить температуры газа в начальном и конечном состояниях:T1 = V11/ 3 / a и T2 = V21/ 3 / a .Зная два параметра Т1 и V1 начального состояния и уравнениепроцесса T = V 1/ 3 / a , используем (6.22) для получения зависимости энтропии от объема:C ⎞ VVT ⎛S (V , T ) − S (V1,T1 ) = R ln + CV ln = ⎜ R + V ⎟ ln .3 ⎠ V1V1T1 ⎝Для искомого изменения энтропии находим (рис. 6.4):C ⎞VT⎛ΔS12 = R ln 2 + CV ln 2 = ⎜ R + V ⎟ ln 2 =V1T1 ⎝3 ⎠⎛= R ⎜1 +⎝i⎞⎟ ln 2 ≈ 1,8R ln 2 ≈ 10, 4 Дж / (моль ⋅ К) .6⎠Рис. 6.4.
Изменение энтропии одного моля идеального газа в процессе его расширения от объема V1 до объема V2 = 2V1 при изобарическом (1), изотермическом (2),3обратимом адиабатическом (3) процессах и по закону V = aT (4).160МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИНа рис. 6.4 изображен график изменения энтропии S(V) для заданного процесса V = aT 3 .
Для сравнения приведены графики изобарического, изотермического, изоэнтропического (с показателемадиабаты γ = 1, 4 ) процессов. Изменение энтропии в изобарическомпроцессенаходимпоформуле(6.27):ΔS p = C p ln(V2 V1 ) = R ln 2 (i + 2) 2 = 3,5R ln 2 ; в изотермическомпроцессе: ΔST = R ln(V2 V1 ) = R ln 2 ; в изоэнтропическом ΔS S = 0 .C ⎞i⎞⎛⎛Ответ: ΔS12 = ⎜ R + V ⎟ ln 2 = R ⎜ 1 + ⎟ ln 2 ≈3 ⎠6⎠⎝⎝≈ 10, 4 Дж / (моль ⋅ К) .3адача 6.2.7. Один моль идеального одноатомного газа равновесным (обратимым) процессом переводят из состояния 1 ( p1 ,V1 ) всостояние 3 с объемом V2>V1: первый раз - изобарически (процесс1–3), а второй раз – сначала по изотерме 1–2, а затем по изохоре 2–3 (рис.
6.5). Определить изменение энтропии на всех этапах в обоихпроцессах. Изобразить эти процессы на диаграммах S − T , S − V иS− p.Рис. 6.5. Два равновесных процесса 1→3 и 1→2→3 (сплошные линии) переводаидеального газа из состояния 1 в состояние 3. Изотермы – пунктирные линии,адиабаты - штрихпунктирные линии.РешениеПараметры состояний 1, 2, 3 можно определить, используяуравнения процессов и уравнение состояний идеального газа:Гл. 6. Энтропия. Второе и третье начала термодинамики161Для состояния 1 из уравнения состояния имеем T1 = p1V1 / R .Для состояния 2 из уравнения процесса получаем:p1V1 = p2V2 и p2 = p1V1 / V2 .Для состояния 3 из уравнения процесса p3 = p1 , а из уравнениясостояния T3 = p1V2 / R .
Таким образом, имеем следующие параметры состояний:состояние 1{ p1, V1, T1 = p1V1 / R} ,состояние 2{ p2 = p1V1 / V2 , V2 , T2 = T1 = p1V1 / R} ,V2 , T3 = p1V2 / R} .1 способ. Зная параметры состояний, можно определить энтропию в каждом из них по формуле (6.20):S1 = S0 ( N ) + R ln V1 + CV ln ( p1V1 / R ) ,состояние 3{ p1,S2 = S0 ( N ) + R ln V2 + CV ln ( p1V1 / R ) ,S3 = S0 ( N ) + R ln V2 + CV ln ( p1V2 / R ) .Изменение энтропии ΔSikΔSik = Sk − Si . Поэтому:на любом этапе i → kравноV2,V1VΔS23 = S3 − S2 = CV ln 2 ,V1VVVΔS13 = S3 − S1 = R ln 2 + CV ln 2 = C p ln 2 .V1V1V1Анализируя полученные выражения, убеждаемся в том, что энтропия является функцией состояния, то есть изменение энтропиине зависит от формы пути: ΔS13 = ΔS12 + ΔS23 .2 способ.
Так как по условию задачи процесс обратимый, значение энтропии может быть указано в любой точке процесса, тоесть уравнение процесса может быть записано в виде S = S(V), илиS = S(p), или S = S(T).Общая форма уравнения процесса, в котором одним из параметров является энтропия, имеет вид:ΔS12 = S 2 − S1 = R lnS = Sстарт + ΔS ,162МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ЗАДАЧИгде Sстарт – значение энтропии в одной из точек процесса, а изменение энтропии представляется как функция одного из параметров:ΔS = ΔS (V ) , или ΔS = ΔS ( p) , или ΔS = ΔS (T ) .Для изотермического участка 1→2 второго процесса в качественачала отсчета энтропии возьмем значение энтропии в 1-й точке:Sстарт = S1 . Поскольку T = const , то используем для ΔS (6.22) и(6.24), где V и p – объем и давление в произвольной точке процесса.Получаем уравнение процесса соответственно в параметрах (S, V) и(S, p):VST (V ) − S1 = R ln ,V1pST ( p) − S1 = − R ln .p1Для изохорического участка 2→3 второго процесса за началоотсчета энтропии выбираем энтропию в конечной точке предыдущего процесса Sстарт = S2 .
Используя (8.22) и (8.23) для ΔS приV = const получаем:p,p2TSV (T ) − S 2 = CV ln .T1Для изобарического процесса 1→3 за начало выбираем энтропию в 1-й точке Sстарт = S1 и по формулам (6.23) и (6.24) получаем:SV ( p ) − S2 = CV lnV,V1TS p (T ) − S1 = C p ln .T1Графики всех процессов в различных переменных (S, T), (S, V)и (S, р) представлены на рис.6.6.Отметим, в качестве вывода, что энтропия в равновесных процессах может как убывать, так и возрастать, в зависимости от направления процесса.Ответ: см. рис.6.6.S p (V ) − S1 = C p ln163Гл.
6. Энтропия. Второе и третье начала термодинамикиабвРис. 6.6. Зависимость энтропии от температуры (а), объема (б) и давления (в) впроцессах, изображенных на р - V диаграмме рис. 6.5.3адача 6.2.8. Недеформируемый, теплоизолированный от окружающей среды цилиндрический сосуд состоит из двух одинаковых секций объемом V0каждая. Секции отделеныдруг от друга невесомымпоршнем-перегородкой,который может перемещаться без трения. Перваясекция заполнена одниммолем идеального газа, воРис.6.7. Невесомый поршень разделяетвторой секции – вакуум цилиндрический, теплоизолированный от(рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
