Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Задачи с решениямиЗадача 7.2.1. Тепловой двигатель работает по обратимомуциклу Карно, состоящему из двух адиабат и двух изотерм с186МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИтемпературами Т1 и Т2, причем Т1 >Т2 (рис. 7.3а) Рабочее тело –идеальный газ. Определите эффективность такого механизма.РешениеI способ. Использование p-V диаграммы.Вначале определим тип теплового механизма.
Изображениецикла на р–V диаграмме и фиксирование последовательностисостояний позволяет сразу сказать, с каким видом механизма мыимеем дело. Площадь цикла на p–V диаграмме численно равнаработе газа, совершенной за один цикл. Поскольку в данном случаеобход контура происходит по часовой стрелке, а положительная23112434работа∫ pdV + ∫ pdV > 0 больше модуля отрицательной работы∫ pdV + ∫ pdV < 0 , то v∫ pdV > 0 , т. е. в процессе передачи теплотыот нагревателя к холодильнику рабочее тело совершает полезнуюработу (рис.
7.3а). Следовательно, система работает как тепловойдвигатель. Вычислим составляющие энергетического баланса накаждом участке цикла.Рис. 7.3. Цикл Карно на р-V (а) и Т-S (б) диаграммах. (1→2) − изотермическийпроцесс при тепловом контакте рабочего тела с нагревателем с температурой Т1;(2→3) − адиабатическое расширение; (3→4) − изотермическое сжатие притепловом контакте рабочего тела с холодильником с температурой Т2; (4→1) −адиабатическое сжатие, производимое внешними силами.Определим знаки теплоты на каждом участке циклическогопроцесса. Циклический процесс, как правило, состоит изГл. 7. Циклические процессы. Обратимые циклы.
КПД циклов187отдельных процессов (участков), каждый из которых может бытьописан аналитически. Через каждую точку начала (или конца)такого участка циклического процесса проведем кривыеизоэнтропических процессов. В данном случае эти кривые ужеимеются – это изоэнтропические процессы с энтропией S1 и S2,причем кривая S2 расположена выше кривой для S1 при одном итом же объеме (или правее при одной и той же температуре илидавлении). Если в процессе i→k происходит переход с нижнейизоэнтропы на верхнюю, то рабочее вещество получает теплотуQik = Q + > 0 . Если наоборот – с верхней на нижнюю, то рабочеевещество отдает теплоту Qik = Q − < 0 . Приток (отток) теплоты Qikна соответствующем участке цикла в (из) систему показан нарис.
7.3 широкой стрелкой.Если на p–V диаграмме циклический процесс изображаетсяпростой геометрической фигурой, то это значительно упрощаетрасчет КПД по формуле (7.6), в которойv∫ δA = Σ , где Σ −площадьцикла. В данной задаче цикл изображается сложнойгеометрической фигурой. Учитывая также, что рабочее телообменивается теплотой с окружающей средой только на двухучастках цикла из четырех, для расчета КПД воспользуемсяформулой (7.9), где Q + = Q12 , а Q − = Q34 .Процессы 1–2 и 3–4 −изотермические, поэтому ΔU = 0 , аVQik = ΔAik = νRT ln k .
Таким образом:ViVQ12 = νRT1 ln 2 ,V1VQ34 = νRT2 ln 4 .V3По условию задачи температуры заданы, а объемы неизвестны.Если какой-либо параметр (в данном случае Vi , где i = 1,2 ,3,4 )не известен, то можно воспользоваться следующей процедурой.Выберем из p, V, T два параметра, один из которых необходимоопределить, а другой задан. В данном случае такими параметрамиявляются Т и V. Теперь, для этой пары переменных, запишемуравнения всех процессов цикла последовательно:188МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ1→2: T = T1 =const ;2→3: T1V2γ−1 = T2V3γ−1 ;3→4: T = T2 = const ;4→1: T2V4γ−1 = T1V1γ−1 .Из полученной системы уравнений находим:V2 V3=.(7.14)V1 V4Учитывая (7.14), вычисляем КПД:VνRT2 ln 4−QV3TQ(7.15)ηтд = 1 + + = 1 + 34 = 1 +=1− 2 .VQ12T1QνRT1 ln 2V1Таким образом, КПД теплового двигателя, работающего пообратимому циклу Карно, зависит только от отношенияминимальной и максимальной температур:TηтдК = 1 − min .(7.16)TmaxII способ.
Использование T-S диаграммы.Обратимый цикл Карно имеет простой вид на Т-S диаграмме.На рис. 7.3 б представлен цикл Карно теплового двигателя.Площадь цикла 1–2–3–4–1 (прямоугольника на T–S диаграмме)Σ = (T1 − T2 )( S2 − S1 ) = (T1 − T2 ) ⋅ ΔS равна количеству теплоты,которое рабочее тело переводит в механическую работу:v∫ δA = v∫ δQ = (T1 − T2 ) ⋅ ΔS .Площадь под линиейпоступающей в систему:процесса1→2(7.17)равнаQ + = T1 ( S2 − S1 ) = T1ΔS .Используя (7.17) и (7.18), находим:v∫ δA (T1 − T2 ) ΔS = 1 − T2 .ηтдК = + =T1ΔST1Qтеплоте,(7.18)Гл.
7. Циклические процессы. Обратимые циклы. КПД циклов189T2.T1Задача 7.2.2. Циклический процесс над одним молемдвухатомного идеального газа задается последовательностьюсостояний на p–V диаграмме (рис. 7.4). Известны температуры всостояниях 2 и 4 (Т2 и Т4) и отношение объемов в состояниях 1 и 2:V2 = 2V1. Определить КПД механизма, работающего по такомуциклу.РешениеПоскольку в данном случае обход контура происходит поОтвет: ηтдК = 1 −2часовой стрелке и положительная работа∫ pdV > 0больше модуля14отрицательной работы∫ pdV < 0 , то v∫ pdV > 0 , т.е.
рабочее тело3совершает полезную работу в процессе передачи теплоты отнагревателя к холодильнику (рис. 7.4а). Следовательно, системаработает как тепловой двигатель.Рис. 7.4. Циклический процесс на р-V диаграмме (а) и графическое определениезнаков теплоты на отдельных участках цикла (б).Через каждую точку 1, 2, 3, 4 проводим кривыеизоэнтропических процессов. Они будут идти немного круче, чемпо графику изотермических процессов, проведенные на рис. 7.4 б.В процессах 1→2 и 4→1 происходит переход с нижней изоэнтропына верхнюю, рабочее вещество получает теплоту: ΔQ12 > 0 и190МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ЗАДАЧИQ41 > 0 . На участках 2→3 и 3→4 −наоборот, с верхней на нижнюю,рабочее вещество отдает теплоту ΔQ23 < 0 и Q34 < 0 (см.рис. 7.4 б).В данной задаче циклический процесс на p–V диаграммеизображается прямоугольником, площадь которогоΣ = ( p1 − p3 )(V2 − V1 ) = ( p1 − p3 )V1 = p1V1 − p3V1 == RT1 − RT4 .(7.19).В формуле (7.19) неизвестный параметр − температура Т1.Воспользуемся описанной в задаче 7.2.1 процедурой. Из p, V, Tвыбираем параметры Т и V. Уравнения всех процессов цикла дляэтой пары переменных:T T1→2: 1 = 2 ;V1 V22→3: V3 = V2;TT3→4: 3 = 4 ;V2 V14→1: V4 = V1 .Из полученной системы уравнений находим неизвестныепараметры:TT1 = 2 и T3 = 2T4 .(7.20)2v∫ δAВычисляем КПД по формуле ηтд = + , где числитель равен:QT(7.21)v∫ δA = νR(T1 − T4 ) = R( 22 − T4 ) .Газ получает теплоту на участках 1–2 и 4–1 (см.
рис. 7.4б),поэтому знаменатель:Q + = Q12 + Q41 .Теплота Qik может быть определена из первого началатермодинамики. Однако, поскольку рассматриваемый цикл состоитиз политропических процессов, теплоемкости у которых известны,то наиболее короткий путь − вычисление Qik по определениютеплоемкости:191Гл. 7. Циклические процессы. Обратимые циклы. КПД цикловT ⎞T⎛Q12 = C p (T2 − T1 ) = C p ⎜ T2 − 2 ⎟ = C p 2 ,2 ⎠2⎝⎛T⎞Q41 = CV (T1 − T4 ) = CV ⎜ 2 − T4 ⎟ ,⎝ 2⎠(7.22)(7.23)иT2⎛T⎞+ CV ⎜ 2 − T4 ⎟ =2⎝ 2⎠RT2.(7.24)= CV (T2 − T4 ) +2При расчетах в формулах (7.22) – (7.24) использовалисьсоотношения (7.20) и формула Майера C p = CV + R .Q + = Q12 + Q41 = C pТаким образом, для КПД находим:ηтдv∫ δA ==Q+⎛T⎞R ⎜ 2 − T4 ⎟R(T2 − 2T4 )2⎝⎠.=RTCV (T2 − T4 ) + 2 2(T2 − T4 )CV + RT22По условию задачи рабочим веществом является двухатомный5R, и окончательно получаем:газ, поэтому CV =2R(T2 − 2T4 )(T − 2T4 )ηтд == 2.2(T2 − T4 )CV + RT2 6T2 − 5T4Ответ: ηтд =(T2 − 2T4 ).6T2 − 5T4Задача 7.2.3.
Тепловой двигатель Карно (см., рис. 7.2 а),имеющий КПД ηК = 40%, начинают использовать как холодильнуюмашину. Найти холодильный коэффициент (эффективностьхолодильника) и количество теплоты, которое эта машина за одинцикл может забрать у холодильника, если совершаемая за каждыйцикл внешняя механическая работа равна Аех = 200 Дж.РешениеДля того чтобы от холодильника забиралась теплота, то естьрабочее тело получало теплоту на нижней ветви цикла (рис. 7.5),192МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ЗАДАЧИцикл следует проводить против часовой стрелки. Таким образом,если тепловой двигатель Карно за счет теплоты, полученной отнагревателя, совершает работу, то в холодильной машине теплотаот холодильника поступает в нагреватель (обычно окружающуюсреду) за счет совершения внешней работы.Рис. 7.5. Циклический процесс на р-V (а) и Т-S (б) диаграммах для холодильноймашины, работающей по циклу Карно.По условию задачи:ηK =Отсюда находимнагревателю:v∫ δA = − Aex .+QтдQ−теплоту, отдаваемуюрабочимтелом− Aex.ηKТеплоту, получаемую газом от холодильника, найдем изQ− =условияv∫ δA = v∫ δQ , то есть − Aex = Q++ Q− :⎛ 1⎞⎛ 1⎞Q + = −(Q − + A ex ) = A ex ⎜− 1⎟ = 200 ⎜− 1⎟ = 300 Дж .⎝ 0, 4 ⎠⎝ ηK⎠Отсюда эффективность холодильной машины:ηx =Q+v∫ δA=Aex (1 / ηK − 1)1=− 1 = 1,5 .AexηKЗамечание.
Механизм, работающий по заданному циклу(рис.7.5), не только отбирает теплоту от холодильника, но и193Гл. 7. Циклические процессы. Обратимые циклы. КПД цикловпередает некоторое количество теплоты нагревателю, то естьнакачивает теплоту в нагреватель за счет внешней работы.Другими словами, этот же механизм может быть использован и как"тепловой насос". Эффективность теплового насоса (7.13) равна−ΔAe / ηKQ−1ηтд ==== 2, 5 .ηKv∫ δA −ΔAeОтвет: ηx =⎛ 1⎞1− 1 = 1, 5 , Q + = A ex ⎜− 1⎟ = 300 Дж .ηK⎝ ηK⎠Задача 7.2.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
