Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Найти эффективность цикла, заданного в T–Sкоординатах (рис. 7.6а). Температуры Т1 и Т2 известны.абРис. 7.6. Циклический процесс на Т-S диаграмме (а). Определение знаковтеплоты (б).РешениеТеплота, получаемая газом на каком-либо участке процессаравна площади под этим процессом с учетом знака: если энтропиявозрастает, то газ получает теплоту и Q > 0 , если энтропияуменьшается, то Q < 0 , а если S = const , то Q = 0 (рис.7.6):Q12 = T1 ( S2 − S1 ) = T1ΔS12 > 0 ,Q23 =11(T1 + T2 )( S3 − S2 ) = − (T1 + T2 )ΔS12 < 0 ,22Q31 = 0 .Изменение энтропии: ΔS23 = −ΔS12 , ΔS31 = 0 .(7.25)194МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИПлощадь цикла (площадь треугольника) равна сумме всех Qik1(с учетом знаков): v∫ δQ = 2 (T1 − T2 )ΔS12 .
Определяя знак работы зацикл v∫ δA = v∫ δQ > 0 , убеждаемся, что работающий по данномуциклу механизм является тепловым двигателем, совершающим зацикл работу1(7.26)v∫ δA = v∫ δQ = 2 (T1 − T2 )ΔS12 .Используя (7.25) и (7.26), для КПД цикла получаем:η=v∫ δA = ( (T1 − T2 )ΔS12 ) / 2 = T1 − T2 .Q+T1ΔS122T1Значение КПД составляет половину от КПД цикла Карно,работающего в том же температурном интервале.
Однако этотрезультат не вытекает из того факта, что площадь данного цикларавна половине площади цикла Карно.1⎛ T ⎞Ответ: η = ⎜ 1 − 2 ⎟ .2 ⎝ T1 ⎠Задача 7.2.5. Вычислите и сравните КПД карбюраторногодвигателя ηV и дизеля η p , если они имеют одинаковуюмаксимальную температуру Т3 (рис. 7.7). Считать известнымитакже V1, Т1 и T4.РешениеОбозначим окончание адиабатического процесса (S = const)цифрой 2 для карбюраторного двигателя (подвод теплоты поизохоре) и 2΄ – для дизельного (подвод теплоты по изобаре).Используя T–S диаграмму (рис. 7.7б), на которой площади Σi − jпод кривыми процессов i → j (с учетом знака) равны подводимойна этих процессах теплоте, можно провести предварительноесравнение КПД этих типов двигателей.Σ − Σ 4−1Σ= 1 − 4−1 ,КПД карбюраторного двигателя: ηV = 2−3Σ 2 −3Σ 2 −3195Гл.
7. Циклические процессы. Обратимые циклы. КПД цикловдля дизеля − η p =Σ 2′−3 − Σ 4−1Σ= 1 − 4−1 . Поскольку Σ 2′−3 > Σ 2−3 ,Σ 2′−3Σ 2′−3то η p > ηV .Рис. 7.7. Циклы карбюраторного двигателя (заштрихован) и дизеля (затемнен) нар-V и Т-S диаграммах при одинаковой максимальной температуре Т3.Вычислим КПД карбюраторного двигателя.
Используяопределение теплоемкости, для теплоты на различных участкахцикла имеем:+Q23= CV (T3 − T2 ) ,−Q41= CV (T1 − T4 ) .Записывая последовательно уравнения процессов для циклакарбюраторного двигателя в T-V координатах, определяемтемпературу T2:T1V1γ−1 = T2V2γ−1 ⎫⎪TT⇒ T2 = 1 3 .⎬T4T3V2γ−1 = T4V1γ−1 ⎪⎭Находим КПД карбюраторного двигателя:ηV = 1 +−Q41+Q23=1+CV (T1 − T4 )=1−T4.T3⎛TT ⎞CV ⎜ T3 − 1 3 ⎟T4 ⎠⎝Аналогично, для теплоты на различных участках цикла дизеляимеем:Q2+′3 = C p (T3 − T2′ ) ,−Q41= CV (T1 − T4 ) .196МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИЗаписывая последовательно уравнения процессов дизельногодвигателя в T–V координатах, для T2′ получаем:1⎫T1V1γ−1 = T2V2γ−γ−1′⎪⎛ T1 ⎞T2′ / V2′ = T3 / V2 ⎬ ⇒ T2′ = T3 ⎜ ⎟ .⎝ T4 ⎠⎪T3V2γ−1 = T4V1γ−1 ⎭Находим КПД дизеля:ηp = 1+CV (T1 − T4 )1/ γ ⎤C p ⎡T3 − T3 (T1 / T4 )⎣Сравним значенияТ4 = 1000 К и γ = 1,4:КПДηV = 1 −ηp = 1−(T4 − T1 ) / T31/ γ ⎤γ ⎡1 − (T1 / T4 )⎣=1−⎦при(T4 − T1 ) / T3γ ⎡1 − (T1 / T4 )1/ γ ⎤⎣⎦Т1 = 300 К,.Т3 = 1500 К,T41000=1−≈ 0,33 ,T31500=1−⎦(1000 − 300) /1500≈ 0, 42 .1, 4 ⎡1 − (300 /1000)1/1,4 ⎤⎣⎦Таким образом, КПД у дизельного двигателя больше, чем укарбюраторного: η p > ηV .Ответ:КПДдизеляηp = 1−(T4 − T1 ) / T3γ ⎡1 − (T1 / T4 )1/ γ ⎤⎣⎦,КПДкарбюраторного двигателя ηV = 1 − T4 / T3 .Задача 7.2.6.
Сравните КПД карбюраторного двигателя идизеля, если они работают с одинаковой степенью сжатияε = V1 V2 и при одинаковом отношении температур τ = T4 T1(рис. 7.8).РешениеОбозначим состояние с максимальной температурой цифрой 3для карбюраторного двигателя (подвод теплоты по изохоре) и 3΄ –для дизельного (подвод теплоты по изобаре).Используя T-S диаграмму, на которой площади Σi − j подкривыми процессов i → j (с учетом знака) равны подводимой вГл. 7. Циклические процессы. Обратимые циклы.
КПД циклов197этих процессах теплоте, можно провести сравнение КПД этихтипов двигателей.Σ − Σ 4−1Σ= 1 − 4−1 ,КПД карбюраторного двигателя: ηV = 2−3Σ 2 −3Σ 2 −3Σ− Σ 4−1Σ= 1 − 4−1 . Поскольку Σ 2−3′ < Σ 2−3 , тодля дизеля η p = 2−3′Σ 2−3′Σ 2−3′η p < ηV .Рис.7.8. Циклы карбюраторного двигателя (заштрихован) и дизеля (затемнен) нар-V и Т-S диаграммах при одинаковой степени сжатия V1/V2.Расчет КПД проведем по общей схеме, не опираясь на решениепредыдущей задачи. С учетом определения теплоемкости длятеплоты на различных участках цикла карбюраторного двигателяимеем:+Q23V = CV (T3 − T2 ) ,−Q41= CV (T1 − T4 ) .Записывая последовательно уравнения процессов для циклакарбюраторного двигателя в T-V координатах, определяемсоотношения для температур:T1V1γ−1 = T2V2γ−1 ⎪⎫T2 / T1 = (V1 / V2 ) γ−1 = ε γ−1⇒⎬T3 / T2 = T4 / T1 = τ.T3V2γ−1 = T4V1γ−1 ⎪⎭Используя полученные результаты, преобразуем выражениядля теплоты:+γ−1Q23(τ − 1) ,V = CV (T3 − T2 ) = CV T2 ( τ − 1) = CV T1ε198МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ЗАДАЧИ−Q41= CV (T1 − T4 ) = CV T1 (1 − τ)и найдем КПД карбюраторного двигателя:ηV = 1 +−Q41+Q23= 1 − ε1−γ .Аналогично, для дизеля имеем:+Q23′ p = C p (T3′ − T2 ) ,−Q41= CV (T1 − T4 ) .Запишем последовательно уравнения процессов дизельногодвигателя в T-V координатах:T1V1γ−1 = T2V2γ−1 , ⎫⎪⎪T2 T3′,=⎬V2 V3′⎪1⎪T4V1γ−1 = T3′V3γ−′ .⎭T2= ε γ−1 . ВозведемT1второе уравнение в степень ( γ − 1) и умножим на третье уравнение:Из первого уравнения системы получаем:T3γ′ = ε γ−1T4T2γ−1 .Учитывая, чтоT2= ε γ−1 , из полученного соотношения находим:T1γ⎛ T3′ ⎞T Tγ−1 T4= ε γ−1 4 1 = τ .⎜ ⎟ =εT2T1 T2⎝ T2 ⎠Отсюда для теплоты получаем:()+1/ γQ23− 1) = C pT1ε γ−1 τ1/ γ − 1 ,′ p = C p (T3′ − T2 ) = C pT2 ( τ−Q41= CV (T1 − T4 ) = CV T1 (1 − τ ) .КПД дизеля:ηp = 1+−Q41+Q23′p=1−τ −1γεγ−1 ⎡ 1/ γ⎣τ− 1⎤⎦.Гл. 7.
Циклические процессы. Обратимые циклы. КПД циклов199Сравним КПД карбюраторного и дизельного двигателей приT4 T1 = τ = 3 , V1 V2 = ε = 4 и γ =1,4:ηV = 1 − ε1−γ ≈ 0, 42 ,ηp = 1 +−Q41+Q23′p= 1−τ −1γεγ−1[ τ1/ γ − 1]≈ 0,31 .Таким образом, КПД карбюраторного двигателя больше:ηV > η p .Заметим, что проведенное сравнение − теоретическое, так как напрактике у карбюраторного и дизельного двигателей не можетбыть одного значения степени сжатия ε = V1 V2 (у дизелей ε в 2–2,5 раза больше, чем у карбюраторных двигателей).τ −1Ответ:КПДдизеля,КПДη p = 1 − γ−1 1/ γγε [ τ − 1]карбюраторного двигателя ηV = 1 − ε1−γ .Задача 7.2.7.
В некотором механизме осуществляетсязамкнутый цикл Стирлинга (рис. 7.9 а) над 8 г кислорода (О2считать идеальным газом). Известно, что T1 = 350 K , Т2 = 280 К иV2 = 3V1 . Определить работу за цикл и эффективность механизма.Рис. 7.9. Цикл Стирлинга на Т-V (а) и p-V (б) диаграммах.200МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИРешениеПредставим заданный на Т–V диаграмме цикл на p-Vдиаграмме (рис. 7.9 б). Поскольку A12 > A34 и v∫ δA > 0 , тотепловой механизм является тепловым двигателем.Для расчета КПД воспользуемся определением (7.6).
Привычислении работы газа за цикл учтем, что на изохорическихучастках цикла работа равна нулю, а на изотермических участкахработа идеального газа описывается формулой:VVv∫ δA = A12 + A34 = νRT1 ln V12 + νRT2 ln V12 == νR (T1 − T2 ) ln 3 .(7.27)Теплота, получаемая газом на изотермическом участке, где дляидеального газа ΔU12 = 0 :V+= ΔU12 + A12 = νRT1 ln 2 = νRT1 ln 3 .Q12V1Из определения теплоемкости находим теплоту, получаемуюна изохорическом участке:+Q41= νCV (T1 − T2 ) .Теплота, получаемая газом за цикл:V+++ Q41= νRT1 ln 2 + νCV (T1 − T2 ) =Q + = Q12V1Учитывая,= ν [ RT1 ln 3 + CV (T1 − T2 ) ] .для кислорода в указанном(7.28)интервалечто5температур CV = R , и используя (7.27) и (7.28), для КПД2находим:νR(T1 − T2 )ln 32ln 3(T1 − T2 )v∫ δAη= + ==.ν [ RT1 ln 3 + CV (T1 − T2 )] [T1 ⋅ 2ln 3 + 5(T1 − T2 )]QДля проверки убедимся, что полученное значение КПДменьше, чем КПД цикла Карно в том же температурном интервале:⎛ T ⎞T2ln 3η = ⎜1 − 2 ⎟ ⋅< 1 − 2 = ηK .T1⎝ T1 ⎠ 2ln 3 + 5 (1 − T2 / T1 )Подстановка числовых данных дает:Гл.
7. Циклические процессы. Обратимые циклы. КПД цикловη=2012ln 3(T1 − T2 )2ln 3(350 − 280)=≈ 0,14 .[ 2T1 ln 3 + 5(T1 − T2 )] [ 2 ⋅ 350ln 3 + 5(350 − 280)]2 ln 3(T1 − T2 )≈ 0,14 .[ 2T1 ln 3 + 5(T1 − T2 )]Задача 7.2.8. Определить КПД теплового двигателя, циклкоторого представлен на рис. 7.10 а. Рабочее тело – идеальный газс теплоемкостью CV . Известны объемы V1 = 5л , V2 = 10л иотношение температур T2 / T1 = α = 2,5 .Ответ: η =Рис. 7.10. Цикл теплового двигателя на р-V-диаграмме.РешениеТак как КПД не зависит от массы рабочего тела, то проведемрасчет для одного моля.На p-V-диаграмме циклический процесс имеет видтреугольника, а наиболее короткий путь вычисления КПД ⎯ поформуле (7.6).Работа за цикл равна площади треугольника:11 ⎛ RTRT ⎞v∫ δA = 2 ( p2 − p1 ) (V2 − V1 ) = 2 ⎜⎝ V22 − V11 ⎟⎠ (V2 − V1 ) ==⎞⎛V⎞RT1 ⎛ αRT ⎛ V1⎞− ⎟ (V2 − V1 ) = 1 ⎜ α 1 − 1⎟ ⎜ 2 − 1⎟ .
(7.29)⎜2 ⎝ V2 V1 ⎠2 ⎝ V2⎠ ⎝ V1⎠Давления в формуле (7.29) выражены через известныетемпературы и объемы в соответствии с уравнением состоянияидеального газа.202МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИПроведя через точки 1, 2, 3 кривые адиабаты, убеждаемся, чтотеплота поступает только на участке 1→2. Поскольку процесс 1→2+, исходя изне является политропическим, то вычисляем Q12первого начала термодинамики:+Q12= ΔU12 + A12 .(7.30)В процессе 1→2 изменение внутренней энергии ΔU12 моляидеального газа определяется температурами начального иконечного состояний:ΔU12 = CV (T2 − T1 ) = CV T1 (α − 1) .Работа – площадь трапеции под отрезком 1→2:T ⎞R⎛T1( p2 + p1 )(V2 − V1 ) = ⎜ 2 + 1 ⎟ (V2 − V1 ) =22 ⎝ V2 V1 ⎠⎞⎛V⎞RT ⎛ αV= 1 ⎜ 1 + 1⎟ ⎜ 2 − 1⎟ .2 ⎝ V2⎠ ⎝ V1⎠Подставляя ΔU12 и A12 в (7.30), получаем:A12 =+Q12= ΔU12 + A12 == CV T1 (α − 1) +RT1( αV2 / V1 + 1) (V2 / V1 − 1) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
