Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Теплоизолированные сосуды заполнены разными газами в количестве соответственно ν1 и ν2 молей при одинаковых температурах и давлениях. Сосуды соединены друг с другомтонкой трубкой с краном (рис.6.12). Кран открывают, и газы перемешиваются. Определить изменение энтропии системы. Газы считать идеальными.Гл. 6. Энтропия. Второе и третье начала термодинамики171Рис.6.12. Теплоизолированные сосуды, имеющие объемы V1 и V2, соединеныдруг с другом тонкой трубкой с краном и заполнены разными газами.РешениеВ силу тепловой изоляции ΔQ = 0 . Перемешивание идеальныхгазов, как и в случае процесса Гей-Люссака (см.
задачу 8.2.8), происходит без совершения работы ΔA = 0 . В соответствии с первымначалом термодинамики полная внутренняя энергия газов не изменяется Δ (U1 + U 2 ) = 0 . Поэтому, так как до перемешивания температуры были одинаковы, то и после смешивания температураостанется прежней.Поскольку температура не изменяется, то для вычисления изменения энтропии удобно использовать формулу (6.22):ΔS = ΔS1 + ΔS 2 = ν1R lnV1 + V2V +V+ ν 2 R ln 1 2 > 0 .V1V2(6.41)Как и следовало ожидать, в соответствии со вторым началомтермодинамики для необратимых процессов, при смешивании газов энтропия системы возрастает, так как возрастает степень неупорядоченности системы.В связи с тем, что до смешивания давление и температура вобоих сосудах были одинаковы, то из уравнений состоянияpV1 = ν1RT и pV2 = ν 2 RT для обоих газов до перемешивания следует: V1 V2 = ν1 ν2 .
В этом случае выражения под логарифмами в(6.41) можно преобразоватьV1 + V2 V1 (1 + ν 2 / ν1 ) ν1 + ν 2 1===ν1V1V1x1иV1 + V2 ν1 + ν 2 1==,ν2V2x2где172МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИν1ν2и x2 =ν1 + ν 2ν1 + ν 2молярные доли компонентов в смеси. Очевидно, чтоx1 =∑ xi = 1 .(6.42)(6.43)iИзменение энтропии, выраженное через молярные доли компонент, называется энтропией смешения.ΔS = − R ( ν1 ln x1 + ν 2 ln x2 ) > 0 .Ответ:ΔS = ν1R ln(6.44)ν1 + ν 2ν + ν2+ ν 2 R ln 1= − R ( ν1 ln x1 + ν 2 ln x2 ) > 0 .ν1ν2Задача 6.2.12.
Две равные массы m0 одного и того же газасмешиваются. В первом случае до смешивания газы имели одинаковую температуру Т0, но разные давления: р2 = 2р1. Во второмслучае до смешивания газы имели одинаковые давления р0, но разные температуры: Т2 = 2Т1. В каком случае изменение энтропиибольше? Теплообмен с окружающей средой не происходит.РешениеДля вычисления изменения энтропии используем для каждогоmиз газов соотношение: ΔS = 0 ⎡⎣C p ln (T ′ T ) − R ln( p′ p ) ⎤⎦ , где T ′ иM′p – установившиеся температура и давление, а Т и р – их начальные значения.В первом случае из уравнений состояния находим установившееся давление смеси:m⎫p1V1 = 0 RT0⎪M⎪m02 p1 p2⎪.=p2V2RT0⎬ ⇒ p′ =+Mpp12⎪2m0⎪p′ (V1 + V2 ) =RT0 ⎪M⎭Изменение энтропии смеси:173Гл.
6. Энтропия. Второе и третье начала термодинамикиΔST = ΔS1 + ΔS2 = −m0 ⎡2 p22 p1 ⎤R ⎢ln+ ln⎥=M ⎣ p1 + p2p1 + p2 ⎦2m0( p + p2 )R ln 1>0.M4 p1 p2Во втором случае установившаяся температура смеси находится из условия отсутствия теплообмена с окружающими телами. Газпри этом работы не совершает, и следовательно, внутренняя энергия системы не изменяется: 2( m0 M ) CV T ′ = ( m0 M )CV (T1 + T2 ) .=Отсюда T ′ = (T1 + T2 ) 2 .Изменение энтропии во втором случае⎡ T′mT′⎤ΔS p = ΔS1 + ΔS2 = 0 C p ⎢ ln + ln ⎥ =MT2 ⎦⎣ T12m0(T1 + T2 )C p ln>0.M4T1T2Учитывая соотношение параметров газов до перемешивания( p2 = 2 p1 и T2 = 2T1 ), получаем:ΔS p / ΔST = C p / R > 1 .=Ответ: ΔS p / ΔST = C p / R > 1 .6.3. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 6.3.1. Один моль идеального одноатомного газа находится в сосуде при температуре Т0.
Газ изохорически нагревают на∆Т. Во сколько раз изменится термодинамическая вероятность состояния? Чему равно изменение энтропии? Убедитесь, что при вычислении изменения энтропии использование статистического итермодинамического определений энтропии приводит к одинаковым результатам.Ответ: Γ 2 / Γ1 = (1 + ΔT / T0 )3N A / 2,ΔS = k B ln ( Γ 2 / Γ1 ) = (3 2) R ln (1 + ΔT / T0 ) .Задача 6.3.2. Один моль идеального одноатомного газа изотермически расширяется от объема V1 до V2. Определить во сколь-174МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ЗАДАЧИко раз изменится термодинамическая вероятность состоянияΓ 2 / Γ1 и чему равно изменение энтропии ΔS . Убедитесь, что привычислении изменения энтропии использование статистического итермодинамического определений энтропии приводит к одинаковым результатам.Ответ: Γ 2 / Γ1 = (V2 / V1 )NA, ΔS = k B ln ( Γ 2 / Γ1 ) = R ln (V2 / V1 ) .Задача 6.3.3. Какое количество теплоты следует сообщитьмакроскопической системе в изотермическом процессе при температуре Т0, чтобы увеличить термодинамическую вероятность состояния в α раз?Ответ: ΔQ = T0 ΔS = k BT0 ln ( Γ 2 / Γ1 ) = k BT0 ln α .Задача 6.3.4. В объем V = 0,7л, в котором при атмосферномдавлении и температуре T = 298 К находится кислород, помешеныдва одинаковых графитовых стержня по m = 4 г каждый.
Энтропиявсей системы составляет S0 = 9,65 Дж/К. Молярная энтропия кислорода SO2 = 205,1Дж/(моль ⋅ К) . Определите термодинамиче-скую вероятность Γ C состояния каждого графитового стержня имолярную энтропию SC графита.⎡ S 0 − νS O 2Ответ: ΓC = exp ⎢⎣ 2k B1S C = S0 − νSO 22где ν = pV /( RT ) ≈ 0,028 .()⎤236⋅1022,⎥ = exp 1,39 ⋅ 10 ≈ 10⎦M⋅ C ≈ 5,8 Дж/(моль ⋅ К) ,m()Задача 6.3.5.
Энтропия неона при стандартной температуреТ1 = 298,15 К равна 146,22 Дж/(моль·К). Определите энтропию газапри Т2 = 596,3 К, если объем остается неизменным.Ответ: S (T2 ) = S (T1 ) + CV ln(T2 / T1 ) == 146, 22 + 1, 5R ln 2 ≈ 155 Дж / (моль ⋅ К) .Задача 6.3.6. Во сколько раз следует изменить объем m =280 газота в изотермическом процессе, чтобы его энтропия возросла на∆S = 28 Дж/К? Газ считать идеальным.Гл. 6. Энтропия. Второе и третье начала термодинамикиОтвет:175V2⎡ M ΔS ⎤ 0,34= exp ⎢≈ 1, 4 .⎥≈eV1⎣ mR ⎦Задача 6.3.7. Как изменится энтропия идеального газа при одновременном уменьшении объема в n раз и увеличении давленияво столько же раз?Ответ: ΔS = −C p ln n + CV ln n = − R ln n < 0 .Задача 6.3.8.
В политропическом процессе температура ν молей идеального газа увеличивается в α раз. Показатель политропыn, адиабаты γ. Чему равно изменение энтропии?n−γR ln α .Ответ: ΔS =(n − 1)( γ − 1)Задача 6.3.9. При увеличении объема одного моля идеальногогаза его давление изменяется по закону p = p0 − αV , где р0 и α –положительные постоянные. Объем газа в исходном состоянии V1.Показатель адиабаты γ. При каком значении объема Vm энтропиядостигает максимального значения? Получите зависимость ΔS (V ) .Ответ: Vm =γp0p0 − αV ⎤R ⎡V, ΔS =⎢ γ ln + ln⎥.V1p0 − αV1 ⎦α( γ + 1)γ −1 ⎣Задача 6.3.10. В исходном состоянии один моль идеального газа занимает объем V0 при температуре Т0.
Газ совершает процесс, вкоторомегоэнтропияизменяетсяпозаконуΔS (T ) = R [ a (T − T0 ) + b ln T / T0 ] , где a и b – положительные константы, R – универсальная газовая постоянная. Найдите зависимость V(T) объема газа от его температуры в этом процессе. Показатель адиабаты газа γ.b −1/( γ−1) a (T −T0 )Ответ: V = V0 (T / T0 )e.Задача 6.3.11. Идеальный газ в исходном состоянии при температуре Т1, имевший энтропию S1, переходит в состояние с энтропией S2 > S1 при (1) изотермическом, (2) изобарическом и (3) изохорическом обратимых процессах. Изобразите на S–Т диаграммезависимость энтропии от температуры в этих процессах.176МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИОтвет: при р = const S p ( p, T ) − S1 = νC p ln T / T1 , при V = constSV (V , T ) − S1 = νCV ln T / T1 .На рис.
6.13 представлены рассматриваемые в задаче процессыв (p,V) и (S,T) координатах.Рис. 6.13. Рассматриваемые в задаче процессы в (p,V) и (S,T) координатах дляCV = 5R / 2 , γ = 1, 4 .Задача 6.3.12. Идеальный газ находившийся в исходном состоянии с энтропией S1 при температуре Т1, переходит в состояниес температурой T2 > T1 при 1) изобарическом, 2) изохорическом и3) изоэнтропическом обратимых процессах.
Изобразите процессына (p–V) диаграмме и определите графически, в каком процессе ∆Sбольше. Сравните графики S(T) указанных процессов приCV = 5R / 2 .Ответ: см. рис. 6.14.Рис. 6.14 . Графики процессов, рассматриваемых в задаче 6.3.12 в (p,V) и (S,T)координатах.Гл. 6. Энтропия. Второе и третье начала термодинамики177Задача 6.3.13. На некотором участке процесса энтропия одногомоля идеального газа изменяется по закону S = S0 + α / T . Какоеколичество теплоты получает газ и какую работу он совершает приизменении его температуры от Т1 до Т2? Молярная теплоемкость CVизвестна.Ответ: ΔQ = α ln (T1 / T2 ) , ΔA = CV (T1 − T2 ) + α ln (T1 / T2 ) .Задача 6.3.14.
При низких температурах решеточная теплоем-кость твердых тел изменяется по закону Дебая: C = αT 3 . Каковазависимость энтропии от температуры в этой области температур?Ответ: S = aT 3 / 3 .Задача 6.3.15. Удельная теплоемкость металла в области температур от Т1 до Т2 = 2Т1 изменяется линейно от значения C дозначения C + ΔC . Определите величину изменения энтропии металлического образца, имеющего массу m.Ответ: ΔS = m ⎡⎣( C − ΔC ) ln 2 + ΔC ⎤⎦ .Задача 6.3.16. Теплоемкость вещества в некотором политропическом процессе равна С.
Найдите зависимость температуры отэнтропии в этом процессе, если при температуре Т1 энтропия равнаS1 .Ответ: T = T1 exp [ ( S − S1 ) / C ] .Задача 6.3.17. Два одинаковых теплоизолированных сосудасодержат по одному молю идеального газа. Температура газа в первом сосуде Т1, во втором Т2.
Между сосудами устанавливается тепловой контакт (без изменения объемов). Покажите, что энтропиясистемы возрастает.2(T + T )Ответ: ΔS = CV ln 1 2 > 0 .4T2T13адача 6.3.18. Недеформируемый и теплоизолированный цилиндрический сосуд разделен невесомым, способным перемещаться без трения поршнем на две равные секции. Первая секция заполнена одним молем идеального газа при температуре Т0, во вто-178МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИрой секции вакуум (рис.6.15). Поршень получает возможность свободно перемещаться, и происходит самопроизвольное расширениегаза. После этого поршень медленно перемещают в исходное положение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
