Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 9
Текст из файла (страница 9)
от начала координат. Последним отрезком траектории (см. рис. 2-5) будет часть полуокружности ОА,М, (если на последнем интервале и = +1) или ОВ,Х, (если на этом интервале и = — 1). Пусть последний интервал соответствует ОА,М,. Точка А„ из которой начинается движение по полуокружности ОА,М„ определлется фазой колебаний, т. е. в конечном итоге начальными условиями. Пусть каким-то образом положение точки А, мы определили. До точки А, фазовая точка двигается по полуокружностн В,А, с центром в точке (О, — 1) и соответствующей и = — 1.
Так как интервал движения между двумя линиями переключения равен я, то дуга А,В, точно равна полуокружности и точка В, симметрична Аг относительно центра О ю и поэтому точка В, лежит на полуокружностн ФтЛ'„симметричной полуокружности ОМг относйтельно центра О,. Точно также дуга В,Аэ, предшествующая дуге А,Вз, есть полуокружность с центром Оз„и точка Аз лежит на полуокружности М М„которая симметрична полуокружности )У,Л'з относительно центра О „и т. д. Теперь можно указать общий способ получения любой оптимальной траектории, начинающейся в заданной точке л (О), л (О]. Если эта точка находится в верхней полуплоскости, то на первом интервале и = — 1 и дуга расположена вверх от центра, если л (О), л (О) — в нижней полуплоскости, то на первом интервале и = +т и дуга расположена вниз от центра.
Пусть х (О), л (О) лежит в верхней полуплоскости. Наносим линию переключения — ряд полуокружностей единичного радиуса ОМю МгМэ,..., ОУ„я',Жэ,... Из точки с координатами х (О), з (О) проводим дугу с центром Рис. 2-5. О д до пересечения с линией переключения в точке Аю затем из точки Аг з нижней полуплоскости проводим дугу АгАэ с центром в Озд до пересечения с линией переключения в точке А, и т. д., пока в конечном итоге мы не придем в начало координат. Очевидно, что время движения по оптимальной траектории будет конечным. Если й ие равно нулю и И' < ю'„то отрезками траекторий будут уже не дуги окружностей, а отрезки сиру*.(ивающихся к центру спиралей. Линию переключения строим следующим образом. Выделяем спираль, проходящую через точку +и/ю,'.
На рис. 2-6 эта спираль отмечена штриховой линией. Передвигаем виток спирали АУ, влево, пока точка Ц не попадет в начало координат, а точка Ьэ совпадет с точкой Л„ затем переворачиваем виток С Ьз вокруг оси абсцисс так, чтобы он лег в верхнюю полуплоскость, и передвигаем точку Ьэ влево до тех пор, пока она не совпадает с точкой Лг, и т. д В нижней полуплоскости построение будет симметричным.
Спирали, лежащие выше линии переключения, получаются путем сдвига спиралей Рис. 2-6. 2-3. Теорема еб а интервалах Впервые вта теорема, но иным методом, была доканала А. А. Фельдбаумом И80]. Пусть дана система уравнений п г — ' = ~аох, + ~~ Ь, и, (( =- 1,2,..., и) т 1 в=г (2-37) или в матричной форме ах —,=Ах+Вп аг (2-38) где матрица а„а„... ати аа, а„... аа„ А= (2-39) аш аиа ...
аии 4б на рис. 2-6 вправо на +и/ю', а ниже линии переключения — путем сдвига их на — и!ге,-'. Приведейпое выше построение было предложено Р. Бушау (213). имеет все вещественные собственные значения. Это равносильно тому, что характеристическое уравнение системы а,„ — Л аы а„— Л ...
а„ а„, =О (2-40) а„ а„, а„, имеет только вещественные корни Л На управления ир наложены ограничения ар~ ир рр, р=1, 2, ..., г, (2-41) т. е. область У, к которой принадлежит вектор управления в представляет собою р-мерный параллелепипед. Тогда для каждого нетривиального значения вспомогательной функции ф (1) однозначно определяется управляющая функция н (1)=(и((1), иа(1), ..., и*„(~)). и и И 3' Н=(ф, Ах)+(ф, Вв)= ~ '~, 'ф,ар,х,+ ~ч~ Х Фрбррир (242) в=1~=1 р-1р=1 Вспомогательные функции ф определяются иа уравнений и — — — -- ~ а,фю 7'=1, 2,, и. (2-43) ч=1 Или в векторной форме — = — Атф Й где А' по отношению к А является транспонированной матрицей.
Так как функция Н, рассматриваемая как функция переменной и, линейна, то она либо постоянна, либо достигает максимального значения лишь на границе многогранника У, т. е. или в одной вершине, или же на целой грани, причем в последнем случае достижение максимума воэможно, как покааано в [132), лишь для конечного числа значений г. Таким образом, функция и — кусочно-постоянная и число ее переключений конечно. На примере уравнения второго порядка мы видели, что число переключений не превышает единицы (т. е. числа, на единицу меньшего, чем порядок уравнения), если все корни вещественны, и может быть сколь угодно большим, но конечным, если корни комплексны.
Можно показать, что в случае вещественных корней При этом каждая иа функций ир (1) кусочно-постоянна, принимает только эначения ар и рр и имеет не более и — 1 переключений (т. е. не более и интервалов постоянства), где и — порядок системы . (2-37). Определим сначала функции Н и ф В соответствии с наложенными выше правилами в системе и-го порядка число переключений не может превышать и — 1. Пусть все корни характеристического уравнения (2-40) вещественны и среди них имеется т попарно различных корней Лы Л,, ..., Л,„, причем кратность 1-го корня Л, равна г,.
Очевидно, так как общее число корней равно порядку уравнения, то г,+г, г...+г„=и. (2-44) Каждая из функций ф,. (1), полученная в результате решения уравнений (2-43), будет иметь вид: ф (~) = ~„(~) ех '+ /, (1) е'"к +... + !,„(1) е~»~', (2-45) где ~;; ($) — полиномы степени г; — 1. Пусть для некоторого т установлено, что функция ф, ф, определяемая формулой (2-45), имеет не более чем й, + й, + ... + й —; т — 1 корней. Покажем, что в случае ги + 1 слагаемых функция ф,(~) = ~ уц(~) е'тч 3=1 (2-40) По нашему предположению эта функция имеет Й, + Й, + ... ... + Й„иг + т + Й корней.
Возьмем й + 1 производную этой функции. Так как степень полинома го,„„а(~) равна й ~„то (й„„+ 1) производная от него равна нулю и мы имеем (~)(»и1+ ) — й (~) е(~1 пи\) ( ~ йь (г) е( о~ и~и) (2.47) Так как эта функция имеет тот же вид, что и (2-45) и число слагаемых в ней равно т, то для нее число корней не превышает й,+й,+...+й„,+т — 1. Вместе с тем, так как между каждыми двумя вещественными корнями функции лежит по крайней мере один корень ее производной, то число корней функции (2-47) должно быть равным й, + ...
+ й„, + й„„, + т + й — (й„, + 1) = й, + ... + й,„+ +т — 1+Й. Отсюда видно, что й = =О, т. е. число корней для любого т равной,+...+Й +ги — 1. 48 имеет не более чем й, + й, + ... + й„+ Й„,1 + (т + 1) — 1 корней. Предположим, что это не так и что в случае ги + 1 слагаемых функция (2-46) имеет большее число корней, скажем й, + й, + + ... + й„,„д + и + й, где й ) О. Умножим (2-46) на е что, очевидно, не изменит числа корней. Мы получим новую функцию ф (1) — ф (1) е 1 — ~, е( 1 " 1) + -г~ е( "т~1) +~ Теперь достаточно указать какое-нибудь т, для которого наше утверждение справедливо, чтобы показать, что оно в соответствии с методом математической индукции будет справедливым для любого т. Нетрудно видеть, что утверждение справедливо для ж = 1, так как функция ~„(г) е" ' имеет те же корни, что и функция 1, (1), и имеет поэтому не более к, корней.
Итак, учитывая, что й; = г,. — 1, получаем, что число корней функции ф; не превышает числа )г, — 1) + (гт — 1) + ... + (г,, — 1) + т — 1 .= г, + г .+ ... ...-(.г, — т+т — 1=в — 1. Теорема об и — 1 переключении (теорема об и интервалах) доказана. 2-4. Оптимальные процееоы при ограниченных ноардинатах и управленяях 1(усть помимо управлений и - (и„($), и, (Г), ..., и,. (Г)] ограничены и координаты х =- (хд (Ф), х, (Е), ...,х„(Й)) и граница области, внутри которой должны находиться и за пределы которой не должны выходить х, определяется уравнением д(х) =О.
(2-48) Условие нахождения х внутри некоторой замкнутой области 6 выражается неравенством д(х)=д(х„х„..., х„)(0. Скалярная функция д (х) определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка вблизи границы, а вектор ддн (х) ( др дл ( (дх' '''' дх ) где р(х, и]= ~) -я~(') 1„(х, и). (2-49) а=О В НЗ2) доказаны для этих данных следующие положения. нигде на границе в нуль не обращается. Для того чтобы траектория х (1), соответствующая управлению и (1), лежала на границе д (х) = О, необходимо и достаточно, чтобы она начиналась на этой границе д (х (та)) = 0 и чтобы фаэовая скорость точки, движущейся вдоль траектории, в любой момент времени была касательной к границе, т.
е. чтобы выполнялось равенство р (х, и) = О, Оптимальная траектория может состоять из участков двух видов: а) участки, лежащие внутри области 6 (т. е. принадлежащие, как говорят, открытому ядру области 6); б) участки, лежащие на границе области 6. Для определения первых участков применим обычный принцип максимума. Участки оптимальной траектории, лежащие на границе области 6, определяются в соответствии со следующим видоизменением принципа максимума: Пусть х (г), Г, ( Г =. Г, — регулярная оптимальная траектория уравнений (2-6), соответствующая оптимальному управлению и а (г) и целиком лежащая на границе области 6.
Тогда найдется такая непрерывная вектор-функция ~р (8) = (ф, (Г), ..., ф, (Г)), 1,-= г гы и такая кусочно-непрерывная, кусочно- гладкая скалярная функция Х (1), 8, ( г ( т„что на отрезке Г, ( Г = г, будут выполняться равенства: Их д~я (ф, х, и) г~ вр (2-50) И~р а~Я" (ф х, в) ( др(х, в) ,и дх ' ах (2-51) ауу" [~р (г), х (~), и (~)[ =- т [ф (г), х (~Ц = О, (2-52) где т (ф, х) = вар ауу и соблюдаются условия: а) ф, (г) = сопз$ ( О; б) вектор ф (Г,) отличен от нуля и касается границы д (х) = О в точке х (Го)~ в) во всех точках днфференцируемости функции Х (С) — йтаб д [х (8)) ~-' О, ж О) (2-53) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
